内蒙古乌海市2021届新高考第二次适应性考试数学试题含解析

内蒙古乌海市2021届新高考第二次适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，x ，y R ∈，
则23x y +=（ ）
A ．2
B ．53
C ．43
D ．32
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据题中条件和三角形中几何关系求出x ，y ，即可求出23x y +的值.
【详解】
如图所示过O 做三角形三边的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，
过O 分别做AB ，AC 的平行线NO ，MO ，
由题知2222
94cos 607212
AB AC BC BC BC AB AC +-++︒==⇒=⋅⋅ 则外接圆半径212sin 60BC r ==⋅︒ 因为⊥OD AB ，所以22213193
OD AO AD =-=-=， 又因为60DMO ∠=︒，所以2133DM AM =⇒=，43
MO AN ==， 由题可知AO xAB y AC AM AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ，
1AM 4AN
所以5233
x y +=
. 故选：D.
【点睛】 本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.
2．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221n
n N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( )
A ．215
B ．15
C ．415
D ．13
【答案】B
【解析】
【分析】
基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率．
【详解】
在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =
能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155
P =
= 本题正确选项：B
【点睛】
本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．
3．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）
A ．2y x =+
B ．y sinx =
C ．3y x x =-
D ．2x y = 【答案】C
【解析】
【分析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】
A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；
B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；
C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；
故选：C .
【点睛】
本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
4．已知三棱柱
1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,
AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )
A
B
． C ．132 D
．【答案】C
【解析】
因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R
13，即R ＝132
5．过椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34
FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A
B
．C ．12 D
【答案】D
【解析】
【分析】
求得点B 的坐标，由34
FO AA ='，得出3BF FA =u u u r u u u r ，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.
【详解】
由题意可得()0,B b 、(),0F c -. 由34FO AA ='，得34BF BA =，则31
BF FA =，即3BF FA =u u u r u u u r . 而(),BF c b =--u u u r ，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以点4,3
3b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.
因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆22
22:1x y C a b +=上，则2222
4331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==
，所以e =. 即椭圆C
的离心率为
2 故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.
6．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）
A ．3
B ．－3
C ．2
D ．－2
【答案】A
【解析】
【分析】
求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.
【详解】
2()626()3
a f x x ax x x '=-=-， 若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，
()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ，
()f x 在()0,∞+不存在零点；
若0a >，(0,),()0,(0,),()03
a x f x x f x ''∈<∈+∞>， ()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，
31()10,3327
a f a a =-+=∴=. 故选:A.
【点睛】
本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中
7．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B U 等于（ ）
A ．{}|2x x >-
B ．{}1|0x x -<<
C ．{}|1x x >-
D ．{}|12x x -<< 【答案】A
【解析】
【分析】
求出集合B ，然后进行并集的运算即可.
【详解】
∵{}|1A x x =>-，{}|20B x x =-<<，
∴{}|2A B x x =>-U .
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.
8．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】D
【解析】
【分析】 通过列举法可求解，如两角分别为
2,63ππ时
【详解】 当2,36
A B ππ=
=时，sin sin A B >，但tan tan A B <，故充分条件推不出； 当2,63A B ππ==时，tan tan A B >，但sin sin A B <，故必要条件推不出； 所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题
9．若集合{|A x N x =∈=，a = ） A ．{}a A ⊆
B ．a A ⊆
C ．{}a A ∈
D ．a A ∉ 【答案】D
【解析】
由题意{|A x N x =∈=
=∅，分析即得解 【详解】
由题意{|A x N x =∈=
=∅，故a A ∉，{}A a ⊆
故选：D
【点睛】 本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 10． “1cos 22α=-”是“3
k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】 先求出满足1cos 22α=-
的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 由1cos 22α=-得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的必要不充分条件．
故选：B ．
【点睛】
本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．
11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212
*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )
A ．()12n n +
B ．12n +
C ．21n -
D ．121n ++
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S .
【详解】
2
第二项为212114S a a +=++=，所以公比为
422
=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C
【点睛】 本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.
