2019-2020年高考数学小题高分突破6数列

2019-2020 年高考数学小题高分打破6数列
1．已知 { a } 为等比数列，数列{ b } 知足 b ＝ 2， b ＝5，且 a (b －b )＝a ，则数列 { b } 的
n n 1 2 n n ＋
1 n n
＋
1 n
前 n 项和为 ()
A ． 3n＋ 1 B． 3n－ 1
C. 3n2＋ n
D.
3n2－n
2 2
答案 C
分析∵ b1＝ 2，b2＝ 5，且 a n(b n＋1－ b n)＝ a n＋1，
∴a1(b2－ b1)＝ a2，即 a2＝ 3a1，
又数列 { a n} 为等比数列，
∴数列 { a n} 的公比 q＝3，且 a n≠ 0，
a n＋1
∴ b n＋1－ b n＝a n＝3，
∴数列 { b n} 是首项为 2，公差为 3 的等差数列，
∴数列 { b n n n n－ 1 × 3＝3n2＋n
.
} 的前 n 项和为 S ＝ 2n＋ 2 2
2．设等比数列 { a } 的前 n 项和为 S ， S ＝ 3，S ＝15，则 S 等于 ()
n n2 4 6 A．27 B．31 C．63 D．75
答案 C
分析由题意得 S2， S4－ S2， S6－ S4成等比数列，
所以 3,12， S6－ 15 成等比数列，
所以 122＝ 3× (S6 6
＝ 63.
－15)，解得 S 3．设 S n是公差不为2
成等比数列，则 a10
0 的等差数列 { a n} 的前 n 项和， S3＝ a2，且 S1，S2，S4 等于 ( )
A．15 B．19 C．21 D．30
答案 B
分析设等差数列 { a n} 的公差为 d，
因为
2 2 S3＝a2，所以3a2＝a2，
解得 a2＝0 或 a2＝ 3，
又因为 S1 2 4
， S ， S 组成等比数列，
所以 S22 1 4
＝SS，
所以 (2a2－ d)2＝ (a2－ d)(4a2＋ 2d)，若 a2＝ 0，则 d2＝－ 2d2，
此时 d＝ 0，不切合题意，舍去，
当 a2＝ 3 时，可得 (6 －d)2＝ (3 －d)(12＋ 2d)，
解得 d＝ 2(d＝ 0 舍去 )，
所以 a10＝ a2＋ 8d＝ 3＋ 8× 2＝ 19.
a9
4．在等差数列{ a n} 中，若 <－ 1，且它的前 n 项和 S n有最小值，则当 S n>0 时， n 的最小值 a8 为 ( )
A．14 B．15 C．16 D．17
答案 C
分析∵数列 { a n n
有最小值，
} 是等差数列，它的前n 项和 S
∴d>0， a1<0， { a n} 为递加数列．
a9
∵<－ 1，
a8
∴a8·a9<0 ， a8＋ a9>0，
由等差数列的性质知，2a8＝a1＋a15<0， a8＋ a9＝ a1＋ a16>0.
∵S n＝ n a1＋ a n，
2
∴当 S n >0 时， n 的最小值为16.
5．若 S n为数列 { a n} 的前 n 项和，且S n＝ 2a n－2，则 S8等于 ()
A ． 255 B． 256 C． 510D． 511
答案 C
分析当 n＝ 1 时， a1＝ S1＝ 2a1－2，据此可得a1＝ 2，
当 n≥2 时， S n＝2a n－2， S n－1＝ 2a n－1－ 2，
两式作差可得 a n＝2a n－ 2a n－1，则 a n＝ 2a n－1，
据此可得数列 { a n} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
其前
2×(1－ 28)
＝ 29－ 2＝512－ 2＝510.
8 项和为 S8＝1－ 2
n 1 2 n
＋
2 n
n， n∈ N*，则 S
2 017
的值为()
6．已知数列 { a } 中 a ＝ 1， a ＝ 2，且 a － a ＝ 2－2·(－1)
A．2 016×1 010－ 1 B． 1 009× 2 017
C．2 017× 1 010－ 1 D． 1 009× 2 016
答案 C
分析由递推公式，可得
当 n 为奇数时， a n＋2 n n
1，公差为 4 的等差数列，－ a ＝4，数列 { a } 的奇数项是首项为
当 n 为偶数时， a n＋2 n n
2，公差为0 的等差数列，－ a ＝0，数列 { a } 的偶数项是首项为
S2 017＝ (a1＋a3＋＋ a2 017)＋( a2＋ a4＋＋ a2 016)
＝1 009＋1
× 1 009× 1 008× 4＋ 1 008× 2 2
＝2 017× 1 010－ 1.
a n－ 3 *
)，则 a56等于 () 7．已知数列 { a n} 知足 a1＝0， a n＋1＝(n∈ N
3a n＋1
3
A．－ 3 B．0 C. 3 D. 2
答案 A
分析因为 a n＋1＝a n－ 3
(n∈ N *) ，n
3a ＋ 1
所以 a1＝0， a2＝－3， a3＝3，a4＝0， a5＝－3， a6＝3，，
故此数列的周期为 3.
