二项式定理6
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3 ）3n+ Cn1 3n-1+ Cn2 3n-2＋. . . Cnn-13 ＋ 1=____4_n_
例4：在（x2 + 3x + 2）5 的展开式中，x的系数 为多少？
解1： （x2 + 3x + 2）5 = 〔x2 +（3x + 2）〕5 = x10 + C51 x8（3x+2）+…+ C54 x2（3x+2）4+C55 （3x+2）5 只有（3x + 2）5中含有x项，其系数为C55 C54 ×3×24=240
各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止
如 (1+x)n= 1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋. . . ＋Cnr xr ＋ . . . xn
应用
例1：展开（ 1＋ 1 ) 4 x
例2：展开(2 x 1 )6，并求第3项的 x
二项式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数和第 6项的系数
注：1）注意区别二项式系数与项的系数的概念
2）求二项式系数或项的系数的一种方法是 将二项式展开(适用于n比较小的情况）
小结： 1）注意二项式定理 中二项展开式的特征； 2）区别二项式系数，项的系数及项； 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的 系数及项。
作业：P 113 习题 T2(2), T3 (2) ， T4(2) 、(3) , T5
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
例3：求（x 1 )9的展开式中x3的系数和中间项. x
注：求二项式系数,项的系数或项的另一种方法 是利用二项式的通项公式。
练习
1）（x+a)12的展开式中的倒数第4项是＿2＿20＿x3＿a9 ＿ 2）(2x2 1)9 的展开式中第3项的二项式系数是＿ ＿＿＿36＿x，第4项的系数是＿＿5＿37＿6 ＿
问题：
今天是星期五，再过8100天 后是星期几？
二项式定理
特殊例子分析:
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们的各项是 什么呢？
场下面竟然是一片高雅荒凉、湿润中有些风爽的淡青色海港……悬浮在半空的考场宏大巍峨、气势非凡，整个考场由九座心形的灰蓝色大型看台和一个东西长五公里， 南北长六公里的白杏仁色的比赛场地构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的考场上，让洒满金辉的考场在灰蓝色的天空和银橙色的云朵映衬下越发怪异夺目……考场四周 悬浮着十几处色彩造型各不相同的看台，看台上坐满了将近二十亿前来观看的师生，他门都穿着节日的盛装，远远看去就像一片片不断变幻色彩的云海……所有前来观 看的师生都带着一只备有压缩彩屏的三维，虽然只有拇指大小，但彩屏展开后最大面积却可达到巨面包十英寸，使用时只要把插到座席前的折叠桌上，就可以从各种角 度和距离观看现场所有的超清晰立体景像。这毕竟是几十年都难得一见的盛大表演！虽然宇宙之大无奇不有，但敢拿万倍学资玩跳级的学生并不多见！所以整个考场的 气氛显得十分热烈高涨……在场地中央悬浮着一片几乎透明的巨大花瓶形草坪，草坪上盛长着厚羊绒般柔软而富有弹力的暗黑色的桃毛雾冰草和墨黑色的枣眼夜柔花， 还有亮黑色的梅腿霞嫩草……远远看去，整个场地中央的花草被修剪得如锦缎一样光华美丽……微风吹来，三种细软柔滑的花草，就像三种梦幻的湖波漪涟向八方漾去 。放眼看去，考场东南方的看台之间暗黑色的小胸谷和浅红色的圣心桃，其中还有片片亮黑色的梅腿霞嫩草，就像仙女绚丽的长裙在风中飘舞。再看场地西南方的看台 之间，那里生种植橙白色的雄胆桐和深橙色的松泪樱，中间还夹杂着纯黑色的豺臂藤，从远处看去就像一幅美妙的立体油画在波动。考场的西北向，那里生长着暗黑色 的小胸谷和浓黑色的桑头神丝花，另外还有一些纯黑色的豺臂藤，给人的感觉犹如一片宁静而神奇的海洋。再看考场的东南方，那里生种植墨黑色的晨脸麦和纯黑色的 蟹筋榕，还有浅灰色的狼耳蕉，其间各种美丽的动物和鸟儿时隐时现，那里真的美如一片天然的园林。在场地中央矗立着一座辉煌夺目、高耸入云的巨大烟状玉体，这 个巨大烟状玉体由九个星光形的高低错落的火橙色 和一座高达七十多米的，绿宝石色的灰角水的骨架构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的巨大烟状玉体上，让洒满金 辉的巨大烟状玉在紫玫瑰色的天空和浅灰色的云朵映衬下越发怪异夺目。远远看去。巨大烟状玉的底部，六十根墨灰色的狗眉桐和很多粗大的淡黄色弯月形龙骨将巨大 烟状玉高高托起，巨大烟状玉周围五弧水滴形的紫香水晶雕塑闪着美丽的奇光。巨大烟状玉中部的闪体，全部用能飘出一种极珍贵的动听鸟声并散发着浓浓异香的，嫩 黄色亿球圆
解2： （x2 + 3x + 2）5 =〔（x2 + 3x）+ 2〕5
展开后只有在C54（x2 + 3x）×24 中才出现 x 的项，所以的系数为5×3×24 = 240
解3： （x2 + 3x + 2）5 =（x + 1）5（x + 2）5
展开中含x项的系数是 C54×25 + 1×C5424 = 240
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二项展开式
一般地，对于n N*有
(a+b)n＝ Cn0 an ＋Cn1an-1b＋. . .＋Cnran-r br ＋ . . . ＋ Cnnbn
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式。
Cnr an-rbr________二项展开式的通项， 记作Tr+1 Cnr ________ 二项式系数 注1）．二项展开式共有n+1项 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止
分析:(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数。
