广东省佛山市第一中学2014-2015学年高二上学期10月段考数学试题 Word版含答案[ 高考]

佛山一中2014-2015学年度上学期高二第一次段考
理科数学试题
参考公式：锥体体积：Sh V 31=
台体体积 ：
1
(3V h
S S +=+上底下底
球体体积：3
3
4R V π= 球表面积：
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的 1. 在空间，下列命题正确的是 （ ）
A. 平行直线的平行投影重合 B ．平行于同一直线的两个平面平行 C ．垂直于同一平面的两个平面平行 D ．垂直于同一平面的两条直线平行 2. 给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．②和④ 3. 对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形(如左下图)，则原图形的面积是 ( )
A
B ． 2
C ．22
D ．
4
4．一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )
A ．A
B ∥CD B ．AB 与CD 相交
C ．AB ⊥C
D D ．AB 与CD 所成的角
为60°
5. P 是平面ABC 外一点，⊥PO 平面ABC ，垂足为O ，若PC PB PA ,,两辆互相垂直，则O 是ABC ∆的 ( )
A. 垂心
B.内心
C.重心
D. 外心
6. 某几何体的三视图如左下图所示，它的体积为 ( )
A. 72π
B. 48π
C. 30π
D. 24π
7 . 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A ．28＋6 5 B ．30＋6 5 C ．56＋12 5 D ．60＋12 5
8. 已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，
BC =O 的表面积等于 （ ）
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π 二、 填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分．
9. 已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2
cm ，则此圆锥的体积为__________3
cm ． 10. 正方体ABCD D C B A -1111的内切球的体积为3
4π
，则这个正方体的外接球的表面积为______
11. 已知正四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1的高为2，A 1B 1=1，AB=2， 则该四棱台的侧面积等于
12. 如图，ABC ∆中， 90=∠C ，
30=∠A ，1=BC ．
在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与 BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图中
阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为 ．
13. 已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA =
2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为__________
14.已知正四面体的各棱长都为2，四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
三．解答题:本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本题满分12分）
第6题
正视图 俯视图
侧视图
长方体1111ABCD A BC D -中,
2AB =,14AA AD ==, 点E 为AB 中点.
(Ⅰ) 求证：1BD // 平面1A DE ； (Ⅱ) 求证:1A D ⊥平面1ABD ；
16.（本题满分12分）
如图，在边长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证： （1）A 1C ⊥平面BDC 1；
（2）求三棱锥A 1—BDC 1的体积。

17.（本题满分14分）
如图，三角ABC 是边长为4正三角形，PA ⊥底面ABC
，PA =点D 是BC 的中点，
点E 在AC 上，且DE AC ⊥．
(1) 证明：平面PDE ⊥平面PAC ； （2）求直线AD 和平面PDE 所成角的正弦值．
18.（本题满分14分）
如图，AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足 ⊥FC 平面BED ，a FB 5=．
(1) 证明：FD EB ⊥；
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1
D
M
N
C
B
A
S
(2) 求点B 到平面FED 的距离．
19.（本题满分14分）
如图(1)所示，在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2，E 、F 、G 分别为线段PC 、PD 、BC 的中点，现将△PDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD(图(2))．
(1) 求证：平面EFG ∥平面PAB ；
(2) 若点Q 是线段PB 的中点，求证：PC ⊥平面ADQ ； (3) 求三棱锥C －EFG 的体积．
20.（本题满分14分）
如图,在三棱锥S ABC -中, SA ⊥平面ABC , 90ABC ︒
∠=, 2,4SA BC AB ===,
M ,,N D 分别是,,SC AB BC 的中点.
(1) 求证:MN AB ⊥;
(2) 求二面角S ND B --的余弦值; (3) 求点M 到平面SND 的距离.
佛山一中2014-2015学年度上学期高二级第一次段考
数理科学试卷
一、选择题：把正确答案的选项符号填涂在答题卡上！
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把正确答案填在答题卷上
9._____________________； 10.____________________； 11.__________________；
12.____________________； 13.____________________；14．___________________.
三、解答题:本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.（本题满分12分）
16.（本题满分12分）
17.（本题满分14分）
A B
C
D
A1 B1
C1
D1
E
A
B
C
D
A1B1
C1 D1
18. （本题满分14分）
19.（本题满分14分）
D
M
N
C
B
A
S
20.（本题满分14分）
2014-2015学年度上学期高二级第一次段考理科数学答案
一．选择题：D D C D A C B A
二．填空题：9.12π； 10.12π；
11.
12.27
；
13.
10
；14．3π.
三．解答题:本大题共6小题，共80分 15.（本题满分12分）
解:(Ⅰ)设1A D 与1AD 交于点O ,连结EO …………1分 在长方体1111ABCD A BC D -中,
O 、E 分别为1AD 、AB 的中点,
∴1//OE BD ……………………………3分 ∵OE ⊂平面1A DE ,1BD ⊄平面1A DE
∴1BD // 平面1A DE . ………………………………………………6分
(Ⅱ) 在长方体1111ABCD A BC D -中, ∵1AD AA = ∴11A D AD ⊥ …………7分 又11,,AB AD AB AA AD
AA A ⊥⊥=, ∴AB ⊥面11ADD A ………………9分
∵1A D ⊂面11ADD A , ∴1AB A D ⊥ ……………10分 而1
AD AB A = ∴1A D ⊥平面1ABD ……………12分
18.（本题满分12分）
证：（1）在正方形ABCD 中，AC ⊥BD …………1分
又A 1A ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD
∴ A 1A ⊥BD …………2分
又A 1A ，AC ⊂平面A 1ACC 1，且A 1A 与AC 相交于一点A 。

