复变函数的积分Cauchy积分定理PPT课件

L


L v(x, y)dx u(x, y)dy {v[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt
故

L f (z)dz {u[x(t), y(t)] iv[x(t), y(t)][x(t) iy(t)]}dt

f [z(t)]z(t)dt
计算积分
zdz,(1)L
L
C1, (2)L

C2
C3.
分析:
y z0 1 i
（1）C1的方程为z=(1 i)x,x:0 1
1
zdz [(1 i)x (1 i)]dx 1
C1
0
C1
C3
（2）C2的方程为z=x,x:0 1,C3的方程为o z=1+iyC,2y:0z1 1 x
r n1 0
0
当n 1时， dz 0
C (z z0 )n
当n 1时,
C
dz (z z0 )n
2 i
曲线积分与曲面积分
5
结论 :
dz 2 i n 1
C (z z0 )n

0
n 1
曲线积分与曲面积分
6
例2:设C1是从原点到z0 =1+i的直线段,C2是从原 点到z1=1直线段,C3是从z1=1到z0 =1+i的直线段,
1 z
z
曲线积分与曲面积分
26
定义2
若在区域D中(z)=f(z),则称(z)是f(z)在单连通 域D中的一个原函数。
曲线积分与曲面积分
27
定义2
若在区域D中(z)=f(z),则称(z)是f(z)在单连通 域D中的一个原函数。
分析：(z)是的f(z)一个原函数，则

Rezdz.
分析：Rez不解析，Rez= 1（z+z）,z= 4 ,
2
z
1
2i

Rezdz

1
4i
(z+
4 z
)dz

1
4i
zdz

1
i

1 zdz
02 2
曲线积分与曲面积分
23
四、原函数与不定积分
设D是复平面上的单连通区域，f(z)在D内解析
C f (z) dz 0 L f (z)dz积分与路径无关 F(z)= z f( )d (z D) 复变函数
z2 z1
f
( )d
(z2 ) (z1)
(z1z2 D)
牛顿莱布尼兹公式
曲线积分与曲面积分
29
定义3(f(z)的不定积分）：若F(z)=f(z),则
f (z)dz F(z) c
曲线积分与曲面积分
30
z0
问题：是否与一元函数积分学中变上限函数类似 的性质？
曲线积分与曲面积分
24
定理2 若f(z)在单连通区域D内解析,z0 D,则
z
F(z) f ( )d (z D), (3.8) z0
是D内的一个解析函数，并且F(z)=f(z),(z D).
分析：
F(z z) F(z)
1[
z z
f ( )d
z
f ( )d ]
z
z z0
z0
z z
z f (z)d f (z)z
F(z z) F(z) f (z) 1
zz f ( )d 1
z z
f (z)d
z
z z
z z
1
z z
[ f ( ) f (z)]d
(3)下半单位圆周.
分析：
(1)z=2t-1 t:0 1
i
原式
1
2(2t 1)dt 0
0
-1
1
(2)z=ei : 0 原式 0 ei iei d 0
-i
(3)z=ei : 2 原式 2 ei iei d 0
曲线积分与曲面积分
C
C
C
C
曲线积分与曲面积分
13
三、Cauchy积分定理
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，又假设u(x,y)和v(x,y) 在D具有连续偏导数，
f (z)dz u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy
D
D
2 (1 2t)dt 2
0
1 (2t 1)dt
1
2
(2)z=ei : 0
原式 0 iei d 2
1 -i
(3)z=ei : 2
原式 2 iei d 2
曲线积分与曲面积分
8
例4：计算积分 1 zdz,积分路径是(1)直线段；(2)上半单位圆周; -1
iyk ).
n

lim
0
[u(k ,k
k 1
)xk

v(k ,k )yk ]
n
i
lim
0
k 1
[v(k
,k
)xk

u(k ,k
)yk
].
右端的两个极限都是第二型曲线积分, 所以
L f (z)dz L[u(x, y) iv(x, y)][dx idy] L u(x, y)dx v(x, y)dy曲线积i 分L与v曲(x面,积y分)dx u(x, y)dy
1
1
zdz L
xdx
0
(1 曲i线y )积i分d与y 曲面1积分i
0
7
例3：计算积分 1 z dz,积分路径是(1)直线段；(2)上半单位圆周; -1
(3)下半单位圆周.
分析：
(1)z=2t-1 t:0 1
i
原式
1
2 2t 1dt
0
-1
1
1
2
f (z)dz 0 D
证明参阅庄圻泰和张南岳编《复变函数》第三章。
曲线积分与曲面积分
16
推论：f(z)在单连通区域D内解析,C为D内任一闭曲线,
则 C f(z)dz 0
曲线积分与曲面积分
17
当区域D是多连通区域时，设其边界由L0及被L0包围在内且彼此互 相外离的n条简单封闭曲线,L-1,L-2, L-n,L-k是表示Lk取顺时针方向,
一、复变函数积分的概念
1.定义 设L是复平面上可求长的有向Jordan曲线
（即简单连续曲线），始点为a，终点为b,复变函
数w=f(z)在上有定义，在 L上引进分点系，
a z0 , z1,
zk 1, zk ,
, zn b
记
=
Max{zk 1 1k n
zk
的弧长},任取
k
zk 1zk ,
Zn
Z n1
Zk Z k 1 k
Z0 Z1曲线Z2积分与曲面积分
1
n
若 lim 0
k 1
f
( k )zk 存在且与的分割方式及 k的取法无关,则称之
为f (z)沿L的积分, 记为L f (z)dz,即
n
L
f (z)dz
lim 0 k 1
f ( k )zk
Lk