所以 a56＝ a18×3＋2＝ a2＝－ 3.
8．《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记录了一数列问题：“南
山一棵竹，竹尾风切断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸① ，头圈一尺三②.逐节多三分
③ ，逐圈少分三
④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(说明：①第一节的高度为 0.5 尺；②第一圈的周长为 1.3 尺；③每节比其下边的一节多0.03 尺；④每圈周长比其下边的一圈少0.013 尺 )问：此民谣提出的问题的答案是( )
A ． 72.705 尺B． 61.395 尺
C．61.905 尺D． 73.995 尺
答案 B
分析因为每竹节间的长相差0.03 尺，
设从地面往上，每节竹长为a1， a2， a3，，a30，
所以 { a n 1 1
＝ 0.03 为公差的等差数列，
} 是以 a ＝ 0.5 为首项，以 d
由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少0.013 尺，
设从地面往上，每节圈长为b1， b2， b3，，b30，
由 { b n} 是以 b1＝1.3 为首项， d＝－ 0.013 为公差的等差数列，
所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是
S30＝ 30× 0.5＋30×29
× 0.03 ＋ 30× 1.3＋
30×29
× －0.013 ＝61.395.
2 2
9．已知数列 { a n} 是各项均为正数的等比数列，S n是其前 n 项和，若 S2＋ a2＝ S3－ 3，则 a4＋3a 的最小值为 ( )
2
A．12 B．9 C．6 D． 18
答案 D
分析因为 S3－ S2＝ a3，
所以由 S 2＋ a 2＝ S 3－ 3，得 a 3－ a 2＝ 3，
设等比数列 { a n } 的公比为 q ，则 a 1＝ 3
，
q q － 1 因为 { a n } 的各项为正数，所以 q>1.
42
1
3
＋ 3a 1 q
a ＋ 3a ＝ a q
＝ a 1q(q 2＋ 3)＝ 3
q( q 2＋ 3) q q
－ 1
＝ 3 q 2＋ 3 ＝ 3 q － 1＋ 4 ＋ 2 ≥ 18，
q － 1q － 1 当且仅当 q － 1＝ 2，
即 q ＝3 时， a 4＋3a 2 获得最小值 18.
n
n n* n n
10．已知数列 { a } 的通项公式为 a ＝ 2 (n ∈N )，数列 { b } 的通项公式为 b ＝ 3n － 1，记它们的
公共项由小到大排成的数列为
A ． [1,2)
2
3
C.
,e 3
2
{ c n n c n ，则 1 的取值范围为 () } ，令 x ＝ 1＋ c n
x 1 x n － 1x n
B ． (1，e)
D. 3
， e
2
答案 C
分析 由题意知， { a n } ， { b n } 的共同项为 n
－
1
.
2,8,32,128， ，故 c n ＝ 2
2
由 x n ＝ c n
，1
＋c n
得 1＝1＋1
， x n c n
1 1 n
＝ 1
1
1 .
1
n
－
1
＋
c 1
1＋
c 2 1＋ c n
x x
x
令 F n ＝ 1 ，
x 1 x n －
1x n
则当 n ≥ 2 时， F n
＝ 1
>1，
F n － 1 x n
故数列 { F n } 是递加数列，
∴ 1 ≥3
. x 1 x n － 1x n 2
∵ 当 x>0 时， ln(1 ＋ x)<x ，
∴ ln 1＋ 1 < 1
，
c n c n
则 ln
1
1 1
1＋ c 1 1＋ c 2 1＋ c n
＝ ln 1＋ 1 ＋ ln 1＋ 1 ＋ ＋ ln 1＋ 1
<1＋1
＋ ＋
1
n 1
2
＝ 1 ＋ 1 1
2 3＋ ＋ n
－
1
2
22
1 1－
1 n
1
＝
2 2
2 <
2 ＝2
，
1
1－ 1－ 1 3
4
4
1
1
1＋
1 2
∴ 1＋ 1＋ < e 3
，
1 2 n
3
1 2
故 ≤
n < e 3
，应选 C.
