乐山市高中届第二次调查研究考试.docx

乐山市高中2015届第二次调查研究考试
数 学（理工农医类）
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 参考公式： 参考公式：
如果事件
A ，
B 互斥，那么
)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
),,2,1,0()1()(n k p P C k P k n k k
n n ⋅⋅⋅=-=-
台体的体积公式：
)(3
1
2211S S S S h V ++=
其中21,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高.
柱体的体积公式：
Sh V =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.
锥体的体积公式：hS V 3
1
=
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.
球的表面积公式：24R S π=
球的体积公式：33
4R V
π=
其中R 表示球的半径.
第一部分（选择题 共50分）
注意事项：
1．选择题必须用B 2铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上. 2．第一部分共12小题，每小题5分，共60分.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的. 1、设全集为R ，函数24)(x x f -=
的定义域为M ，则M C R 为)(D
)(A []2,2-
)(B )2,2(-
)(C (][)+∞-∞-,22,Y
)(D ()+∞--∞,2)2,(Y
2、6
2)2(x
x -
展开式中的常数项为)(A )(A 60 )(B 60-
)(C 30 )(D 30-
3、已知点),1(0y P 在抛物线x y 82
=上，则点P 到抛物线焦点F 的距离为)(C
)(A 1
)(B 2
)(C 3
)(D 4
4、已知向量)3,2(-=p ，)6,(x q =，且p ∥q ，则q p +的值为)(C
)(A 13
)(B 14
)(C 13
)(D 14
5、已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)10()(≠>=a a a x f x
且 , 且3)4(log 5.0-=f ，则a 的值为)(A
)(A 3 )(B 3 )(C 9 )
(D 2
3 6、已知函数1)(-=kx x f ，其中实数k 随机选自区间[]2,1-．则对任意的[]1,1-∈x ，0)(≤x f 的概率是
)
(A 3
1
)(B 2
1
)
(C 3
2 )
(D 4
3 7、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则><N D CM 1,sin 的值为)(B
)(A )(B 9
5
4
)(C )(D
8、如果执行如图的框图，输入4=N ，则输出的数等于)(D
)
(A 34 )(B 43
)(C 45
)(D 54
9、已知A ，B ，C ，D 是函数)0,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 一个周期内的图象上的四个点，如图所示，)0,6
(
π
A ，
B 为y 轴上的点，D 为图象上的最低点，
C 为该函数图象的一个对称中心，B
与E 关于点E 对称，ED 在x 轴上的投影为π
12
，
N
M
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
则)6
(π
-
f 的值为
)
(A 2
1 )(B 23 )(C 2
1- )(D 2
3
-
10、函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使得f (x )在[a ，b ]上的
值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，则称函数f (x )为“成功函数”．若函数f (x )＝log c (c x
＋t ) (c >0，c ≠1)是“成功函数”，则t 的取值范围为
)(A ()+∞,0 )(B ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, )(C ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,41 )(D ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0
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数 学（理工农医类）
第二部分（非选择题 100分）
注意事项：
1．考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效. 2．本部分共11小题，共100分.
二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11、复数12i
z i
-=
的虚部是_____________. 12、已知α为锐角，向量)sin ,(cos αα=a ，)1,1(-=b 满足322=
⋅b a .则)12
5sin(π
α+=________. 13、已知直线02=-+ay x 与圆心为C 的圆4)1()(2
2
=-+-y a x 相交于B A ,两点，且ABC ∆为等
边三角形，则实数a =___________.
14、已知四面体ABCD 的侧面展开图如右图所示，
则其体积为________. 15、记[]x 表示不超过实数x 的最大整数.设集合{}
1),(2
2
≤+=y x y x A ，[][]{}
1),(2
2
≤+=y x y x B .
则B A Y 所表示的平面区域的面积为____________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤. 16.（本小题满分12分） 已知函数()sin()4
f x A x π
ω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周
期为8.
D
C
B
A
A
A
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求△POQ 的面积.
17.（本小题共12分）
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天．
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望.
18.（本小题共12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11222
AB AC AA BC ===，,,D E F 分别是11,,BC BB CC 的中点.
