备战中考数学备考之圆的综合压轴突破训练∶培优 易错 难题篇及详细答案(1)

备战中考数学备考之圆的综合压轴突破训练∶培优 易错 难题篇及详细答案(1)
一、圆的综合
1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）25°.
【解析】
试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．
（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数．
试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD
即∠AOD=∠BOC
∵四边形ABCD 是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC
∴AOD BOC ∆≅∆
∴AO=OB
（2）解：∵AB 是O e 的直径，PA 与O e 相切于点A ，
∴PA ⊥AB ，
∴∠A=90°.
又∵∠OPA=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OB=OC ，
∴∠B=∠OCB.
又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252
B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.
2．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形
（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD 两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数
量关系
猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）
（性质应用）
①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）
A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形
②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是．
③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据切线长定理即可得出结论；
（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；
②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；
③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．
【详解】
性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：
如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．
求证：AD+BC=AB+CD．
证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，
∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．
故答案为：圆外切四边形的对边和相等；
性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．
∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．
故答案为：B，D；
②∵圆外切四边形ABCD，∴AB+CD=AD+BC．
∵AB=12，CD=8，∴AD+BC=12+8=20，∴四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40．
故答案为：40；
③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x，4x，7x，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x﹣4x=8x．
∵圆外切四边形的周长为48cm，∴4x+5x+7x+8x=24x=48，∴x=2，∴此四边形的四边为
4x =8cm ，5x =10cm ，7x =14cm ，8x =16cm ．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．
3．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）30.
【解析】
【分析】
（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.
【详解】
（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，
∴OE CD ⊥，
∴90CEO ∠=︒，
又∵OC BE P ，
∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA
∵OE=OB ，
∴OEB OBE ∠=∠，
∴COE COA ∠=∠，
又∵OC=OC ，OA=OE ，
∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）
， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，
又∵AB 为⊙O 的直径，
∴AC 为⊙O 的切线；
（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，
∴OF=OB=BF=EF ，
∴OE=OB=BE ，
∴OBE ∆为等边三角形，
∴60BOE ∠=︒，
而OE CD ⊥，
∴30D ∠=︒．
故答案为30．
【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.
4．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F .
（1）求证：OE ∥BD ；
（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5
DBA ∠=时，求EF 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为
212
【解析】 试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明；
（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.
试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.
∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .
（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25
BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒
∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO .
∴
BD CD BO EO
= ∴252EO =. ∵OE ∥BD ，CO =OD ，
∴CF =FB .
∴122
OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=
5．如图，O 是△ABC 的内心，BO 的延长线和△ABC 的外接圆相交于D ，连结DC 、DA 、OA 、OC ，四边形OADC 为平行四边形．
（1）求证：△BOC ≌△CDA ．
（2）若AB =2，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2433π-. 【解析】 分析: （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD ，于是可判断四边形OADC 为菱形，则BD 垂直平分AC ，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC ，∠2=∠3，所以OB=OC ，可判断点O 为△ABC 的外心，则可判断△ABC 为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC ，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC ，CD=OA=OB ，则根据“SAS”证明△BOC ≌△CDA ；
（2）作OH ⊥AB 于H ，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到
∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=
12AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=3333，OB=2OH=33
，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用
S 阴影部分=S 扇形AOB-S △AOB 进行计算即可.
详解:
（1）证明：∵O 是△ABC 的内心，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
由AD ∥CO ,AD =CO ，∴∠4=∠6，
∴△BOC ≌△CDA （AAS ）
(2)由（1）得，BC =AC ,∠3=∠4=∠6，
∴∠ABC =∠ACB
∴AB =AC
∴△ABC 是等边三角形
∴O 是△ABC 的内心也是外心
∴OA =OB =OC
设E 为BD 与AC 的交点，BE 垂直平分AC .
在Rt △OCE 中，CE=
12AC=12AB=1，∠OCE=30°， ∴23∵∠AOC=120°，
∴=AOB AOB S S S -V 阴影扇 =
2120231323602π-⨯ =4339
π- 点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.
