2019-2020学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期期末考试数学(理)试题 含答案

鹤岗一中2019~2020学年度上学期期末考试
高二数学(理科)试题
一、单选题
1．“p q ∨为假”是“p q ∧为假”的( )条件． A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
2．在[]0,6上随机地取一个数x ，则事件“3
52
x <≤”的概率为（ ） A ．
14
B ．
13 C ．
712
D ．
23
3．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（ ） A ．
12
B ．
14
C ．
18
D ．
116
4．下列说法中正确的是（ ）
A ．“a b >”是“22a b >”成立的充分不必要条件
B ．命题:,20x p x R ∀∈>，则00:,20x
p x R ⌝∃∈<
C ．为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40
D ．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为^ 1.230.08y x =+.
5．已知离散型随机变量ξ的概率分布如表：则其数学期望E (ξ)等于( )
A ．1
B ．0.6
C ．2＋3m
D ．2.4
6．《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为（ ） A ．
2
5
B ．
15
C ．
45
D ．
35
7．10
1x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 的展开式中2x 的系数等于（ ） A ．45
B ．20-
C ．45-
D ．90-
8．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A ．24
B ．27
C ．30
D ．36
9．若X ～B (n ，p)，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3×2－2
B ．2－4
C ．3×2－10
D ．2－8
10．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，则不同排课法的种数是 A ．24
B ．16
C ．8
D ．12
11．袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，去除后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X 表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量X 的数字期望()E X 是（ ） A ．
11
5
B ．
125
C ．
135
D ．
145
12．已知F 是抛物线24y x =的焦点，过点F 3的直线交抛物线于A ， B 两点，则2
2
||
FA FB -的值为（ ）
A ．283
B ．1289
C 12838
D 28
23
二、填空题
13．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400＜X ＜450)＝0.3，则P (550＜X ＜600)＝________.
14．310(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数是________ .
15．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为_____．
16．设1234,,,x x x x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足432112346x x x x -+-+-+-=，则这样的排列有_______个.
三、解答题
17．（1）求焦点在x 轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求一个焦点为()5,0，渐近线方程为3
4
y x =?的双曲线标准方程． 18．某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和3
5
,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产
品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
19．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1424x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为2
121x t y t ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
（t 为参数）．
（1）求曲线C 的普通方程
（2）若直线l 与曲线C 交于AB 两点，求|AB |．
20．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷
调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照)50,60⎡⎣，)60,70⎡
⎣，⋯，[]
90,100分成5组，制成如图所示频率分直方图． （1）求图中x 的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在[)50,60内的男生数与女生数
的比为3:2，若在满意
度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．
21．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x r y r ϕ
ϕ
=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点23,6P π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，曲线2C 的极坐标方程为()22cos26ρθ+=．
（1）求曲线1C 的极坐标方程；
（2）若1,6A πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,3B πρα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭是曲线2C 上两点，求2211OA OB +的值．
22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为2
，焦点分别为12F F ，，点P 是椭圆C 上的点，12PF F ∆面
积的最大值是2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r
，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．
高二数学理科答案
1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．C 7．A 8．C 9．C 10．A 11．A 12．B 13．0.3 14．207 15．1
10
16．9