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋ C42 a2b2 ＋ C43 ab3 ＋ C44 b4
例4：在（x2 + 3x + 2）5 的展开式中，x的系数 为多少？
解1： （x2 + 3x + 2）5 = 〔x2 +（3x + 2）〕5 = x10 + C51 x8（3x+2）+…+ C54 x2（3x+2）4+C55 （3x+2）5 只有（3x + 2）5中含有x项，其系数为C55 C54 ×3×24=240
各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止
如 (1+x)n= 1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋. . . ＋Cnr xr ＋ . . . xn
应用
例1：展开（ 1＋ 1 ) 4 x
例2：展开(2 x 1 )6，并求第3项的 x
二项式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数和第 6项的系数
注：1）注意区别二项式系数与项的系数的概念
2）求二项式系数或项的系数的一种方法是 将二项式展开(适用于n比较小的情况）
小结： 1）注意二项式定理 中二项展开式的特征； 2）区别二项式系数，项的系数及项； 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的 系数及项。
作业：P 113 习题 T2(2), T3 (2) ， T4(2) 、(3) , T5
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
例3：求（x 1 )9的展开式中x3的系数和中间项. x
注：求二项式系数,项的系数或项的另一种方法 是利用二项式的通项公式。
练习
1）（x+a)12的展开式中的倒数第4项是＿2＿20＿x3＿a9 ＿ 2）(2x2 1)9 的展开式中第3项的二项式系数是＿ ＿＿＿36＿x，第4项的系数是＿＿5＿37＿6 ＿
问题：
今天是星期五，再过8100天 后是星期几？
二项式定理
特殊例子分析:
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们的各项是 什么呢？
场下面竟然是一片高雅荒凉、湿润中有些风爽的淡青色海港……悬浮在半空的考场宏大巍峨、气势非凡，整个考场由九座心形的灰蓝色大型看台和一个东西长五公里， 南北长六公里的白杏仁色的比赛场地构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的考场上，让洒满金辉的考场在灰蓝色的天空和银橙色的云朵映衬下越发怪异夺目……考场四周 悬浮着十几处色彩造型各不相同的看台，看台上坐满了将近二十亿前来观看的师生，他门都穿着节日的盛装，远远看去就像一片片不断变幻色彩的云海……所有前来观 看的师生都带着一只备有压缩彩屏的三维，虽然只有拇指大小，但彩屏展开后最大面积却可达到巨面包十英寸，使用时只要把插到座席前的折叠桌上，就可以从各种角 度和距离观看现场所有的超清晰立体景像。这毕竟是几十年都难得一见的盛大表演！虽然宇宙之大无奇不有，但敢拿万倍学资玩跳级的学生并不多见！所以整个考场的 气氛显得十分热烈高涨……在场地中央悬浮着一片几乎透明的巨大花瓶形草坪，草坪上盛长着厚羊绒般柔软而富有弹力的暗黑色的桃毛雾冰草和墨黑色的枣眼夜柔花， 还有亮黑色的梅腿霞嫩草……远远看去，整个场地中央的花草被修剪得如锦缎一样光华美丽……微风吹来，三种细软柔滑的花草，就像三种梦幻的湖波漪涟向八方漾去 。放眼看去，考场东南方的看台之间暗黑色的小胸谷和浅红色的圣心桃，其中还有片片亮黑色的梅腿霞嫩草，就像仙女绚丽的长裙在风中飘舞。再看场地西南方的看台 之间，那里生种植橙白色的雄胆桐和深橙色的松泪樱，中间还夹杂着纯黑色的豺臂藤，从远处看去就像一幅美妙的立体油画在波动。考场的西北向，那里生长着暗黑色 的小胸谷和浓黑色的桑头神丝花，另外还有一些纯黑色的豺臂藤，给人的感觉犹如一片宁静而神奇的海洋。再看考场的东南方，那里生种植墨黑色的晨脸麦和纯黑色的 蟹筋榕，还有浅灰色的狼耳蕉，其间各种美丽的动物和鸟儿时隐时现，那里真的美如一片天然的园林。在场地中央矗立着一座辉煌夺目、高耸入云的巨大烟状玉体，这 个巨大烟状玉体由九个星光形的高低错落的火橙色 和一座高达七十多米的，绿宝石色的灰角水的骨架构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的巨大烟状玉体上，让洒满金 辉的巨大烟状玉在紫玫瑰色的天空和浅灰色的云朵映衬下越发怪异夺目。远远看去。巨大烟状玉的底部，六十根墨灰色的狗眉桐和很多粗大的淡黄色弯月形龙骨将巨大 烟状玉高高托起，巨大烟状玉周围五弧水滴形的紫香水晶雕塑闪着美丽的奇光。巨大烟状玉中部的闪体，全部用能飘出一种极珍贵的动听鸟声并散发着浓浓异香的，嫩 黄色亿球圆
解2： （x2 + 3x + 2）5 =〔（x2 + 3x）+ 2〕5
展开后只有在C54（x2 + 3x）×24 中才出现 x 的项，所以的系数为5×3×24 = 240
解3： （x2 + 3x + 2）5 =（x + 1）5（x + 2）5
展开中含x项的系数是 C54×25 + 1×C5424 = 240
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二项展开式
一般地，对于n N*有
(a+b)n＝ Cn0 an ＋Cn1an-1b＋. . .＋Cnran-r br ＋ . . . ＋ Cnnbn
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式。
Cnr an-rbr________二项展开式的通项， 记作Tr+1 Cnr ________ 二项式系数 注1）．二项展开式共有n+1项 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止
分析:(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数。
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋ C42 a2b2 ＋ C43 ab3 ＋ C44 b4