（1）求证1//A E 平面ADF ；
（2）求二面角B AD F --的大小的余弦值. 19.（本小题共12分）
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ， 且230n n T b -+=n N *∈．
（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （2）设⎩⎨
⎧=为偶数为奇数
n b n a c n
n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．
20.（本小题共13分）
已知12F F 、为椭圆E 的左右焦点，点3
(1,)2
P 为其上一点，且有12||||4PF PF += （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过1F 的直线1l 与椭圆E 交于A B 、两点，过2F 与1l 平行的直线2l 与椭圆E 交于C D 、两点，
求四边形ABCD 的面积ABCD S 的最大值.
F
E
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
21.（本小题共14分）
已知函数()(1)x
f x e a x =-+在ln 2x =处的切线的斜率为1． （e 为无理数，271828e =L ） （1）求a 的值及()f x 的最小值；
（2）当0x ≥时，2
()f x mx ≥，求m 的取值范围；
（3）求证：
42
ln 1
2n
i i i e =<∑(,)i n +∈N ．（参考数据：ln 20.6931≈） 乐山市高中2015届第二次调查研究考试数学
参考答案及评分意见（理工农医类）
一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）
1、)(D
2、)(A
3、)(C
4、)(C
5、)(A
6、)(B
7、)(D
8、)(C
9、)(B 10、)(D 提示：
1、由题值]2,2[-=M ，∴),2()2,(+∞⋃--∞=M C R ，故选)(D .
2、r
r r r r
r r x C x
x
C T 3662
661)2()2(--+⋅-=-
⋅=Θ，由题得036=-r ，2=∴r ， ∴常数项为60)2(22
6
=-⨯C ，故选)(A . 3、由题得)0,2(=F ，∴准线为2-=x ，Θ),1(0y P 在抛物线上，321=+=∴PF ，故选)(C . 4、p Θ∥q ，123=-∴x ，4-=∴x ，13)3,2()6,4()3,2(=-=-+-=+∴q p ，故选)(C .
5、Θ)(x f 为奇函数，则3)2()2()4(log 25.0-=-=-=-=a f f f ，32
=∴a ，3±=∴a （舍去），
故选)(A .
6、以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建坐标系令正方体的棱长为2，则)0,2,0(C ，)1,0,2(M ，)2,0,0(1D ，)1,2,2(N ，)1,2,2(-=∴CM ，
)1,2,2(1-=N D ，9
1
33144,cos 111-=⨯--=
⋅⋅=
∴N
D CM N D CM N D CM ，
9
5
48111sin 1=-
=⋅∴N D CM ，故选)(B .
7、由题可知，该程序框图的功能是计算)
1(1431321211++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=
k k S ，现在输入4=N ，由控制循环的条件N K <知，43<=K ,再循环一次4=K ，5
41
⨯+
=S S ，此时5<K 不成立，故输出5
4
51413121211541431321211=-+⋅⋅⋅+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯=S ，故选)(D .
8、由题，对]1,1[-∈∇x ,0)(≤x f 得，0)1(≤-f 且0)1(≤f ，即01≤--k 且01≤-k ，即11≤≤-k ，
∴所求的概率为3
2
)1(2)1(1=----=
P ，故选)(C .
9、如图，由ED 在x 轴上的投影为
12π，知12π=OF ，又)0,6
(π
A Θ，ϕπϖπ===∴24T AF ，2=∴ϖ，
又πϕπ
=+⨯26
Θ
，32πϕ=
∴，)3
22sin()(π
+=∴x x f ，233sin )6(=
=-∴ππf ，故选)(B . 10、无论1>c 还是10<<c ，)(log )(t c x f x
c +=都是R 上的单调增函数，故应有⎪⎩
⎪⎨
⎧
==2
)(2)(b b f a
a f ，则问题可转化为求2)(x x f =，即2
)(log x t c x
c =+，即2x
x c t c =+在R 上有两个不相等的实数根的问
题，令)0(2
>=m m c
x
，则2
x x
c t c =+可化为2m m t -=，问题进一步可转化为求函数t y =与
)0(2>-=m m m y 的图象有两个交点的问题，结合图形可得)4
1
,0(∈t .故选故选)(D .
