宜宾县高中2011级高考模拟题(理科数学二) 精品

宜宾县高中2010级高考模拟题（二）
数（理） 学
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷（第（1）题至（12）题)，第II 卷（第（13）题至（22）题），共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项是符合题目要求的．
1等于A
（A ）i （B ）i - （C i （D i 2．设集合{}
22,A x x x R =-≤∈，{}
2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于B （A ）R （B ）{}
,0x x R x ∈≠ （C ）{}0 （D ）∅
3．若a r 与b c -r r 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r
”的C
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
4．已知3(,),sin ,25π
απα∈=则tan()4
π
α+等于D （A ）
71 （B ）7 （C ）7
1
- （D ）7- 5.若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP u u u u r
所成的比λ的值为A （A ）－
13
（B ） －
15 （C ） 15 （D ） 1
3
6.在等差数列{}n a 中，6117=⋅a a ，5144=+a a ，则2010a a -等于（ C ）
A ．52
B ．25
C ．52或52-
D ．25或25
-
7. 将函数sin(2)3y x π
=+的图象按向量a r 平移后所得的图象关于点(,0)12
π
-中心对称，则向量a
r 的坐标可能为C （A ）(,0)12
π-
（B ）(,0)6
π
-
（C ）(
,0)12
π
（D ）(
,0)6
π
8.正三棱锥底面边长为a ，侧棱与底面成角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成30°的二
面角，则此截面的面积为（ D ）
A ．
34
2a B ．
33
2a C ．13
2a D ．38
2a 9． 已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之
和取得最小值时，点P 的坐标为A （A ）（
4
1
，－1） （B ） （
4
1
，1） （C ）（1，2） （D ）（1，－2）
10．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心到平面ABC 的距离为D （A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）2
11．已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m C
（A ） 2- （B ）1- （C ） 1 （D ）4 12．数列{}n a 满足2*113
,1()2
n n n a a a a n N +==-+∈，则122009
111m a a a =+++L 的整数部分是（ B ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上。

13．已知函数f(x)=223
(11(1x x x x a x ⎧+-≠⎪
-⎨⎪=⎩
当时)当时) ，在点x =1处连续，则2221lim x an a n n
→∞+=+ 1/4 . 14．已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x
x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，
则=-)8(g -2 .
15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o
的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ［),2+∞ 。

16．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，
∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1
，P 是BC 1上一动点， 则CP ＋PA 1的最小值是__52_________
C 1
1
A
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本大题满分12分）已知函数2
π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
17解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222x f x x ωω-=
+11
sin 2cos 2222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以
2π
π2ω
=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭． 因为2π03
x ≤≤， 所以ππ7π2666
x --≤≤，
所以1πsin 2126x ⎛⎫-
- ⎪⎝
⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，．
18．（本大题满分12分） 某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。

已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。

现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为2
3
，科目B 每次考试成绩合格的概率均为
1
2
.假设各次考试成绩合格与否均互不影响。

（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的
数学期望E ξ.
18 解:设“科目A 第一次考试合格”为事件A 1 ，“科目A 补考合格”为事件A 2；“科目B 第一次考
试合格”为事件B 1 ，“科目B 补考合格”为事件B 2.
(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1,注意到A 1与B 1相互独立，
则1111211()()()323
P A B P A P B =⨯=
⨯=g . 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为1
3
.
(Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
1112(2)()()P P A B P A A ξ==+g g
2111114.3233399
=
⨯+⨯=+= 112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++g g g g g g
2112111211114,3223223326699
=
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++= 12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+g g g g g g 12111211111,3322332218189=
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= 故4418
234.9993
E ξ=⨯+⨯+⨯=
答：该考生参加考试次数的数学期望为8
3
.
19.（本大题满分12分）如图，在四棱锥ABCD
P-中，底面ABCD是矩形.已知
ο
60
,2
2
,2
,2
,3=
∠
=
=
=
=PAB
PD
PA
AD
AB.
（Ⅰ）证明⊥
AD平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角A
BD
P-
-的大小.
19解：（Ⅰ）证明：在PAD
∆中，由题设2
2
,2=
=PD
PA，AD=2可得
2
2
2PD
AD
PA=
+，于是PA
AD⊥。

