2019-2020学年北师大版高中数学选修4-4同步配套课件:2.1参数方程的概念
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标为(2cos θ+6,2sin θ).
所以点 M 的轨迹的参数方程为
������ ������
= =
62s+in2������cos������,(������为参数).
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题型一 题型二 题型三
即取值范围是[11-2 3, 11 + 2 3].
反思利用参数方程求最值,可以把问题直接转化成三角函数问题, 从而简化整个运算过程.
题型一 题型二 题型三
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【变式训练3】 若x,y满足(x-1)2+(y+2)2=4,求S=2x+y的最值. 解:由(x-1)2+(y+2)2=4知,它表示以(1,-2)为圆心,2为半径的圆. 设x=1+2cos θ,y=-2+2sin θ, 则S=2x+y=2+4cos θ-2+2sin θ =4cos θ+2sin θ=2 5sin (θ+φ),其中 tan φ=2. 由-2 5≤S≤2 5, 得S 的最大值为 2 5, 最小值为-2 5.
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1 若曲线
������ ������
= =
1+ 2������
������2,(������为参数)经过点(2,
������),
则������为(
).
A.2 B.-2
C.±2 D.±1 解析:将x=2代入x=1+t2,得t=±1,则y=±2, 即m=±2.
才能命中目标.
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题型一 题型二 题型三
题型三 参数方程的应用
【例 3】
已知点
P(x,y)是曲线 C:
������ ������
= =
3 2
+ +
cos������, 3sin������
(������为参数)
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题型一 参数方程的概念
【例 1】
已知曲线 C 的参数方程为
������ ������
= =
2������ 2������
2+-14,,其中������为参数.
(1)判断点 M(7,0),N(1,6),P(2,-2)与曲线 C 的关系;
已知炸弹运动的水平速度和垂直速度,则可以用时间t作为参数,
建立参数方程.
设M(x,y)为炸弹t s后的坐标,
������ = 150������,
则有
������
=
490-
1 2
������������
2
.
又由
y≥0,得
t≤10,所以参数方程为
������ ������
= =
150������, 490-4.9������2(t
= =
1+ 1+
33csions������������,(θ
为参数)上,则
x2+y2
的最大值
与最小值的差为( ).
A.6 2
B.12 2
C. 2
D.3 2
解析:x2+y2=(1+3cos θ)2+(1+3sin θ)2=11+6
2sin
������
+
π 4
, 所以x2+y2
的最大值为 11+6 2, 最小值为11-6 2.
【做一做 1】
已知参数方程
������ ������
= =
22csions������������,(������为参数,
������∈[0,2π)).判
断点 A(1, 3)和������(2,1)是否在方程的曲线上.
分析:把A,B两点的坐标分别代入方程验证即可.
解:把 A,B 两点的坐标分别代入方程,
3.参数在参数方程中可以是一个有明确的几何意义或物理意义 的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.同一曲线选取的参数 不同,其参数方程的形式往往也不同.
4.在表述参数方程时,必须指明参数的取值范围.
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所以������2max = 10 + 26 = 36, 从而dmax=6,
即 (������-5)2 + (������ + 4)2的最大值为6.
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2.参数的取值范围 在参数方程中,应明确参数t的取值范围.对于参数方程 x=f(t),y=g(t)来说,如果t的取值范围不同,它们表示的曲线可能是不 相同的.如果不明确写出其取值范围,那么参数的取值范围就理解 为x=f(t)和y=g(t)这两个函数的自然定义域的交集. 参数方程不一定局限在平面直角坐标系当中,其他的坐标系也可 以采用参数方程.
= =
2cos������, 2sin������,
(������为参数)
∴x2+y2=4cos2θ+4sin2θ=4.故表示的曲线是圆.
答案:B
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3
若点
M(x,y)在曲线
������ ������
为参数且
0≤t≤10).
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(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程490-4.9 ������02=0,解得
t0=10. 因此,x=150t0=1 500(m),即飞机在离目标水平距离1 500 m处投弹
得 1 3==2c2ossin���������,���,①
2 1
= =
22csions������������,,②
在[0,2π)内,方程组①的解是
θ=
π 3
,
而方程组②无解,故点
A
在方程
的曲线上,而点 B 不在方程的曲线上.
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������ = 4������ + 1,
其中������为参数.
(1)判断点M(3,1),点N(5,9)与曲线C的位置关系;
(2)试求当t=4时,曲线C上的点的坐标.
