2021年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案

2021年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案
2021年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案
2021年浙江省重点高中自主招生考试数学试题卷
本次考试不能使用计算器，没有近似计算要求的保留准确值.
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。

每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）
1．“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则．小刚每天从家骑
自行车上学都经过两个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯
亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到一次红灯一次绿灯的概率是( ▲ ) A ．
1112 B ． C ． D ． 4323
2．若关于x 的一元一次不等式组⎨
有解，则m 的取值范围为（▲ ）
A ．m b 成立的函数是（▲ ）
A ．y =-2x +3
B ．y =-2(x +3) +4
C ．y =3(x -2) -1
D ．y =-
4．据报道，日本福岛核电站发生泄漏事故后，在我市环境空气中检测出一种微量的
放射性核素“碘-131”，含量为每立方米0.4毫贝克(这种元素的半衰期是8天，即每8
天含量减少一半，如8天后减少到0.2毫贝克) ，那么要使含量降至每立方米0.0004毫
贝克以下，下列天数中，能达到目标的最少的天数是（▲ ）
A ．64
B ．71
C ．82
D ．104
5．十进制数2378，记作2378(10) ，其实2378(10) =2⨯10+3⨯10+7⨯10+8⨯10，
二进制数1001(2) =1⨯2+0⨯2+0⨯2+1⨯2．有一个（0
165(k ) ，把它的三个数字顺序颠倒得到的k 进制数561(k ) 是原数的3倍，则k =（▲ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7 6．正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，则△DEK 的面积为（▲ ）
A ．4
B ．3
C ．2 D
7．如图，在Rt △AB C 中，AC =3，BC =4，D 为斜边
上一动点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F 。

当线段EF 最小时，cos
∠EFD =（▲ ） A ．
433 B ． C ． D
5548．二次函数y =x 2+bx -1的图象如图，对称轴为直线x =1，若关于x 的一元二
次方程
x 2-2x -1-t =0（t 为实数）在-1
A ．t ≥-2
B ．-2≤t
9．已知，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠ABC =30°，∠ADC =45°. 若D 是BC 边的中点，则∠ACB 的度数为（▲ ）
A ．95
B ．100
C ．105
D ．110
10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A =52，∠B =98，∠AOB =120，AB =a ，
BC=b ，
CD =c ，DA =d ，则此四边形的面积为（▲ ）（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示）
A (ab +cd )
B (ac +bd )
C (ad +bc )
D ．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．已知a 是64的立方根，2b -3是a 的平方根，则
(ab +bc +cd +ad ) 4
a -4
b 的算术平方根为4
12．直线l ：y =kx +5k +12(k ≠0) ，当k 变化时，原点到这条直线的距离的最大
值为▲ ．
13．如图，在“镖形”ABCD 中，AB
=，BC=16，∠A =∠B =∠C =30，则点D 到AB 的距离为▲ ． 14．已知实数a , b 满足5
=403，403b =2021，则+=
15．AB 为半圆O 的直径，C 为半圆弧的一个三等分点，过B ，C 两点的半圆O 的切线交于
16．如图，矩形ABCD 的边长AD =3，AB =2，E 为AB 中点，F 在线段BC 上，且
=，AF 分别与DE 、DB 交于点M 、FC 2
N ．则MN =
三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18~20题每题8分，第21~23题每题12分，第24题14分，满分80分）
17．市种子培育基地用A ，B ，C 三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广．如图是根据试验数据绘制的统计图：
（1）请你分别计算A ，B ，C 三种型号的种子粒数；（2）请通过计算加以说明，应选哪种型号的种子进行推广？ 18．若实数a 、b 满足
112+=. a b a -b
（1-）=2 的值；（2）求证：
b a 2-b 2
19．某位市民想为贫困山区的孩子们献一份爱心，准备购买一批书包捐赠给他们．经调查有这样的一批书包，原售价为每只220元．甲商店用如下方法优惠出售：买一只单价为218元，买两只每只都为216元，依次类推，即每多买一只，则所买每只书包的单价均再减2元，但最低不能低于每只116元；乙商店一律按原售价的75%出售．（1）若这位市民需购买20只书包，应去哪家商店购买花费较少？（2）若此人恰好花费6000元，在同一家商店购买了一定数量的书包，请问是在哪家商店购买的？数量是多少？
20．如图，在△AB C 中，∠BAC =60， D 是AB 上一点，AC =BD ，P 是CD 中点。

