【高中数学】【 学案导学设计】学年高中数学 1.3 弧度制课时作业 北师大版必修4

§3 弧度制
课时目标 1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
1．角的单位制
(1)角度制：规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的______________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是____．
2．角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝______ rad 2π rad＝________ 180°＝____ rad π rad＝______
1°＝________rad ≈0．017 45 rad 1 rad ＝____________ ≈57．30°＝57°18′
3．扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R ，弧长为l ，α (0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位
类别
α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l ＝________ l ＝____ 扇形的面积 S ＝____ S ＝____＝______
一、选择题
1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α|α＝2k π±π
2，k ∈Z 的关系是
( )
A ．A ＝
B B ．A ⊆B
C ．B ⊆A
D ．以上都不对
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A ．2
B ．sin 2
C ．2
sin 1 D ．2sin 1
3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2
，则其中心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1或2 C ．2或4 D ．1或5
4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )
A ．∅
B ．{α|－4≤α≤π}
C ．{α|0≤α≤π}
D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5．把－11
4
π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A ．π4
B ．－π4
C ．34π
D ．－34
π
6．扇形圆心角为π
3
，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )
A ．1∶3
B ．2∶3
C ．4∶3
D ．4∶9
二、填空题
7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________． 8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．
9．若2π<α<4π，且α与－7π
6
角的终边垂直，则α＝______．
10．若角α的终边与角π
6
的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝
________________．
三、解答题
11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1 500°；(2)23
6
π；(3)－4．
12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
能力提升 13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．
14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．
(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭
⎪⎫180π＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．
§3 弧度制 答案
知识梳理
1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l
r
终边的旋转方向 正数 负数 0
2．2π 360° π 180° π180 ⎝ ⎛⎭⎪⎫180π° 3．απR 180 αR απR 2360 12αR 2 1
2
lR
作业设计 1．A
2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2
sin 1
．]
3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，
则⎩⎪⎨⎪⎧
2r ＋αr ＝612
αr 2
＝2，解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
r ＝1α＝4
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
r ＝2α＝1
．]
4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]
5．D [∵－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π， ∴θ＝－3
4
π．]
6．B [设扇形内切圆半径为r ， 则r ＋
r
sin
π6＝r ＋2r ＝a ．∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2
． S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝3
2πr 2．
∴S 内切∶S 扇形＝2∶3．]
7．－10π＋7
4
π
解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，
∴－1 485°可以表示为－10π＋7
4
π．
8．25
解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π
5
r ＝30π，∴r ＝25．
9．73π或103
π 解析 －76π＋72π＝146π＝7
3π，
－76π＋92π＝206π＝10
3
π． 10．－11π3，－5π3，π3，7π3
解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝7
3
π，
π3－2π＝－53π，π3－4π＝－11
3
π． 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π
3
，
∴－1 500°与5
3
π终边相同，是第四象限角．
(2)236π＝2π＋11
6π，
∴236π与11
6
π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ．
∴S ＝12lr ＝12
×(40－2r )r ＝20r －r 2
＝－(r －10)2
＋100．
∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2
，
此时θ＝l r ＝40－2×10
10
＝2 rad ．
∴当半径为10 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm 2
． 13．4 2
解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r ．
∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r
r
＝42．
14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，
∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π
3 (cm)．
S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102
×sin 60°
＝50⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－32 (cm 2
)．
(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝
c －2R
R
， ∴S 扇＝12αR 2
＝12·c －2R R ·R 2＝12
(c －2R )R
＝－R 2
＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c
2
16
．
当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 2
16
．
高考数学：试卷答题攻略
一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

2.先熟后生。

3.先同后异。

先做同科同类型的题目。

4.先小后大。

先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。

5.先点后面。

高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。

6.先高后低。

即在考试
的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。

在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。

假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。

对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。

将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。

2.跳步解答。

若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”
与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

理综求准求稳求规范第一：认真审题。

审题要仔细，关键字眼不可疏忽。

不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。

也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。

试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。

高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。

做选择题时要心态平和，速度不能太快。

生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。

物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。

选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。

第四：客观题求规范。

①用学科专业术语表达。

物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。

②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。

③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。

④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。

⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。

记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。