6．矩形ABCD 中，点C （3，8），E 、F 为AB 、CD 边上的中点，如图1，点A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，若点A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B 随之沿y 轴下滑，并带动矩形ABCD 在平面内滑动，如图2，设运动
时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动．
（1）当t=0时，点F的坐标为；
（2）当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；
（3）求运动过程中，点F到点O的最大距离；
（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．
【答案】（1）F（3，4）；（2）8-43；（3）7；（4）t的值为24
5
或
32
5
.
【解析】
试题分析：（1）先确定出DF，进而得出点F的坐标；
（2）利用直角三角形的性质得出∠ABO=30°，即可得出结论；
（3）当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，即可得出结论；
（4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
试题解析：解：（1）当t=0时．∵AB=CD=8，F为CD中点，∴DF=4，∴F（3，4）；（2）当t=4时，OA=4．在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，点E是AB的中点，OE=1
2
AB=4，BO=43，∴点B下滑的距离为
843
-．
（3）当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，∴FO=OE+EF=7．
（4）在Rt△ADF中，FD2+AD2=AF2，∴AF22
FD AD
+，①设AO=t1时，⊙F与x轴相切，点A为切点，∴FA⊥OA，∴∠OAB+∠FAB=90°．∵∠FAD+∠FAB=90°，
∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴AB AO FA FE =，∴1853t =，∴t 1=245，②设AO =t 2时，⊙F 与y 轴相切，B 为切点，同理可得，t 2=325
． 综上所述：当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，t 的值为245或325
． 点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO =30°，解（3）的关键是判断出当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt △FAE ∽Rt △ABD ，是一道中等难度的中考常考题．
7．如图，AB 是圆O 的直径，射线AM ⊥AB ，点D 在AM 上，连接OD 交圆O 于点E ，过点D 作DC=DA 交圆O 于点C （A 、C 不重合），连接O C 、BC 、CE ．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若圆O 的直径等于2，填空：
①当AD= 时，四边形OADC 是正方形；
②当AD= 时，四边形OECB 是菱形．
【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．
【解析】
试题分析：（1）依据SSS 证明△OAD ≌△OCD ，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；
（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA ；
②依据菱形的性质得到OE=CE ，则△EOC 为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD 的长．
试题解析：解：∵AM ⊥AB ，
∴∠OAD=90°．
∵OA=OC ，OD=OD ，AD=DC ，
∴△OAD ≌△OCD ，
∴∠OCD=∠OAD=90°．
∴OC ⊥CD ，
∴CD 是⊙O 的切线．
（2）①∵当四边形OADC 是正方形，
∴AO=AD=1．
故答案为：1．
②∵四边形OECB 是菱形，
∴OE=CE ．
又∵OC=OE ，
∴OC=OE=CE．
∴∠CEO=60°．
∵CE∥AB，
∴∠AOD=60°．
在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，
∴AD=．
故答案为：．
点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；
（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．
【详解】
（1）证明：连接OC，AC．
∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．
∴∠CAE＝∠CAB．
∵OC＝OA，
∴∠CAB＝∠OCA．
∴∠CAE＝∠OCA．
∴OC∥AE．
∴∠OCE＋∠AEC＝180°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCE ＝90°即OC ⊥CE ，
∵OC 是⊙O 的半径，点C 为半径外端，
∴CE 是⊙O 的切线．
（2）解：∵AD ＝CD ，
∴∠DAC ＝∠DCA ＝∠CAB ，
∴DC ∥AB ，
∵∠CAE ＝∠OCA ，
∴OC ∥AD ，
∴四边形AOCD 是平行四边形，
∴OC ＝AD ＝a ，AB ＝2a ，
∵∠CAE ＝∠CAB ，
∴CD ＝CB ＝a ，
∴CB ＝OC ＝OB ，
∴△OCB 是等边三角形，
在Rt △CFB 中，CF ＝
， ∴S 四边形ABCD ＝ （DC ＋AB ）•CF ＝
【点睛】
本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．
9．在O e 中，AB 为直径，C 为O e 上一点.
