2017高考理科数学(新课标)一轮复习课件：第5章 数列 第2讲

又
Sn＝n（
a1＋ 2
an）＝
324，所以
18n＝
324，
n＝
18.
所以 a1＋a18＝36.所以 a9＋a10＝a1＋a18＝36.
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应用等差数列的性质应注意两点 (1)在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q，k ∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq＝2ak 是常用的性质． (2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应 用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的 突破口.
解析：(1)依题意，得
a1 ＋ 4d＝ 13，
解得a1
＝
1， 故选
5a1＋10d＝35， d＝3，
D.
(2)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
由a2＝－11， 得a1＋d＝－11， a5＋a9＝－2， 2a1＋12d＝－2，
解得a1 ＝－ 13， d＝ 2.
所以 an＝－15＋2n.
由
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[解析](1)因为公差为 1， 所以 S8＝8a1＋8×（82－1）×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. 因为 S8＝4S4，所以 8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得 a1＝12， 所以 a10＝a1＋9d＝12＋9＝129，故选 B. (2)由 a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，可知数列{an}是首项为 1， 公差为12的等差数列，故 S9＝9a1＋9×（29－1）×12＝9＋18 ＝27.
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1．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝2，S3＝12，则 a6
等于( C )
A． 8
B． 10
C． 12
D． 14
解析：由题知 3a1＋3×2 2d＝12，因为 a1＝2，解得 d＝2，又
a6＝a1＋5d，所以 a6＝12，故选 C.
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a13＝33，则数列{an}的公差为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：设等差数列{an}的公差为 d，则 d＝a1133－－a33＝33－ 1013＝ 2，故选 B.
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4．(必修 5 P68 复习参考题 A 组 T8 改编)在等差数列{an}中， 若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8＝____1_8_0__． 解析：由等差数列的性质，得 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450， 所以 a5＝90，所以 a2＋a8＝2a5＝180.
an＝－ 15＋ 2n≤ 0，解得
n≤15. 2
又 n 为正整数，
所以当 Sn 取最小值时，n＝7.故选 C.
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(3)因为
am＝2
1＋ 016
(m－
1)d＝1 ， n
an＝2
1 ＋(n－1)d＝1 ，
016
m
所以(m－n)d＝1n－m1 ，
所以 d＝m1n，
所以
第五章 数 列
第2讲 等差数列及其前n项和
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1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从__第__2_项___起，每一项与它的前一项 的 差都等于 _同_一__个__常__数____， 那么这个 数列就 叫做等 差数 列．符号表示为_a_n_＋_1_－__a_n＝__d________(n∈N*，d 为常数)． (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 ____A_＝__a_＋_2_b_______，其中 A 叫做 a，b 的___等__差__中__项___．
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2.已知数列{an}中，
a1＝
2，
an＝
2－ 1 an－
(n≥
1
2，
n∈N*)．设
bn＝an－1
(n∈ 1
N*)，求证：数列{bn}是等差数列．
证明：
因为
an＝
2－ 1 an－
，所以
1
an＋
1＝
2－ 1 . an
所以
bn＋
1
－
bn＝an＋11－
－1 1 an－
＝－11，a5＋a9＝－2，则当 Sn 取最小值时，n＝( C )
A． 9
B． 8
C． 7
D． 6
(3)(2016·九江第一次统考)等差数列{an}中，a1＝2 0116，am＝
1
1， n
an＝m1 (m≠
n)，
则数列{an}的公差为
____2_0_1_6________．
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(2)由题设知 a1＝1，a1a2＝λS1－1， 可得 a2＝λ－1. 由 (1)知 ， a3＝ λ＋ 1. 令 2a2＝a1＋a3，解得 λ＝4. 故 an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为 1，公差为 4 的等 差数列， a2n－ 1＝ 4n－ 3； {a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列， a2 n＝ 4n－ 1. 所以 an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在 λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
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1.(1)(2016·豫东、豫北十所名校联考)已知等差
数列{an}中，a5＝13，S5＝35，则公差 d＝( D )
A．－2
B．－1
C．1
D．3
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(2)(2016·泰安一模)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 a2
3．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前 n 项和． (1)通项 公式的推广： an＝ am＋(_n_－__m__)_d_(n，m∈ N*)． (2) 若 k ＋ l ＝ m ＋ n(k ， l ， m ， n ∈ N*) ， 则 __a_k_＋__a_l＝___a_m＋___a_n _________________． (3) 若 {an} 的 公 差 为 d， 则 {a2n} 也 是 等 差 数 列 ， 公 差 为 __2_d_____． (4)若 {bn}是等差数列，则 { pan＋ qbn}也是等差数列． (5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
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2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝_____a_1_＋__(n_－__1_)_d_______． (2)前 n 项和公式：Sn＝n_a_1_＋__n_（__n_2－__1_）__d_＝_（__a_1_＋_2_a_n_）__n_．
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考点一 等差数列的基本运算(高频考点) 等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择 题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题． 高考对等差数列基本量计算的考查常有以下三个命题角度： (1)求公差 d、项数 n 或首项 a1； (2)求通项或特定项； (3)求前 n 项和．
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1．辨明两个易误点 (1)要注意概念中的“从第 2 项起”．如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 4 项起，每一项与它前一项的差 是同一个常数，那么此数列不是等差数列． (2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
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故填－1，－78.