二、填空题（5小题，每小题5分，共25分） 11、1-； 12、6215+； 13、33±； 14、32； 15、4
5π
+.
提示： 11、i i i i z --=-+=-=
21
2
21，∴z 的虚部为1-. 12、322)4
cos(2sin cos =
+
=
-=⋅π
αααb a Θ，即3
2
)4cos(
=+πα，αΘ为锐角， 35)4
sin(=
+
∴π
α，⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
++=+
∴6)4(sin )125sin(ππαπα 6
sin
)4
cos(6
cos
)4
sin(π
π
απ
π
α⋅+
+⋅+
=6
2
1521322335+=⨯+⨯=
.
13、ABC ∆Θ为等边三角形，)1,(-∴a C 到02=-+ay x 的距离31
22
=+-=
a d ，
3342+=∴a ，132=∴a 3
3±
=∴a . 14、将展开图围成一个三棱锥ACD B -如图示，其中三侧棱均为5，底面是ο
90=∠A 的等腰直角三
角形，且2==AD AC ，2=∴CD ，BD BA BC ==Θ，B ∴底面射影O 为CD 中点1=∴AO ，
215=-=BO ，3
22222131=⨯⨯⨯⨯=-ACD B V .
15、当)0,1[-∈x 时，1][-=x ，于是0][=y ，)1,0[∈y ；当)1,0[∈x 时，0][=x ，于是1][-=y 或0 或1，)2,1[-∈y ；当)2,1[∈x 时，1][=x ，于是0][=y ，)1,0[∈y ；B A ⋃∴所表示的平面区域由五个单位正方形和第三象限的
41单位圆构成，其面积为4
5π+. 三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16、解：（1）∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分
∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T π
ω
==，得4
π
ω=
. ……………2分
∴()2sin()44
f x x π
π
=+.……………3分
（2）∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫
=+==
⎪⎝⎭
， ……………4分
(4)2sin 2sin 244f πππ⎛
⎫=+=-=- ⎪⎝
⎭，……………5分
∴(2,2),(4,2)P Q -.
∴6,23,32OP PQ OQ ===.……………8分
∴()()()2
2
2
222
632233
cos 23
2632
OP OQ PQ
POQ OP OQ
+-+-∠=
=
=
⨯. ………10分 ∴21POQ POQ sin cos ∠=
-∠=
6
3
. ……………11分 ∴△POQ 的面积为11663222
3
S OP OQ POQ sin =
∠=⨯⨯⨯
32=.……………12分
17、解：设i A 表示事件“此人于3月)13,...,3,2,1(=i i 日到达该市”， 根据题意，13
1
)(=
i A P ，且)(j i A A j i ≠Φ=I ，……………4分 （1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则85A A B Y =, 所以13
2
)()()()(8585=
+==A P A P A A P B P Y .………………6分
（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且
134)()()()()()1(1176311763=
+++===A P A P A P A P A A A A P X P Y Y Y ， 13
4
)()()()()()2(131221131221=+++===A P A P A P A P A A A A P X P Y Y Y ，
13
5
)2()1(1)0(==-=-==X P X P X P ，………………10分
则X 的分布列为
X
0 1 2 P
135 134 134 故X 的数学期望值为1312
134213411350=
⨯+⨯+⨯=EX ……………12分
18、（1）证明：取11C B 的中点M ，连结EM 、M A 1， DF Θ∥EM ，AD ∥M A 1，AD I D DF =，M A 1I EM =M ，
∴平面ADF ∥平面EM A 1，……………4分
⊂E A 1Θ平面EM A 1,
∴1//A E 平面ADF .……………6分
（2）解：建立如图所示的直角坐标系：
设1=AB ,则)0,0,0(D ，)0,0,2
2(-
B ,)22
,0,0(A ,
)0,1,2
2
(
F ,………7分 则)22,0,0(=DA ,)0,0,22(-=BD ，)0,1,2
2(=DF ，………………8分
设平面ADF 的法向量为),,(z y x n =，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00
DA n DF n ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+02
2022
z y x ，………………9分
令2=x ，则)0,1,2(-=n ，………………10分