解:(1)把M(3,1)的坐标代入方程组,解得t=0,因此点M在曲线C上.
把N(5,9)的坐标代入方程组,解得t=2,因此,点N也在曲线C上.
坐标是否满足参数方程即可.若已知参数的值,只需将其代入参数
方程,即可求得点的坐标.
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【变式训练 1】
已知曲线 C 的参数方程为
������
=
1 2
������2
+
3,
(2)试求当 t=-3 时,曲线 C 上的点的坐标.
分析:将坐标分别代入参数方程进行判断.
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解:(1)对于点M,将其坐标代入方程组,解得t=-2,
则点M在曲线C上.
对于点N,将其坐标代入方程组,解得t=1,
则点N在曲线C上.
对于点P,将其坐标代入方程组,可知方程组无解,则点P不在曲线
C上.
(2)当 t=-3时,
������ = 2 × (-3)2-1 = 17, ������ = 2 × (-3) + 4 = -2,
∴当t=-3时,曲线C上的点的坐标为(17,-2).
反思由参数方程的概念可知,要判断点是否在曲线上,只要看点的
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名师点拨1.从数学的角度看,曲线上任一点M的坐标(x,y)由t唯一 确定.当t在允许值范围内连续变化时,x,y的值也随之变化,于是就可 以连续地描绘出点的轨迹.
2.参数t作为间接地建立横、纵坐标x,y之间的关系的中间变量,起 到桥梁作用.
第二章 参数方程
-1-
§1 参数方程的概念
-2-
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1.理解参数方程的概念,了解参数方程的几何意义和物理意义. 2.能够根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程. 3.理解参数方程与普通方程之间的联系和区别.
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1.参数方程的概念
一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是
某个变数 t 的函数
������ ������
= =
������������((������������)),,①并且对于������取的每一个允许值,
由方程组①所确定的点������(������, ������)都在这条曲线上,
那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程,
联系������, ������之间关系的变数������叫作参变数, 简称参数.
相对于参数方程,我们把直接用坐标(x,y)表示的曲线方程f(x,y)=0 叫作曲线的普通方程.
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解:设点M的坐标为(x,y),∠AOP=θ.
因为点P在圆x2+y2=16上,过点P分别作x轴、y轴的垂线可得点P
的坐标为(4cos θ,4sin θ),又A(12,0),所以由中点坐标公式得点M的坐
(2)当 t=4时,
������
=
1 2
×
42
+
3,
即
������ = 4 × 4 + 1,
������ = 11, ������ = 17.
所以当 t=4 时曲线 C 上的点的坐标为(11,17).
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所以最大值与最小值的差为11+6 2 − (11 − 6 2) = 12 2.
答案:B
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上的任意一点, 求 3������ + ������的取值范围.
解:设 P(3+cos θ,2+ 3sin θ),
则 3x+y=3(3+cos θ)+(2+ 3sin θ)
=11+3cos θ+
3sin θ=11+2
3sin
������
+
π 3
,
所以 3x+y 的最大值为 11+2 3, 最小值为11-2 3,
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【做一做 2】
已知 P(x,y)是曲线
������ ������
= =
2sin+������cos������,(������为参数)
上任意一点, 求 (������-5)2 + (������ + 4)2的最大值.
解:由题意,设 d2=(x-5)2+(y+4)2=(2+cos α-5)2+(sin α+4)2=8sin α-6cos α+26=10sin(α-φ)+26,其中 φ 为锐角,tan φ= 34.
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题型二 求曲线的参数方程 【例2】 如图所示,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x 轴上的一个定点,其坐标为(12,0),当点P在圆上运动时,求线段PA的 中点M的轨迹的参数方程.
分析:引入参数,写出点P的坐标,利用中点坐标公式得到点M的坐 标,由点M的任意性得出点M的轨迹的参数方程.
答案:C
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2
������ ������
= =
22csions������������,(θ
为参数)表示的曲线是(
).
A.直线
B.圆
C.椭圆 D.双曲线
解析: ∵
������ ������
【变式训练2】 在一次军事演习中,一轰炸机以150 m/s的速度作
水平直线飞行,在离地面飞行高度为490 m时向目标投弹(不计阻力,
重力加速度g取9.8 m/s2,炸弹的初速度等于飞机的速度).
(1)求炸弹离开飞机后飞行轨迹的参数方程;
(2)试问飞机在离目标的水平距离多远处投弹才能命中目标.
解:(1)如图所示,建立平面直角坐标系,设A为投弹点,B为轰炸目标.