2021年浙江高考数学复习课件：10.3 抛物线及其性质

2
=4×
4k 2 4k
15 2 -1
,
得(4k2+3)(4k2-5)=0,得k=± 5 .
2
方法2 利用抛物线的定义解决有关问题的方法
抛物线是到定点和定直线的距离相等的点的轨迹,利用抛物线的定义解决
问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转
化.“看到准线想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决抛物线焦点
例1 (2018浙江镇海中学期中,19)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C: x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),过O作斜率为k(k≠0)的直线l交抛物线于A(异 于O点),已知D(0,5),直线AD交抛物线于另一点B. (1)求抛物线C的方程; (2)若OA⊥BF,求k的值.
解析 (1)由题意知, p =1,所以p=2,所以抛物线C:x2=4y.
考向基础
考点清单
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.抛物线的定义
到一定点F和定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点叫做抛
物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程
焦点在x轴上,标准方程为y2=2px(p≠0).
焦点在y轴上,标准方程为x2=2py(p≠0).
要根据一次项来判断焦点的位置,若x为一次项,则焦点在x轴上,若y为一次
AC AA1 xA 1 25 1 29 4
答案 D
弦有关问题的有效途径.
例2 (2018浙江宁波模拟,8)设抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(5,0)的直线与
抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,若|BF|=5,则△BCF与△
ACF的面积的比为 ( )
A. 5
6
C.15
31Biblioteka B. 2033D. 20
29
解析 设直线AB:x=my+5,代入抛物线y2=4x可知,y2-4my-20=0,所以yA·yB=-2
0.(不妨设yA<0<yB)
由抛物线的定义知,|BF|=
yB2 4
+1=5,所以yB=4,yA=-5,所以xB=4,xA=
25 4
.
分别过点A,B作准线的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1.
因为A,B,C三点共线,所以 SVBCF = BC ,
SVACF AC
由三角形相似知 BC = BB1 = xB 1= 5 = 20 ,故选D.
2
(2)由题意知,直线OA:y=kx,将其代入抛物线方程:x2=4y中,
消去y,得x2-4kx=0,则A(4k,4k2).
直线AB:y= 4k 2 -5 x+5,直线BF:y=- 1 x+1,
4k
k
联立可解得B
-16k 4k 2 -1
,
4k 2 4k
15 2 -1
.
又因为B在抛物线C上,所以
-16k 4k 2 -1
项,则焦点在y轴上.一次项系数大于0时,焦点在正半轴上,系数小于0时,焦
点在负半轴上.
方法技巧
方法1 求抛物线标准方程的方法
1.定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定p的值,得到抛物线 的标准方程. 2.待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定p的值,这里应注意抛物线的 标准方程有四种形式.从简单化角度出发,焦点在x轴上的,设为y2=ax(a≠0), 焦点在y轴上的,设为x2=ay(a≠0).