L0
L1
Ln
D=L0 +L-1+L-2 L-n
曲线积分与曲面积分
18
如果f(z) A(D)C(D),则由Cauchy积分定理得
f (z)dz D
L0 +L-1 +
+L-n
f (z)dz 0
n
n
f (z)dz
L0
k 1
L-k
f (z)dz
D
格林公式

( v u )dxdy i
(u v )dxdy
D x y
D x y
C-R方程
0
曲线积分与曲面积分
14
定理(Cauchy)
设D是区域，其边界D为Jordan可求长曲线.f(z) A(D)C(D), (即f(z)在D内解析且在D连续),则
L f (z)dz L f (z) ds M L
曲线积分与曲面积分
12
例5：证明 (x2 +iy2 )dz ,C:连接-i到i的右半圆周. C 分析：（利用长大不等式）
(x2 +iy2 )dz x2 +iy2 ds x4 y4ds (x2+y2)ds
z
(z) f ( )d C z0
(z)
z
f ( )d C
z0
(z0 )
z0 f ( )d C C
z0
z
z0 f ( )d (z) (z0)
曲线积分与曲面积分
28
定理3
设f(z)在单连通区域D内解析,(z)=f(z),（z D）,则
dz z 1
dz z
(1)z 2,
11
2
2

z
1 dz 1

2 i
(2)z-1 1 ,
2

1dz z

2
i
原式 4i
1 dz 2 i 1dz 0 原式 2i
z 1
z 曲 线积分与曲面积分
22
例8：设是圆周
z
=2，计算积分
1
2i
(3.23)
若曲线L的参数方程为
z=z(t)=x(t)+iy(t), t:
则f[z(t)]=u[x(t),y(t)]+iv[x(t),y(t)],z(t)=x(t)+iy(t).
因为
u(x, y)dx v(x, y)dy

{u[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt
曲线积分与曲面积分
4
例1: 计算积分
dz C(z-z0
)n
,其中C为以z0为中心,r
为半径的正向圆周, n为整数.
分析 :
r
C : z z0 rei
: 0 2
z0
dz
C (z z0 )n

2 0
irei (rei )
n
d

i
2
2
[ cos(n 1)d i sin(n 1)d ]
曲线积分与曲面积分
20
例6：设是正向简单封闭曲线，z0 ,n为正整数，计算积分
1
(z-z0 )n dz.

分析： 1 (z-z0
)n
在z=z0时不解析，
（1）若z0在外部，(z-1z0
)n
dz
Cauchy

0
（2）若z0在内部，
1
1
2i n 1
(z-z0)n dz
9
结论： 不同的路径积分的结果有时相同，有
提出问题： 什么情况下积分与路径无关呢？
时不同。
曲线积分与曲面积分
10
二 复变函数积分的性质 (1) (线性) 设, 为常数, f (z), g(z)在L上可积, 则
L[ f (z) g(z)]dz L f (z)dz L g(z)dz.
(2) 设 L是有向曲线弧, L是与L方向相反的有向曲线
弧, 则
f (z)dz f (z)dz
L
L
(3) (可加性) 设 L由L1和L2组成, 则
f (z)dz f (z)dz f (z)dz.
L
L1
L2
曲线积分与曲面积分
11
(4)(长大不等式)设 f(z) M,(z L),L的长度记为 L ,则
z z
曲线积分与曲面积分
25
1
z zz


0, 2

0,使得当
-z
<
时,
2fBiblioteka ()f(z)
< ,
取 =min(1,2 )则当 z <时，由长大不等式
F(z z) F(z) f (z) 1
z z
f ( ) f (z)ds
z
z z
C
(z-z0
)n
dz


0
n 1
曲线积分与曲面积分
C

z0
21
例7：计算积分

2z-1 z2 -z
dz,
(1)是圆周
z
=2,(2)是圆周
z-1
=
1 2
.
分析：2z-1 z2 -z

z (z 1) z(z 1)

1 z 1
1 z
2z-1
1
1
z2-zdz
其中, 称f (z)为被积函数,L称为积分曲线.
(3.1)
曲线积分与曲面积分
2
二 计算方法
设z=x+iy,zk =xk +iyk, k =k +ik,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
则(3.1)可改写为
n
L
f
(z)dz

lim
0
[u(k ,k )
k 1
iv(k ,k )](xk
k 1
f (z)dz
Lk
------复合闭路变形原理
曲线积分与曲面积分
19
特别地：当区域D是二连通区域时，D=L0 +L-1,则当f(z) A(D) C(D)时
f (z)dz f (z)dz
L0
L1
表明：一个解析函数沿闭曲线的积分，当闭曲线（积分曲线）在 该函数解析的区域内作连续变形而得到新的积分曲线时，积分值 不变。