x 1、x 2、x 3、x 4为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x 1﹣1|+|x 2﹣2|+|x 3﹣3|+|x 4﹣4|＝6， 可得4个数的和为6，共有，0+0+3+3＝6；1+1+1+3＝6；0+1+2+3＝6；1+1+2+2＝6； 所有x 1、x 2、x 3、x 4分别为： 0+0+3+3＝6；类型有： 4，2，3，1； 1+1+1+3＝6；类型有： 2，3，4，1； 4， 1，2，3； 0+1+2+3＝6；类型有： 4，1，3，2； 4，2，1，3； 3，2，4，1； 2，4，3，1； 1+1+2+2＝6；类型有： 2，4，1，3； 3，1，4，2； 共9种． 故答案为：9．
17．（1）22195
x y +=；（2）22
1169x y -=
（1）设椭圆标准方程为：()22
2210x y a b a b
+=>>
由长轴长知：26a = 3a ∴=
由焦距知：24c = 22292c a b b ∴=--=，解得：25b =
∴椭圆标准方程为：22
195
x y += （2）Q 双曲线焦点在x 轴上 ∴可设双曲线标准方程为()22
2210,0x y
a b a b
-=>>
∴双曲线渐近线方程为：3
4=±
=±b y x x a 34
b a ∴= 又焦点为()5,0 2222
9516
a b a a +=
+
=，解得：216a = 29b ∴= ∴双曲线标准方程为：22
1169
x y -=
18．(1)
13
15
(2)详见解析 (1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为新产品,A B 都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35,则()23122
11353515
P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的概率公式可得()()13115P A P B =-=
,所以至少一种产品研发成功的概率为1315
. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即0,120,100,220ξ=,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:
()232
0113515
P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭;
()231
1001355
P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭;()232220355P ξ==⨯=;
所以ξ的分布列如下:
ξ
0 120
100
220
()P ξ
215
415
15
25
则数学期望2412
0120100220151555
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯322088140=++=. 考点：分布列 数学期望 概率
19．(1) （x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝16 (2) 62．
（1）曲线C 的参数方程为1424x cos y sin θ
θ
=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），整理得（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝16，
（2）把直线l 的参数方程为2
12
212
x t y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数）代入圆的方程得22150t t -=． 所以122t t +t 1•t 2＝﹣15（t 1和t 2为A 、B 对应的参数）， 则：|AB |2121212()462t t t t t t =-=+-=． 20．（1）0.02（2）平均数77，中位数
5407（3）()10
3
A P =
（1）由0.0050.010.0350.030)101x ++++⨯=，解得0.02x =．
（2）这组数据的平均数为550.05650.2750.35850.3950.177⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 中位数设为m ，则()0.050.2700.0350.5m ++-⨯=，解得540
7
m = （3）满意度评分值在[
)50,60内有1000.005105⨯⨯=人， 其中男生3人，女生2人．记为12312,,,,A A A B B
记“满意度评分值为[
)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A 通过列举知总基本事件个数为10个，A 包含的基本事件个数为3个， 利用古典概型概率公式可知()3P A 10
=. 21．（1）4cos ρθ=；（2）
23
（1）将1C 的参数方程化为普通方程得：()2
222x y r -+=
由cos x ρθ=，sin y ρθ=得1C 的极坐标方程为：2
2
4cos 40r ρρθ-+-=
将点3,
6P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
代入1C 中得：21283406
r π
-+-=，解得：24r =
代入1C 的极坐标方程整理可得：4cos ρθ=
1C ∴的极坐标方程为：4cos ρθ=
（2）将点1,6A πρα⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，2,3B πρα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
代入曲线2C 的极坐标方程得： 212cos 263πρα⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦
，222222cos 22cos 2633ππραρα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣
⎦
⎣
⎦
2222
122cos 22cos 2111123363OA OB
ππααρρ⎛⎫⎛
⎫+-+-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭∴+=+== 22．（Ⅰ） 22
142
x y += （Ⅱ）见解析
解：（Ⅰ）由222
2
22c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
解得2,2a b c ===得椭圆C 的方程为22
142x y +=.
（Ⅱ）设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程
22
14
2y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()222
124240k x kmx m ⇒+++-= (
)
22
8420k m
∆=+->，2121222
424
,1212km m x x x x k k
--+==++ ()12122
2212m y y k x x m k +=++=
+
222
2
2242112k m MN k
k +-=++
点O 到直线MN 的距离是2
1m d k
=+
由,OM ON OD +=u u u u v u u u v u u u v
得22
42,1212D D km m
x y k k
-=
=++ 因为点D 在曲线C 上，所以有2
2
224212121
42
km m k k -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=整理得22122k m += 由题意四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为
2222
2
22224222421121OMDN
m m k m k m S MN d k k k
+-+-==+=++ 由22122k m +=得6OMDN S =故四边形OMDN 6．。