12．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛
⎫=+∈> ⎪⎝⎭
的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )
A ．向左平移8
π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移
4π个单位长度 D ．向右平移
4π个单位长度 【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4
f x x π
=+ cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ cos 2()8
x π=-， 因此它的图象向左平移8
π个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．
【名师点睛】
三角函数图象变换方法：
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于,M N 两点，2
MF NF b +=，若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a ，则-a b 的值为_________. 【答案】1
【解析】
【分析】
设()()1122,,,M x y N x y ，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得12x x +，由抛物线定义得焦点弦长，求得b ，再写出MN 的垂直平分线方程，得a ，从而可得结论．
【详解】
抛物线2:4C y x =的焦点坐标为()1,0，直线l 的方程为1y x =-，
据214y x y x
=-⎧⎨=⎩得2610x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ， 则()12121216,4,11422
MF NF x x y y b x x ++=+=∴==+++=. 线段MN 垂直平分线方程为()213y x -=-⨯-，令0y =，则5x =，所以5a =， 所以1a b -=.
故答案为：1．
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键．
14．已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．4a =，6b ，3A π=
则cos2B =_________． 【答案】716
【解析】
利用正弦定理求得角B ，再利用二倍角的余弦公式，即可求解.
【详解】 由正弦定理得63=
32sin 8
B ∴=，187cos 2126416B =-⨯=． 故答案为：
716
. 【点睛】
本题考查了正弦定理求角，三角恒等变换，属于基础题.
15．已知过点O 的直线与函数3x y =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数9x y =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是 【答案】3log 2
【解析】
【分析】
通过设出A 点坐标，可得C 点坐标，通过BC ∥x 轴，可得B 点坐标，于是再利用OA OB k k =可得答案.
【详解】
根据题意，可设点(),3a A a ，则(),9a
C a ,由于BC ∥x 轴，故9a C B y y ==，代入3x y =，
可得2B x a =，即()2,9a B a ，由于A 在线段OB 上，故OA OB k k =，即392a a a a =，解得 3log 2a =.
16．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据程序框图直接计算得到答案.
程序在运行过程中各变量的取值如下所示：
是否继续循环 i x
循环前 1 4
第一圈 是 4 4+2
第二圈 是 7 4+2+8
第三圈 是 10 4+2+8+14
退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()1f x x =-，不等式()()15f x f x +-<的解集为{}x m x n <<. （1）求实数m ，n 的值；
（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +≥.
【答案】（1）1m =-，4n =.（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）分三种情况讨论即可
（2）将m ，n 的值代入，然后利用均值定理即可.
【详解】
解：（1）不等式()()15f x f x +-<可化为125x x -+-<. 即有1325x x ≤⎧⎨-<⎩或12x <<或2235
x x ≥⎧⎨-<⎩. 解得，11x -<≤或12x <<或24x ≤<. 所以不等式的解集为{}14x x -<<，故1m =-，4n =.
（2）由（1）知，0nx y m ++=，即41x y +=，
由0x >，0y >得，()1111445549x y x y x y x y y x
⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4x y y x =，即16
x =，13y =时等号成立.故119x y +≥，即9x y xy +≥. 【点睛】
18．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为12
2x y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，PAB ∆的顶点P 也在曲线C 上运动，求PAB ∆面积的最大值. 【答案】（1）l ：30x y +-=，C ：2
2
40x y x +-=；（2
）2
【解析】 【分析】
（1）由直线参数方程消去参数即可得直线l 的普通方程，根据极坐标方程和直角坐标方程互化的公式即可得曲线C 的直角坐标方程；
（2）
由AB =PAB ∆
的底AB =由点P 到直线l 的距离的最大值为r d +即可得
PAB ∆高的最大值，即可得解.
【详解】
（1
）由12
22
x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
消去参数得直线l 的普通方程为30x y +-=， 由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，曲线C 的直角坐标方程为22
40x y x +-=；
（2）曲线C 即()2
224x y -+=，
圆心()20，
到直线l
的距离22
d r ==
<=，
所以AB ==
又 点P 到直线l
的距离的最大值为22
r d +=+
， 所以PAB ∆面积的最大值为(
)12AB r d +=
. 【点睛】
本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题. 19．为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无
公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：
（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；
（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每
间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次
．．，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；
（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X，求X的分布列及期望.
【答案】（1）见解析；（2）（i）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii）若
采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，()3 4
E X=.
【解析】
【分析】
（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.
（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.
（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望.
【详解】
（1）第一组数据平均数为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24
⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩，
第二组数据平均数为
544232
5.18 5.20 5.22 5.24 5.26 5.28 5.22
202020202020
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤/亩，
可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（
（2）（i）对于采用延长光照时间的方法：
每亩平均产量为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24
⨯+⨯+⨯+⨯=千斤.