∴ BD ⊥平面A 1ACC 1 ……4分 又A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴ A 1C ⊥BD ………5分 同理A 1C ⊥BC 1，
又BD 与 BC 1交于一点B ，且BD ， BC 1⊂平面BDC 1 ∴ A 1C ⊥平面BDC 1 ………8分
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
（2）三棱锥A 1—BDC 1的体积为正方体体积减去4个三棱锥C 1—BCD 的体积
11A BDC V -=1—4⨯31⨯21⨯1⨯1⨯1=3
1
…….12分
19.（本题满分14分）
（1）证明∵PA ⊥底面ABC ，DE ⊂底面ABC ，
∴PA DE ⊥， - ------------------2分 又DE AC ⊥，PA
AC A =，
∴DE ⊥平面PAC ． - -----------------3分 又DE ⊂平面PDE ，
∴平面PDE ⊥平面PAC ． -------------------4分
（2）解：过点A 作AF PE ⊥，连结DF ． -------------------6分
∵平面PDE ⊥平面PAC ，平面PDE
平面PAC PE =，AF ⊂平面PAC ，
∴AF ⊥平面PDE ， -------------------9分 ∴ADF ∠为直线AD 和平面PDE 所成角的平面角． -------------------10分 ∵ABC ∆是边长为4
的正三角形，∴AD =1
4432
AE CE CD =-=-=．
又∵PA =
4PE ===，
AE PA AF PE ⋅=
=， ------------------12分
∴sin 8
AF ADF AD ∠=
=． -------------------13分 即直线AD 和平面PDE
所成角的正弦值为8
． - -----------------14分 18.（本题满分14分）
(1) 证明: ∵点E 为AC 的中点,且AB BC =, AC 为直径, ∴EB AC ⊥. -----------2分 ∵FC BED ⊥平面,且BE BED ⊂平面,
∴FC EB ⊥. ------------4分 ∵FC
AC C =, ∴EB BDF ⊥平面. ---------6分
P
A
B
C
D
E
F
∵FD ⊂平面BDF , ∴EB FD ⊥. --------8分
(2) 解: ∵FC BED ⊥平面,且BD BED ⊂平面, ∴ FC BD ⊥
又∵FD FB = ∴
3111223323
E FBD
FBD a V S EB a a -∆=⋅⋅=⋅⋅= ------------10分 ∵EB BDF ⊥平面,且FB ⊂平面BDF ,
∴EF =
=.
∵EB BD ⊥,
∴ED ===.
∴2122
FED S ∆=
=. --------12分 ∴B 到平面FED
的距离1213
E FBD FED V d S -∆=
=⨯. ----------14分
19.（本题满分14分）
(1)证明：∵E 、F 分别是PC ，PD 的中点，
∴EF ∥CD
又CD ∥AB. ∴ EF ∥AB. ∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，
∴EF ∥平面PAB. -----------1分 同理，EG ∥平面PAB ， -----------2分 ∵EF
EG E =，EF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG
∴平面EFG ∥平面PAB. -----------4分 (2)解：连接DE ，EQ ，
∵E 、Q 分别是PC 、PB 的中点，∴EQ ∥BC ，又 BC ∥AD. ∴ EQ ∥AD -----------5分 ∵平面PDC ⊥平面ABCD ，PD ⊥DC ，∴PD ⊥平面ABCD. ∴PD ⊥AD ， ----------6分 又AD ⊥DC ，PD
DC D =∴AD ⊥平面PDC ，∴AD ⊥PC. ----------8分
在△PDC 中，PD ＝CD ，E 是PC 的中点， ∴DE ⊥PC ， ----------9分 ∵DE
AD D = ∴PC ⊥平面ADEQ ，即PC ⊥平面ADQ. ----------10分
(3)V C －EFG ＝V G －CEF ＝1
3S △CEF ·GC ＝13×(12×1×1)×1＝16
. ----------14分 20.（本题满分14分）
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F D
M N C B A S
(1) 证明: 取AC 的中点E ,连接,ME NE .则//ME SA ,
又SA ⊥平面ABC ,∴ME ⊥平面ABC .
∵AB ⊂平面ABC ,∴ME AB ⊥. ---------1分
∵,N E 分别为,AB AC 的中点, ∴//NE BC . ∵90ABC ︒∠=,即AB BC ⊥, ∴NE AB ⊥. ∵,ME NE E ME =⊂平面,MNE NE ⊂平面,MNE
∴AB ⊥平面MNE . ---------3分
∵MN ⊂平面MNE ,∴MN AB ⊥. --------4分
（2）解: 过A 作AF DN ⊥且与DN 的延长线相交于点F , 连接SF
∵SA DF ⊥，AF DF ⊥，SA AF A =， ∴DF ⊥平面SAF ，∴DF SF ⊥
∴SFA ∠是二面角S ND A --的平面角,也是二面角S ND B --的平面角的补角, ----7分
在Rt △DBN
中，ND
，sin 5
DB DNB ND ∠==. 在Rt △AFN 中，AF AN
=sin 2ANF ∠==. 在Rt △SAF
中，SF =
=
cos AF AFS SF ∠== ∴二面角S ND B --
的余弦值为 ----------10分 （3） 解:过点A 作AH SF ⊥于H , 由(2)知平面SAF ⊥平面SND ,且平面SAF
平面SND SF =, ∴AH ⊥平面SND . ∴AH 的长为点A 到平面SND 的距离.
在Rt △AFN 中，SA AF AH SF
==. ----------12分 ∵点M 是SC 的中点, ∴点M 到平面SND 的距离是点C 到平面SND 的距离的
12倍. ∵//AC ND ,∴//AC 平面SND .
∴点C 到平面SND 的距离等于点A 到平面SND 的距离.
∴点M 到平面SND
的距离是6
----------14分。