2 1 n －1
x x x
11．记 n
为数列
n
1
3
， 2a n ＋ 1n *
n
2
≤ M 对随意
S { a } 的前 n 项和，知足 a ＝ 2 ＋ 3S ＝ 3(n ∈N )，若 S ＋ S n
的 n ∈N * 恒建立，则实数 M 的最小值为 (
)
17
41
A ．2 2 B.6
C.12 D
． 4 答案 C
分析
由 a 1＝ 3
，2a n ＋ 1＋ 3S n ＝ 3(n ∈N * )，
2
得 2a n ＋3S n －1＝ 3， n ≥ 2.
两式相减，可得 2a n ＋ 1－2a n ＋ 3a n ＝ 0，
即 a n ＋
1＝－ 1＝ q. a n 2
3
∵ a 1＝ 2， ∴ 2a 2＋ 3S 1＝ 3，即 2a 2＋ 3a 1＝ 3，
∴ a 2＝－ 3
， ∴ a 2
＝－ 1
，
4 a 1 2 ∴ a n ＝ 3
－
1
n －
1.
2
2
3 1－ － 1 n
2 2 1
n .
则 S n ＝ 1
＝1－ － 2
1＋2
3 ∴ 当 n ＝ 1 时， S n 取最大值 2；
3
当 n ＝2 时， S n 取最小值 4.
要使 S n ＋ 2
≤ M 对随意的 n ∈ N * 恒建立．
S n
3
依据对勾函数的性质，当
S n ＝ 时，
S n＋2
获得最大值
41
，S n12
∴M≥41
12，
∴实数 M 的最小值为41
. 12
12．关于随意实数x，符号[x]表示不超出x 的最大整数，比如[3] ＝3， [ － 1.2] ＝－ 2， [1.2] ＝1.已知数列 { a n} 知足 a n＝ [log 2n]，其前 n 项和为 S n，若 n0是知足 S n>2 018 的最小整数，则n0 的值为()
A ． 305 B． 306 C． 315D． 316
答案 D
分析由题意， a n＝[ log2n]，
当 n＝1 时，可得 a1＝ 0， (1 项 )
当 21≤ n<22时，可得 a2＝ a3＝ 1， (2 项)
当 22≤ n<23时，可得 a4＝ a5＝＝a7＝2， (4 项 ) 当
23≤ n<24时，可得 a8＝ a9＝＝a15＝ 3， (8 项 ) 当
24≤ n<25时，可得 a16＝ a17＝＝ a31＝ 4， (16 项 )
，
当 2k≤ n<2k＋1时，
可得 a2 k＝ a2k＋1＝＝a2 k＋1－1＝k，(2k项)
当 2k≤ n<2k＋1时，
前 n 项和 S n＝ 1×21＋2× 22＋＋ k× 2k，
2S n＝ 1×22＋ 2× 23＋＋k× 2k＋1，
所以－ S n＝ 2＋ 22＋ 23＋＋ 2k－k× 2k＋1，
所以 S n＝(k－1)× 2k＋1＋ 2.
由 S n>2 018 ，得 k≥8.
当 k＝7 时， S n＝ 1 538<2 018；
当 k＝8 时， S n＝ 3 586>2 018，
所以取 k＝ 7，且 2 018－ 1 538＝ 480，
所以 n 1× 1－ 28 ＋480
＋1＝ 316.
0 ＝
8
1－ 2
13．已知等比数列
n n
n＋r ，则 a
3 2
n 的最大{ a } 的前 n 项和 S＝3 － r ＝ ________，数列 n n＋ 4 3
项是第 k 项，则 k＝ ________.
答案19 4
分析等比数列前n 项和公式拥有的特点为
S n ＝ aq n － a ，据此可知， r ＝－ 1，
则 S n ＝ 3n － 1， a 3＝ S 3－ S 2＝ (33－1)－ (32－ 1)＝ 18，
a 3－ r ＝ 19.
令 b n ＝ n (n ＋ 4)
23 n
，且
则 b n ＋
1
n 2＋ 6n ＋ 5 ＝ 2· 2
， b n 3
n ＋ 4n
b n ＋ 1 2 n 2＋ 6n ＋ 5
由
b n ＝
3· n 2＋ 4n >1
b n ＋
1 2 n 2＋ 6n ＋ 5 由 ＝ · 2 <1 b n 3 n ＋ 4n
b n >0，
可得 n 2<10，
可得 n 2>10， 据此可得，数列中的项知足 b 1<b 2<b 3<b 4，
且 b 4>b 5>b 6>b 7>b 8> ，则 k ＝ 4.