（Ⅰ）如图①，过点C 作O e 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；
（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小.
【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°
【解析】
【分析】
（1）首先连接OC ，由OA=OC ，即可求得∠A 的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC 的度数，继而求得答案；
（2）因为D为弧AC的中点，OD为半径，所以OD⊥AC，继而求得答案．
【详解】
（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝28°，
∴∠POC＝56°，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠P＝34°；
（2）∵D为弧AC的中点，OD为半径，
∴OD⊥AC，
∵∠CAB＝12°，
∴∠AOE＝78°，
∴∠DCA＝39°，
∵∠P＝∠DCA﹣∠CAB，
∴∠P＝27°．
【点睛】
本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
10．如图，线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD＝BC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EF＝BD.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若EH＝4，HF＝2，求»BE的长.
【答案】(1)见解析；(2) 2
3
3
【解析】
【分析】
（1）根据EF＝BD可得»EF＝»BD，进而得到»»
BE DF
=，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.
（2）连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出∠BHG，进而求出∠BDE的度数，确定»BE所对的圆心角的度数，根据∠DFH＝90°确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.
【详解】
(1)∵EF＝BD，
∴»EF＝»BD
∴»»
BE DF
=
∴∠D＝∠DEF
又BD＝BC，
∴∠D＝∠C，
∴∠DEF=∠C
EF∥BC
(2)∵AB是直径，BC为切线，
∴AB⊥BC
又EF∥BC，
∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,
GF＝GE＝1
2
(HF+EH)=3，HG=1
DB平分∠EDF，
又BF∥CD，
∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH ∴HB＝HF＝2
∴cos∠BHG＝HG
HB ＝
1
2
，∠BHG＝60°.
∴∠FDB＝∠BDE＝30°
∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝43，且弧BE所对圆心角＝60°.
∴弧BE＝1
6×43π＝
2
3
3π
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.
11．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE
（1）求证：直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，
①△CBH∽△OBC
②求OH＋HC的最大值
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5.
【解析】
分析：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以
∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；
（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明
△CBH∽△OBC；
②由△CBH∽△OBC可知：BC HB
OC BC
＝，所以HB=
2
4
BC
，由于BC=HC，所以
OH+HC=4−
2
4
BC
+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
详解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OA=OC ，
∴∠CAB=∠OCA ，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠GAF=∠GCE ，
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，
∵OC 是⊙O 的半径，
∴直线CG 是⊙O 的切线；
（2）①∵CB=CH ，
∴∠CBH=∠CHB ，
∵OB=OC ，
∴∠CBH=∠OCB ，
∴△CBH ∽△OBC
②由△CBH ∽△OBC 可知：
BC HB OC BC
＝ ∵AB=8，
∴BC 2=HB•OC=4HB ， ∴HB=24
BC ， ∴OH=OB-HB=4-24
BC ∵CB=CH ，
∴OH+HC=4−24
BC +BC ， 当∠BOC=90°，
此时
∵∠BOC ＜90°，
∴0＜BC ＜
，
令BC=x 则CH=x ，BH=2
4
x ()221142544
OH HC x x x ∴+=-++=--+ 当x=2时，
∴OH+HC 可取得最大值，最大值为5
点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．
12．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ；
（1）求证：∠ADC+∠CBD ＝12
∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；
【解析】
【分析】
()1根据垂径定理得到BD CD =n n ，根据等腰三角形的性质得到
()
111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠o o ，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =n n ，根据等腰三角形的性质得到
ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=o ，求得90OAD DAP ∠+∠=o ，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
()1证明：OD BC ⊥Q ，
BD CD ∴=n n
， CBD DCB ∴∠=∠，
90DFE EDF ∠+∠=o Q ，
90EDF DFE ∴∠=-∠o ，
OD OA =Q ，
()111809022
ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠o o ， 190902
DFE AOD ∴-∠=-∠o o ， 12
DEF AOD ∴∠=∠， DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠Q ，
12
ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠； ()2解：OD BC ⊥Q ，
BE CE ∴=，BD CD =n n
，
BD CD ∴=，
OA OD
Q=，
∴∠=∠，
ADO OAD
e于点A，
Q切O
PA
∴∠=o，
PAO
90
∴∠+∠=o，
90
OAD DAP
Q，
∠=∠
PFA DFE
∴∠+∠=o，
90
PFA ADO
∴∠=∠，
PAF PFA
∴=．
PA PF
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
13．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=10，CH52
=.