求证：AP=
21．已知二次函数y =-
x +在a ≤x ≤b （a ≠b ）时的最小值为2a ，最大值为2b ．求22
a ,
b 的值。

22．如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90，AD 是高，P 为AD 的中点，BP 的延长线交AC 于E ，EF ⊥BC 于点F 。

若AE =3，EC =12，试求EF 、BC 的长。

23．如图①，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，且AB ⊥CD 于E ，点M 为 ACB 上一动点（不包括A ，B 两点），射线AM 与射线EC 交于点F ．
（1）如图②，当F 在EC 的延长线上时，求证：∠AMD =∠FMC ．（2）已知，BE =2，CD =8．
①求⊙O 的半径；
②若△CMF 为等腰三角形，求AM 的长（结果保留根号）．
24．一只青蛙，位于数轴上的点a k ，跳动一次后到达a k +1，且a k +1-a k =1
（k 为任意正整数），青蛙从a 1开始，经过(n -1) 次跳动的位置依次为a 1，a 2，a 3，……，a n ．（1）写出一种跳动4次的情况，使a 1=a 5=0，且a 1+a 2+ +a 5>0；（2）若a 1=7，a 2021=2021，求a 2000；
（3）对于整数n (n ≥2) ，如果存在一种跳动(n -1) 次的情形，能同时满足如下两个条件：①a 1=2，②a 1+a 2+a 3+ +a n =2．求整数n 被4除的余数．
数学试题参考答案及评分
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。