14．已知等比数列
{ a n } 的首项是 1，公比为 3，等差数列 { b n } 的首项是－ 5，公差为 1，把 { b n }
中的各项按以下规则挨次插入到 { a n } 的每相邻两项之间，组成新数列 { c n } ： a 1， b 1，a 2 ，b 2，
b 3，a 3，b 4，b 5 ，b 6，a 4， ，即在 a n 和 a n ＋ 1 两项之间挨次插入 { b n } 中 n 个项，则
c 2 018＝ ________.( 用
数字作答 )
答案
1 949
分析
由题意可得， a n ＝ 3n － 1，
b n ＝－ 5＋ (n － 1)× 1＝ n －6，
由题意可得，数列 { c n } 中的项为 30，－ 5,31，－ 4，－ 3,32，－ 2，－ 1,0,33， ， 3n 时，
数列 { c n } 的项数为 1＋ 2＋ ＋ n ＋ (n ＋ 1)＝ n ＋ 1 n ＋ 2 ，
2
当 n ＝62 时， 63× 64
＝ 2 016，即此时共有 2 016 项，且第 2 016 项为 362，
2 ∴ c 2 018＝ b 1 955＝1 955－ 6＝ 1 949.
15．已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1＝ 1， a 2 ＝2， a 3n ＝2n － 2a n ， a 3n ＋1＝ a n ＋ 1， a 3n ＋2 ＝
a n － n ，则 S 60＝________.( 用数字作答 )
答案
264
分析
因为 a 3n ＝ 2n －2a n ， a 3n ＋1＝ a n ＋ 1，a 3 n ＋ 2＝ a n － n ，
所以 a 3 n ＋ a 3n ＋ 1＋ a 3n ＋ 2＝ n ＋1，
所以 (a 3＋ a 4＋ a 5)＋ (a 6＋ a 7＋ a 8)＋ ＋(a 57＋ a 58＋ a 59)＝ 2＋ 3＋ ＋ 20＝ 209，因为 a 3 n ＝ 2n － 2a n ， a 3n ＋ 2＝ a n － n ，
所以 a 60＝ a 3× 20＝ 2× 20－ 2a 20，a 20＝ a 3× 6＋ 2＝a 6－ 6，
a 6＝ a 3× 2＝2× 2－ 2a 2＝0，
所以 a 20＝－ 6， a 60＝ 52，
综上， S 60 ＝1＋ 2＋ 209＋ 52＝ 264.
16．数列 { a n } 知足 a 1＝ 4
2
*
)，则 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 的整数部分是 ________． ，a n
＋1＝ a n － a n ＋ 1(n ∈ N
a a a
1 2
2 017
答案 2
分析 因为 a 1＝ 4 2 1(n ∈ N * )，
， a n ＋ 1
＝ a n
－ a n
＋
3 所以 a n ＋1 n n 2 >0 ，
－ a ＝ (a － 1) 所以 a n ＋1>a n ，数列 { a n } 单一递加，
所以 a n ＋1－ 1＝a n (a n － 1)>0 ， 所以 1
＝ 1
＝ 1 － 1
，
a
－ 1 a
n a － 1
a － 1
a n n ＋ 1 n
n
所以 1
＝ 1 － a 1
，
a n a － 1
＋
－ 1
n
1
n
所以 S n ＝
1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 a 1 a
2 a n
＝ 1 1 － 1
＋ 1 － 1 ＋ ＋
2 2
3 a － 1 a － 1 a － 1 a － 1 1 － 1 ＝ 1 － 1 ，
a n －
1 a n ＋ 1－ 1 a 1 －1 a n ＋ 1－ 1
1
所以 m ＝ S 2 017＝ 3－
，
a 2 018－ 1
因为 a
4
，所以 a
4
2－
4
＋ 1＝
13
，
1 ＝
3
2＝
3
3
9
3
13
2－
13
＋ 1＝ 133，
a ＝ 9
9
81
a 4＝
133
2－
133＋ 1>2， ，
81
81
所以 a 2 018>a 2 017>a 2 016> >a 4>2，
1
所以 a 2 018－ 1>1，所以 0<a 2 018－ 1<1，
1
所以 2<3－ a 2 018－ 1<3，
所以 m 的整数部分是 2.。