（1）求证：AH是⊙O的切线；
（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；
（3）在（2）的条件下，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3102
【解析】
【分析】（1）连接AC，由AB⊥CB可知AC是⊙O的直径，由圆周角定理可得∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2= 40，从而可得AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得AC⊥AH，问题得证；
（2）连接DE、BE，由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是»CE的中点，可得
∠CED=∠EBD，再由圆周角定理可得∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角即可证明
∠HAF=∠AFH，从而可证得AH=HF；
（3）由切割线定理可得2，由（2）可知10，从而可得EF=FH﹣10-2．
【详解】（1）如图1所示：连接AC．
∵AB⊥CB，
∴AC是⊙O的直径，
∵∠C=∠D，
∴tanC=3，
∴AB=3BC=3×2=6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40，
又∵AH2=10，CH2=50，
∴AC2+AH2=CH2，
∴△ACH为直角三角形，
∴AC⊥AH，
∴AH是圆O的切线；
（2）如图2所示：连接DE、BE，
∵AH是圆O的切线，
∴∠ABD=∠HAD，
∵D是»CE的中点，
∴»»
，
CD ED
∴∠CED=∠EBD，
又∵∠ABE=∠ADE，
∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED，
∴∠ABD=∠AFE，
∴∠HAF=∠AFH，
∴AH=HF；
（3）由切割线定理可知：AH2=EH•CH10）22EH，
解得：2，
∵由（2）可知10，
∴EF=FH﹣102．
【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切
割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.
14．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【解析】
试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．
（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．
试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．
（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴△FOD∽△FAE，
∴，
∴，
整理得R2﹣R﹣12=0，
∴R=4或（﹣3舍弃）．
∴⊙O的半径为4．
考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．
15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作FE ⊥AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ．
（1）求证：EF 与⊙O 相切；
（2）若AE ＝6，sin ∠CFD ＝35，求EB 的长．
【答案】(1)见解析（2）
32
【解析】
【分析】 ()1如图，欲证明EF 与O e 相切，只需证得OD EF ⊥．
()2通过解直角AEF V 可以求得AF 10.=设O e 的半径为r ，由已知可得△FOD ∽△FAE ，继而得到OF OD AF AE =，即10r r 106-=，则易求15AB AC 2r 2
===，所以153EB AB AE 622
=-=
-=． 【详解】 （1）如图，连接OD ，
OC OD =Q ，
OCD ODC ∠∠∴=．
AB AC =Q ，
ACB B ∠∠∴=，
ODC B ∠∠∴=，
OD //AB ∴，
ODF AEF ∠∠∴=，
EF AB ⊥Q ，
ODF AEF 90∠∠∴==o ，
OD EF ∴⊥，
OD Q 是O e 的半径，
EF ∴与O e 相切；
()2由()1知，OD//AB ，OD EF ⊥．
在Rt AEF V 中，AE 3sin CFD AF 5
∠=
=，AE 6=， 则AF 10=， OD //AB Q ，
∴△FOD ∽△FAE ，
OF OD AF AE
∴=， 设O e 的半径为r ，
10r r 106
-∴=， 解得，15r 4
=， 15AB AC 2r 2
∴===， 153EB AB AE 622∴=-=
-=． 【点睛】
本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.。