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(3)由题意可知 a1＋a2＋…＋a6＝36，①
an＋ an－1＋ an－ 2＋…＋ an－5＝ 180.②
①＋②得 (a1＋ an)＋(a2＋ an－ 1)＋… ＋(a6＋ an－5 )＝ 6(a1＋ an)＝
216，
所以 a1＋an＝36.
S20＝( 1
D
)
10
A．1
B．2
C．－1
D．－2
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(2)(2014·高考江西卷)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为 d， 前 n 项和为 Sn，当且仅当 n＝8 时 Sn 取得最大值，则 d 的取
值范围为__－__1_，__－__78___．
(3)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知前 6 项和为 36，Sn ＝324，最后 6 项和为 180(n>6)，求数列的项数 n 及 a9＋a10.
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[解](1)选 D.因为{an}为等差数列，所以 S20＝20（a12＋a20）＝
10(a10＋a11)＝100，则ln ln
S120＝llnn1100－21＝－2，故选 10
D.
(2)当且仅当
n＝8
时，Sn
取得最大值，说明a8＞0， a9＜0.
ห้องสมุดไป่ตู้
所以77＋＋78dd＞＜00，. 所以－1＜d＜－78.
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设 Sn是等差数列{an}的前 n 项和，
若 a1＋a3＋a5＝3，则 S5＝( A )
A．5
B．7
C．9
D．11
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解析：法一：因为 a1＋a5＝2a3，所以 a1＋a3＋a5＝3a3＝3，
所以
a3＝ 1，所以
S5＝5（
a1＋ 2
am＝ 2
1 ＋(m 016
－
1)m1n＝1n
，解得 1 ＝ mn 2
1， 016
即
d＝
1. 2 016
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考点二 等差数列的判定与证明 (2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知数列{an }的前 n 项 和为 Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中 λ 为常数． (1)证明 ： an＋ 2－ an＝ λ； (2)是否存在 λ，使得{an }为等差数列？并说明理由． [解](1)证明：由题设知 anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 两式相减得 an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 由于 an＋1≠0，所以 an＋2－an＝λ.
2．妙设等差数列中的项 若奇数个数成等差数列，可设中间三项为 a－d，a，a＋d； 若偶数个数成等差数列，可设中间两项为 a－d，a＋d，其 余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
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3．等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d 是常数)⇔{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q 为常数)⇔{an}是等差数列． (4)前 n 项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B 为常数)⇔{an}是等差 数列．
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等差数列基本运算 的解题方法 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1， an， d，n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程 的思想来解决问题 ． (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换 作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已 知和未知是常用方 法．
a5）＝
5a3＝
5，
故选
A.
法二：因为 a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝ 3，
所以 a1＋2d＝1， 所以 S5＝5a1＋5×2 4d＝5(a1＋2d)＝5，故选 A.
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3．(2016·金丽衢十二校联考)已知等差数列{an}满足：a3＝13，
＝ 1
2－
1 1
－
－1 1 an－
＝ an－ 1 1 an－1
an
＝1，
所以 {bn}是首 项为
b1＝2－1
＝ 1
1，公差为
1
的等差数列．
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考点三 等差数列的性质及最值
(1)(2016·济宁模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和
为
Sn，若
a10＋
a11＝
10，则ln ln
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(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等 差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，若 S8＝4S4，则 a10＝( B )
17
19
A.
B.
2
2
C． 10
D． 12
(2)(2015·高 考安徽 卷 )已知 数列 {an}中， a1＝ 1， an＝ an－ 1＋12 (n≥2)，则数列{an}的前 9 项和等于____2_7___．
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(1)判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通 项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的 简单判断. (2)用定义证明等差数列时，常采用两个式子 an＋1－an＝d 和 an－ an－1 ＝ d，但它们的意义不同，后者必须加 上“n≥ 2”， 否则 n＝1 时，a0 无定义．