∴该农场一年的利润为()5.242160.22100426⨯⨯--⨯=千元. （ii ）对于采用降低夜间温度的方法： 每亩平均产量为
5.185 5.204 5.224 5.242 5.263 5.282
5.2220
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千斤，
∴该农场一年的利润为()5.222160.2100424⨯⨯--⨯=千元.
因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.
（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，
X 的可能取值有0，1，2，3，
()31532091
0228C C P X ===；
()2115532035
176C C C P X ===；
()121553205
238C C C P X ===；
()353201
3114
C P X C ===.
所以X 的分布列为
所以()12376381144
E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.
20．已知函数3
222()3
f x x mx m x =
-+(m ∈R)的导函数为()f x '． （1）若函数()()()g x f x f x =-'存在极值，求m 的取值范围；
（2）设函数()(e )(ln )x
h x f f x ='+'（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式
22()h x m k ≥+在(0，+∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．
【答案】（1）(2,2)m ∈-（2）{1，2}． 【解析】
【分析】
（1）求解导数，表示出()g x ，再利用()g x 的导数可求m 的取值范围； （2）表示出()h x ，结合二次函数知识求出2
222()2(ln )22(ln )x
x
F m m e x m e
x k =-+++-的最小值，
再结合导数及基本不等式求出()ln x
G x e x =-的最值，从而可求正整数k 的取值集合． 【详解】 （1）因为3
222()3
f x x mx m x =
-+，所以22()22f x x mx m '=-+， 所以3
2222()()()(2)(2)3
g x f x f x x m x m m x m '=-=
-+++-， 则2
2
()22(2)2g x x m x m m '=-+++，
由题意可知2
2
4(2)8(2)0m m m ∆=+-+>，解得(2,2)m ∈-；
（2）由（1）可知，22
()22f x x mx m '=-+，
所以222()222(ln )2ln 2x
x h x e me x m x m =-+-+
因为22222()222(ln )2ln 2x
x h x e
me x m x m m k =-+-+≥+
整理得2
2222(ln )22(ln )0x
x
m e x m e
x k -+++-≥，
设()ln x
H x e x =+，则1
()0x
H x e x
'=+
>，所以()H x 单调递增， 又因为1
1()1m m e
H e e m m --=+->，
所以存在(
)
1
1,x m e
m x e
e ---∈，使得()ln x H x e x m =+=， 设2222()2(ln )22(ln )x x
F m m e x m e
x k =-+++-，是关于m 开口向上的二次函数，
则2
2
min ()(ln )(ln )x
x
F m F e x e x k =+=+-，
设()ln x
G x e x =-，则1()x
G x e x
'=-
，令1()x L x e x '=-，则21()0x
L x e x '=+>，
所以()G x '
单调递增，因为1
()202
G '=<，(1)10G e '=->
所以存在01(,1)2
x ∈，使得0
()0G x '=，即0
01x e x =， 当0(0,)x x ∈时，()0G x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0G x '>，
所以()G x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，
所以0
min 0000
1()()ln x G x G x e x x x ==-=+
， 因为01(,1)2x ∈，所以00
15()(2,)2G x x x =+∈， 又由题意可知22
(())0G x k -≥，所以2222
min 0(())(())0G x k G x k -=-≥，
解得0()k G x ≤，所以正整数k 的取值集合为{1，2}． 【点睛】
本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题一般转化为导数的零点问题，恒成立问题要逐步消去参数，转化为最值问题求解，适当构造函数是转化的关键，本题综合性较强，难度较大，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
21．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22ccosB a b =+． （1）求角C 的大小； （2）若函数()2sin 2cos 2()6f x x m x m R π⎛
⎫
=+
+∈ ⎪⎝
⎭图象的一条对称轴方程为2
C
x =且6
25f α⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求(2)cos C α+的值．
【答案】（1）23C π=（2）7
225
cos
C α+=-（） 【解析】 【分析】
（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求1
cosC 2
=-
，即可求C 的值． （2）利用三角函数恒等变换的应用，可得(
)()f x m 1cos2x =++，根据题意，得到
()2πf 0f 3⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得m 2=-，得到函数的解析式，进而求得πsin α6⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值，利用三角函数恒等变换
的应用可求()cos 2αC +的值． 【详解】
（1）由题意，根据正弦定理，可得2sinCcosB 2sinA sinB =+，
又由()A B C π=-+，所以 ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 可得2sinCcosB 2sinBcosC 2cosBsinC sinB =++，即2sinBcosC sinB 0+=， 又因为()0,B π∈，则sin 0B >，
可得1cosC 2=-
，∵()0,C π∈，∴2πC 3
=． （2）由（1）可得()()f x 2sin 2x 1mcos2x 2sin2xcos 2cos2xsin mcos2x =++=++
()
m 1cos2x =++，
所以函数()f x 的图象的一条对称轴方程为π
x 3
=，
∴()2πf 0f 3⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
，得()4π4πm 1m 1cos 33+=++，即m 2=-，
∴()πf x cos2x 2sin 2x 6⎛
⎫=-=-
⎪⎝
⎭
， 又απ6f 2sin α265⎛⎫⎛
⎫=-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，∴π3sin α65⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()22ππππ7cos 2αC cos 2αcos 2α-cos2α2sin α1336625⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭． 【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22．已知函数()ln 1
x ax f x x
++=
.