每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）说明：第14题第一空2分，
第2空3分
三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18~20题每题8分，第21~23题每题
12分，第24题14分，满分80分） 17．（本题6分）
解：（1）A 型号种子数为：1500×36％＝540（粒），--------------------------
--------------- 1分
B 型号种子数为：1500×24％＝360（粒）， ------------------------------ 2分
C 型号种子数为：1500×（1-36%-24％）＝600（粒），-------------------3分
答：A 、B 、C 三种型号的种子分别有540粒，360粒，600粒．
×100％≈77.8％．----------------------------------- 4分 540320
B 型号种子发芽率＝×100％≈88.9％．---------------------------------- 5分
C 型号种子发芽率＝×100％=80％．
（2）A 型号种子发芽率＝
∴选B 型号种子进行推广． ------------------------------------------- 6分
18．（本题8分）解：（1）由
112a +b 2+==得，……① --------------------2分 a b a -b ab a -b
ab 1ab 1
= ------------------------- 4分 =，即2
2a -b (a +b )(a -b ) 2
（2）由①得，(a +b )(a -b ) =2ab , ∴a 2-b 2=2ab ，--------------6分又由题意得，b ≠0，
∴两边同除以b 2得，() -2∙
a b a a a
=1，∴() 2-2∙+1=2， b b b
-1) 2=2，即（1-）=2 ------------------------- 8分 b b
19．（本题8分）
解：（1）在甲商店购买所需费用：20⨯(220-20⨯2) =3600（元）
在乙商店购买所需费用：75%⨯220⨯20=3300
（2）设此人买x 只书包
①若此人是在甲商店购买的
则x (220-2x ) =6000，解得x 1=50, x 2=60---------------------------------------4分当x =50时，每只书包单价为220-50⨯2=120>116
当x =60时，每只书包单价为220-60⨯2=110
不合舍去--------711
故此人是在甲商店购买书包，买了50只-------------------------------------------------8分 20．（本题8分）
证明：延长AP 至点F ，使得PF = AP，连结BF ，DF ，CF--------------------------1分
P 是CD 中点
∴四边形ACFD 是平行四边形，--------------------------------------------2分
∴DF=AC=BF， D F ∥AC ，----------------------------------------------------------------4分∴∠FDA=CAB=60°-------------------------------------------------------5分 F
∴△BDF 是等边三角形-------------------------------------------------6分
可证△AB C ≌△BAF ----------------------------------------------------7分∴AP=
AF=BC------------------------------------------------------8分 22
21．（本题12分）
2b =-a +⎨⎨a =1⎨22
解：（1）当0≤a
113b =3⎨⎨2a =-b 2+
a =2
b =⎨⎨a +b ⎨⎨642
113213⎨2a =-b 2+⎨b =
⎨⎨⎨22⎨4
13⎨⎨a =-22b =⎨a +b ⎨⎨2
⎨a =-2-a +b ⎨
⎨由---------------------------------------------------9分 132⎨b =
2a =-a +⎨⎨22
113⎨2b =-b 2+
⎨⎨221213
x +2x -=0的两根，它的两根一正一负，与a
综上所述：a =1, b =
3或a =-2b = -------------------------------12分
22．（本题12分）
解：延长BA 、FE 交于点G ， AD 是高，EF ⊥BC∴ AD ∥EF
∴△BAP ∽△BGE ，△BPD ∽△BEF----------------------------------2分 AP BP PD
== ----------------------------------------------------3分∴
EG BE EF
P 为AD 的中点，即AP=PD
∴ EG=EF---------------------------------------------------------------6分∠GAE =∠EFC =90 ，又∠GEA =∠FEC
∴△GAE ∽△CFE-------------------------------------------------------7分
∴
EF AE =EC
EG ∴EF 2=AE EC =36
∴EF=6--------------------------------------------------------------------
9分
2EC ，∠EFC =90
∴∠C=30 ∴
=----------------------------------------------12分 23．（本题12分）（1）证法一：连结BM
AB 是直径，AB ⊥CD 于E
∴ ∠AMB =90 ，CB
=DB -----------------------------------2分∴∠CMB=∠DMB
∴∠AMD=∠FMC ．---------------------------------------------------------
-------4分
证法二：连结AD
AB 是直径，AB ⊥CD 于E
=DA ∴∠AMD =∠ADC --------------------------------------------2分四边形ADCM 内接于⊙O ∴∠ADC +∠AMC =180 ∠AMC +∠FMC =180
∴∠FMC =∠ADC
∴∠AMD =∠FMC ．---------------------------------------------------------
-------4分
（2）①设⊙O 的半径为r ，连结OC
BE =2，CD =8 ∴OE =r -2，CE =4
∴r 2=(r -2) 2+42 ----------------------------------------------------------------6分
解得：r =5 -------------------------------------------------------------------------7分②由（1）知：∠AMD =∠FMC 同理可得：∠MAD =∠FCM
∴∠MDA =∠MFC
当FM =MC 时，AM =MD 如图①，连结MO 并延长交AD 于H 则AH ⊥AD ，AH =HD
----------------------------------9分
当FM =FC 时，连结DO 并延长交AM 于G
此时△AOG ≌△DEO
∴AG =DE =4
∴AM=8----------------------------------------------------------------------------------11分
当MC =FC 时，AM =AD =AC
=M 、F 均与C 重合
△CMF 不存在---------------------------------------------------------------------------12分综上所述：AM=8
24．（本题14分）
解：（1）这样的跳动之一是：0，1，2，1，0（也可以是0，1，0，1，0）-----------2分（2）从a 1经2021步到达a 2021，不妨设向右跳了x 步，向左跳了y 步，则⎨
⎨x +y =2021
，------------------------------------------------------5分
7+x -y =2021⎨
⎨x =2021
-----------------------------------------------------------6分
即向左跳动仅一次，若这次跳动在1999次及以前，则a 2000=7+1998-1=2021；
--------------------------------------------7分
若这次跳动在1999次后，则a 2000=7+1999=2021--------------------------------------------------8分（3）因为这个(n -1) 次跳动的情形，能同时满足如下两个条件：
①a 1=2，②a 1+a 2+a 3+ +a n =2．
经过(k -1) 步跳动到达a k ，假设这(k -1) 步中向右跳了x k 步，向左跳了y k 步，则a k =2+x k -y k ，x k +y k =k -1（k ≥2的正整数）--------------------9分∴a 1+a 2+a 3+ +a n =2n +（x 2-y 2）+（x 3-y 3）+ +(x n -y n )
=2n +2（x 2+x 3+x 4+ +x n ）-[(x 2+y 2) +(x 3+y 3) + +(x n +y n )] =2n +2（x 2+x 3+x 4+ +x n ）-(1+2+3+ +n -1) =2n +2（x 2+x 3+x 4+ +x n ）-
n (n -1)
∴2（a 1+a 2+a 3+ +a n ）=4n +4（x 2+x 3+x 4+ +x n ）-n (n -1)
2（a 1+a 2+a 3+ +a n ）=-n +5n +4（x 2+x 3+x 4+ +x n ）
∴n 2-5n =4（a 1+a 2+a 3+ +a n ) -4
∴n (n -5) =4（a 1+a 2+a 3+ +a n ) -4-------------------------------------------------11分
∴n (n -5) 能被4整除，所以n 被4除的余数为0或1---------------------------------14分。