在矩形ABCD中，AB
AD⊥.又A
AB
PA=
I，
所以⊥
AD平面PAB.
（Ⅱ）解：由题设，AD
BC//，所以PCB
∠（或其补角）是异
面直线PC与AD所成的角.
在PAB
∆中，由余弦定理得
由（Ⅰ）知⊥
AD平面PAB，⊂
PB平面PAB，
所以PB
AD⊥，因而PB
BC⊥，于是PBC
∆是直角三角形，故
2
7
tan=
=
BC
PB
PCB
所以异面直线PC与AD所成的角的大小为
2
7
arctan.
（Ⅲ）解：过点P做AB
PH⊥于H，过点H做BD
HE⊥于E，连结PE
因为⊥
AD平面PAB，⊂
PH平面PAB，所以PH
AD⊥.又A
AB
AD=
I，
因而⊥
PH平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知，
PE
BD⊥，从而PEH
∠是二面角A
BD
P-
-的平面角。

由题设可得，
7
cos
2
2
2=
⋅
⋅
-
+
=PAB
AB
PA
AB
PA
PB
13
4,13,2,160cos ,360sin 22=
⋅==+==-==⋅==⋅=BH BD AD HE AD AB BD AH AB BH PA AH PA PH οο
于是在PHE Rt ∆中，4
39
tan ==
HE PH PEH 所以二面角A BD P --的大小为4
39
arctan
． 20.已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n ()*
∈，且S m ma n n =+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1.
（I ）求证数列{}a n 是等比数列；
（II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 1111
3
=
=-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，lim (lg )lim (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞
+++3122334
…+-b b n n 1)成立？
20.解：（I ）由已知S m ma n n ++=+-1111()()
S m ma n n =+-()1 （2）
由()()12-得：a ma ma n n n ++=-11，即()m a ma n n +=+11对任意n N ∈*
都成立
{}Θm m a a m m a n n n 为常数，且即为等比数列
分
<-∴=
++1
1
51
（II ）当n =1时，a m ma 111=+-()
∴==
==
+∴==
+≥∈---a b I q f m m m b f b b b n n N n n n n 1111
111
31
1
2，从而由（）知，()()()
*
∴
=+-=∴⎧⎨
⎩⎫
⎬⎭
∴=+-=+=+∈--1111111131212
911b b b b b b n n b n n N n n n n n n n ，即为等差数列，分
()()*
Θa m m n n =+⎛⎝ ⎫⎭
⎪
-11
∴→∞=→∞-++=+→∞
+++=→∞-+-+++-+⎛⎝ ⎫⎭
⎪=-lim (lg )lim lg lg lim ()
lim n b a n n n m m m
m n b b b b b b n n n n n n n 1211
331314141
51112112231·……
由题意知lg
m m +=11，∴+=∴=-m m m 11010
9
， 13分
21．.（本大题满分12分） 给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、
B 两点。

（Ⅰ）设l 的斜率为1，求OA 与OB 的夹角的大小；
（Ⅱ）设AF FB λ=，若λ∈[4,9]，求l 在y 轴上截距的变化范围.
21解：（Ⅰ）C 的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为.1-=x y
将1-=x y 代入方程x y 42
=，并整理得 .0162
=+-x x
设),,(),,(2211y x B y x A 则有 .1,62121==+x x x x
.31)(2),(),(212121212211-=++-=+=⋅=⋅x x x x y y x x y x y x OB OA
.41]16)(4[||||2121212
2222121=+++=+⋅+=x x x x x x y x y x
.41
143),cos(-
==
OB OA
所以夹角的大小为.41
14
3arccos
-π （Ⅱ）由题设λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ 即⎩⎨
⎧-=-==.
1212),
1(1y y x x λλ
① ②
由②得21222y y λ=， ∵ ,4,422
2121x y x y == ∴.12
2x x λ=③
联立①、③解得λ=2x ，依题意有.0>λ
∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F （1，0），得直线l 方程为 ),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或
当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截距为
,1
212---λλ
λλ或 由
,1
2
1212-++=-λλλλλ 可知
12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴
,4
3
1234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ 直线l 在y 轴上截距的变化范围为].3
4
,43[]43,34[⋃--
22.（本小题满分14分）设3=x 是函数()()()R x e
b ax x x f x
∈++=-32
的一个极值点.
（Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间； （Ⅱ）设0>a ，()x
e a x g ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+
=4252
.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立，求a 的取值范围.
22解：解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－
x ,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－
3＝0，即得b ＝－3－2a ，
则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3
－x ＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－
x .
令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

当a >－4时，x 2<3＝x 1，则
在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a ―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－（2a ＋3）e 3<0，f (4)＝（2a ＋13）e －
1>0，f (3)＝a ＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6]. 又2
25()()4
x
g x a e =+
在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋
425，（a 2＋4
25）e 4]， 由于（a 2＋
425）－（a ＋6）＝a 2－a ＋4
1
＝（21-a ）2≥0，所以只须仅须
（a 2＋
4
25
）－（a ＋6）<1且a >0，解得0<a <23.
故a 的取值范围是（0，2
3
）。