2020年高考数学理一轮突破热点题型同角3角函数的基本关系与诱导公式

第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[例1] 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1
5
.
(1)求tan α的值；
(2)把1
cos 2α－sin 2α
用tan α表示出来，并求其值．
[自主解答] (1)法一：
联立方程⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＋cos α＝15， ①
sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝1
5
－sin α，
将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0.
∵α是三角形内角，∴⎩⎨⎧
sin α＝4
5
，
cos α＝－3
5
，∴tan α＝－4
3
.
法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝⎛⎭⎫152，即1＋2sin αcos α＝1
25
， ∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝49
25.
∵sin αcos α＝－12
25
<0且0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.
∴sin α－cos α＝75.由⎩
⎨⎧
sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩
⎨⎧
sin α＝4
5，
cos α＝－3
5
，
∴tan α＝－4
3.
(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2α
cos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α
＝tan 2α＋11－tan 2α
.∵tan α＝－4
3，
∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2
α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432
＝－25
7.
【互动探究】
保持本例条件不变，求：(1)
sin α－4cos α
5sin α＋2cos α
；
(2)sin 2α＋2sin αcos α的值．
解：由例题可知tan α＝－4
3.
(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝⎛⎭
⎫－43＋2＝8
7
. (2)sin 2
α＋2sin αcos α＝sin 2
α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2
α＋2tan α1＋tan 2α＝169－8
31＋169
＝－825.
【方法规律】
同角三角函数基本关系式的应用技巧
(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α正弦、余弦的互化，利用sin α
cos α＝tan α可以实现角
α的弦切互化．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.
1．已知sin α＋3cos α
3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )
A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2
解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋3
3－tan α
＝5，即tan α＝2.
所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2
α－tan αtan 2α＋1
＝2
5. 2．(2014·杭州模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π
2，tan α＝2，则cos α＝________. 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，
由此解得cos 2α＝1
5，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，因此cos α＝－
5
5
. 答案：－55
[例2] (1)(2014·长沙模拟)若cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－1
3
，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝( ) A.13 B ．－13 C.233 D ．－233 (2)已知α为第三象限角，
f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)
tan (－α－π)·sin (－α－π)
，
①化简f (α)；
②若cos ⎝
⎛⎭⎫α－3π2＝1
5，求f (α)的值． [自主解答] (1)∵⎝⎛⎭⎫π3＋α－⎝⎛⎭⎫α－π6＝π2，即α－π6＝⎝⎛⎭⎫π3＋α－π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3＋α－π2＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝
⎛⎭⎫π3＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1
3. (2)①f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)
(－tan α)·sin α＝－cos α.
②∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，∴－sin α＝15，从而sin α＝－1
5
.又α为第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝26
5
.
[答案] (1)A
【互动探究】
在本例(1)的条件下，求cos ⎝⎛⎭⎫
2π3－α的值．
解：∵⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫2π3－α＝π，即2π
3－α＝π－⎝⎛⎭⎫π3＋α， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1
3. 【方法规律】
利用诱导公式化简三角函数的思路和要求
(1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．
(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－3
5
，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝3
5
.
∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－7π2＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin α·tan ⎝⎛⎭
⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭
⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝3
5.
高频考点 考点三 两类公式在化简与求值中的应用
1．高考单独考查同角三角函数基本关系式与诱导公式的题目多以选择题或填空题的形式出现，难度偏小，属中低档题．
2．高考对同角三角函数基本关系式与诱导公式在化简与求值中的应用主要有以下几个命题角度：
(1)知弦求弦；(2)知弦求切；(3)知切求弦．
[例3] (1)(2013·广东高考)已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝1
5
，那么cos α＝( )
A ．－25
B ．－15 C.15 D.25
(2)(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )
A ．－1
B ．－22 C.2
2
D ．1
(3)(2011·福建高考)若tan α＝3，则sin 2α
cos 2α
的值等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6 (4)(2013·重庆高考)4cos 50°－tan 40°＝( )
A. 2
B. 2＋3
2
C. 3 D ．22－1
[自主解答] (1)sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝15
. (2)∵sin α－cos α＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，∴sin ⎝⎛⎭
⎫α－π
4＝1. 又∵0＜α＜π，∴α－π4＝π2，α＝3π
4
，tan α＝－1.
(3)sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2
α＝2sin αcos α＝2tan α.又tan α＝3，故sin 2αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. (4)4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°
＝
2sin 80°－sin 40°cos 40°＝sin 80°＋sin (60°＋20°)－sin (60°－20°)
cos 40°
＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°
cos 40°
＝sin (50°＋30°)＋sin (50°－30°)cos 40°＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3·cos 40°
cos 40°
＝ 3.
[答案] (1)C (2)A (3)D (4)C
化简求值问题的常见类型及解题策略
(1)知弦求弦．利用诱导公式及平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求解．
(2)知弦求切．常通过平方关系，对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建
立联系，注意tan α＝sin α
cos α
的灵活应用．
(3)知切求弦．通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后利用平方关系求解．
1．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭
⎫π
2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( ) A.π3 B.π4 C.π2 D.2π3
解析：选C ∵3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，∴3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝33. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π
6
.由cos A ＝－3cos(π－B )，得cos A ＝3cos B .
∴cos B ＝12，又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.故C ＝π－π6－π3＝π
2
.
2．(2014·金华模拟)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，则
sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos ⎝⎛⎭
⎫3π
2＋αtan 2(π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝( )
A.916 B ．－916 C ．－ 54 D.54
解析：选D ∵方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－2
3
，
由题知cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52.∴原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝5
4.
———————————[课堂归纳——通法
领
悟]————————————————
1个口诀——诱导公式的记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限．
1个原则——诱导公式的应用原则 负化正、大化小、化到锐角为终了．
2个注意点——应用同角三角函数关系式与诱导公式应 注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时，特别注意函数名称和符号的确定． (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注 意判断符号．
3种方法——三角函数求值与化简的常用方法
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin α
cos α
化成正、余弦．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π
4
＝….。