又⊥CF Θ面ABD ，则面ABD 的法向量为)0,1,0(=CF ,
3
3cos -
=⋅⋅=
CF
n CF n θΘ，
∴二面角B AD F --的余弦值3
3
-
.………………12分 19、解：（1）由题意，118
4640a d a d +=⎧⎨
+=⎩，得⎩⎨⎧==4
41d a ．
所以n a n 4=……………2分
230n n T b -+=Q ，113n b ∴==当时，，…………3分
112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥…………5分
则数列{}n b 为等比数列，1
32n n b -∴=⋅．……………6分
（2）由题得1
4 32n n n
n c n -⎧=⎨
⋅⎩为奇数为偶数
． 当n 为偶数时，13124()()
n n n P a a a b b b -=+++++++L L
=
2
12(444)6(14)2222
14
n
n n n n ++-⋅
-+=+--．……………8分
当n 为奇数时，132241()()
n n n n P a a a a b b b --=++++++++L L
1
2
21(44)6(14)2221214
n n n n n n -++⋅
-=
+=++--……………10分
12222,221n n n
n n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数
，为奇数
……………12分
20、解：（1）设椭圆E 的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>
由已知12||||4PF PF +=得24a =，∴2a = ……………………2分 又点3
(1,)2P 在椭圆上，∴
219
144b
+= ∴3b = 椭圆E 的标准方程为22
143
x y += ……………………5分
（2）由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形 ∴ABCD S =4OAB S ∆ 设直线AB 的方程为1x my =-，且1122((A x y B x y ,)、,)
由22114
3x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my +--=
∴121222
69
,3434
m y y y y m m +=
=-++ ……………………7分 OAB S ∆=1OF A S ∆+1OF B S ∆=12112||||OF y y ⋅-=1
2
12||y y -
=
1
2
2
1212()4y y y y +-=222
1
6(34)m m ++ …………………………9分
令2
1m t +=，则1t ≥ OAB S ∆=26
(31)t
t +=16196
t t
++，……… 11分 又Q 1()9g t t t
=+在[1,)+∞上单调递增
∴()(1)10g t g ≥= ∴OAB S ∆的最大值为
32
所以ABCD S 的最大值为6.………………………………13分
21、解：（1）()x
f x e a '=-，由已知，得(ln 2)21f a '=-=，∴a ＝1．…………1分
此时()1x
f x e x =--，()1x
f x e '=-，
∴当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>． ∴当x ＝0时，f (x )取得极小值，该极小值即为最小值，
∴f (x )min ＝f (0)＝0．……………4分
（2）记2
()1x
g x e x mx =---，()12x
g x e mx '=--, 设()()12,()2,x
x
h x g x e mx h x e m ='=--'=-则…………5分
①当1
2
m ≤
时，()0 (0)h x x '≥≥，()(0)0h x h ≥=， ()0 g x ∴'≥，()(0)0g x g ∴≥=，1
2
m ∴≤时满足题意；…………7分
②当1
2
m >时，()=0h x '令，得ln 20x m =>,
当[0,ln 2]x m ∈，()0h x '<，()h x 在此区间上是减函数，()(0)0h x h ≤=,
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 ∴()g x 在此区间上递减， (ln 2)(0)0g m g ∴≤=不合题意.
综合得m 的取值范围为1
(,]2
-∞.…………………9分 （3）记2
ln )(x x x h =
， 312ln ()x h x x
-∴'=，令()0h x '=，解得e x =， 当e x =时函数)(x h 有最大值，且最大值为12e
， ………………10分 2ln 12e x x ∴≤，∴42ln 11(2)2e n n n n ≤⋅≥,…………11分 ∴42222ln 1111()223n i i i e n
=<⋅++⋅⋅⋅+∑， 又n n n )1(13
2121113121222-+⋅⋅⋅+⨯+⨯<+⋅⋅⋅++ 111)111()3121()211(<-=--+⋅⋅⋅+-+-=n
n n ， ∴42222
ln 11111()2232n i i i e n e
=<++⋅⋅⋅+<∑， 即42
ln 12n i i i e =<∑.………………14分。