（1）若对任意x >0，f （x ）<0恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）若函数f （x ）有两个不同的零点x 1，x 2（x 1<x 2），证明：22
1221
2x x x x +>. 【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求出()'
f
x ，判断函数()f x 的单调性，求出函数()f x 的最大值，即求a 的范围；
（2）由（1）可知， ()()120,1,1,x x ∈∈+∞.对2x 分()21,2x ∈和[
)22,x ∈+∞两种情况讨论，构造函数，利用放缩法和基本不等式证明结论． 【详解】 （1）由()ln 1ln 1x ax x f x a x x x ++==++，得()'2ln x
f x x
=-.
令()'
0,1f
x x =∴=.
当01x <<时，()'
0f
x >；当1x >时，()'0f x <；
()f x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
()()max 11f x f a ∴==+.
Q 对任意()0,0x f x ><恒成立，10,1a a ∴+<∴<-.
（2）证明：由（1）可知，()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
()()120,1,1,x x ∴∈∈+∞.
若()21,2x ∈，则()220,1x -∈， 令()()()()ln 2ln 11
2,0122x x g x f x f x x x x x x
-=--=
+--<<-- ()()()
()()2
'
22222
ln 11ln 2ln 2ln ln 02x x x x x g x x x x x x ⎡⎤--+--⎣⎦∴=-->--=->- ()g x ∴在()0,1上单调递增，()()()()10,2g x g f x f x ∴<=∴<-，
()()()1122f x f x f x ∴->=.
()110,1,21,x x ∈∴->Q 又21>x ，()f x 在()1,+∞上单调递减，
12122,2x x x x ∴-<∴+>.
若[
)22,x ∈+∞，则122x x +>显然成立. 综上，122x x +>.
又22122112212,2x x x x x x x x +≥=+≥= 以上两式左右两端分别相加，得
()22122112212x x x x x x x x +++≥+，即22121221
x x x x x x +≥+， 所以22
1221
2x x x x +>. 【点睛】
本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题.
23．直线l 与抛物线2
:2C y px =(0)p >相交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，若P ，Q 到x 轴距离的乘
积为16．
（1）求C 的方程；
（2）设点F 为抛物线C 的焦点，当PFQ ∆面积最小时，求直线l 的方程． 【答案】（1）2
4y x =；（2）4x =
【解析】 【分析】
（1）设出两点的坐标，由距离之积为16，可得1216y y =-.利用向量的数量积坐标运算，将OP OQ ⊥转
化为12120OP OQ x x y y ⋅=+=u u u r u u u r
.再利用两点均在抛物线上，即可求得p 的值，从而求出抛物线的方程；
（2）设出直线l 的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线l 恒过定点()4,0M ，将PFQ ∆面积用参数t 表示，求出其最值，并得出此时的直线方程. 【详解】
解：（1）由题设()11,P x y ，()22,Q x y
因为P ，Q 到x 轴的距离的积为16，所以1216y y =-，
又因为OP OQ ⊥，12120OP OQ x x y y ∴⋅=+=u u u r u u u r
，
22
12122256
16224y y x x p p p
∴==⋅=，2p ∴= 所以抛物线C 的方程为2
4y x =．
（2）因为直线l 与抛物线两个公共点，所以l 的斜率不为0， 所以设:PQ l x ty m =+
联立2
4x ty m y x
=+⎧⎨
=⎩，得2
440y ty m --=， 即124y y t +=，12164y y m =-=-，
4m ∴=
即直线l 恒过定点()4,0M ，
所以121||2PFQ S FM y y ∆=
-= 当0t =时，PFQ ∆面积取得最小值12，此时4x =. 【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相交的问题，其中垂直条件的转化，直线过定点均为该题的关键，属于综合性较强的题.。