信号与系统课件§1.4 阶跃函数和冲激函数21页PPT

t
O
▲
■
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冲激偶的性质
① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
证明
② '(t)f(t)dtf'(0)
证明
δ(n)(t)的定义：
(n )(t)f(t)dt( 1 )nf(n )(0 )
δ’(t)的平移：

1
ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
-2 o 2 t
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ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
[t24]1d[(t24)]1[(t2)(t2)]
2tdt
2t
1 (t2) 1 (t2)1(t2)1(t2)
中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的
实根 ti ( i=1，2，…，n)
f (t)
d{[f(t)] }[f(t)d ]f(t)
dt
dt
[f(t)] 1 d{[f(t)]}
f'(t)dt
-2
o2 t
-4
ε[f(t)]图示说明： 例f(t)= t2 – 4
ε [f (t) ]
11
2
1 o 1
t
0, t 0
n
n
def
(t) nl imn(t)

121,,
t 0 t 0
(t)
1
O
t
▲
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2. 延迟单位阶跃信号
(t)
1
O
t
(tt0)10
tt0, tt0
t00
(t t0 )
1
O
t0
t
(tt0) 1 0
§1.4 阶跃函数和冲激函数
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 阶跃函数
冲激函数
是两个典型的奇异函数。
阶跃序列和单位样值序列
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一、单位阶跃函数
1. 定义
下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
γn
选定一个函数序列γn(t)如图所示。
-1 o
(-2)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
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三． 冲激函数的性质
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
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1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t)f(t)f(0 )(t)
f (t)
(t)f(t)dtf(0)
22
22
4
4
n
一般地， [f(t)]
i1
f'1(ti)(tti)
这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为 函数构成的冲激函数序列。
f
1 '(t
i
)
的n个冲激
(4t21 )1(t1)1(t1)
4 24 2
注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。
f (0) (t )
证明
t o
对于平移情况：
f(t)(t t0 ) f(t0 )(t t0 )
(tt0)f(t)dtf(t0)
举例
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2.冲激偶
s(t )
1
o
τ↓
s(t )
t
0
1
2
O

t

1 2
(t)
(1)
O
t
(t)
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1. 狄拉克(Dirac)定义
(t) 0 t 0





(t)dt
1
(t)dt 0(t)dt

0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
δ(t)
(1)
t =0 时，t，为无界函数。 o
t
▲
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2.函数序列定义δ(t)
对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。
γn
11
n pn(t) 2
2
1 o 1
n
n
求导
t
1 o 1 t
n
n
def
(t) ln im pn(t)
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
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3. δ(t)与ε(t)的关系
γn
11
2
1 o 1
n
n
求导
n pn(t) 2
a
at 1 1t
aa
(n)(a)t 1 1(n)(t)
|a| an
推论: (1) (at) 1 (t)
| a|
δ((2at)t=t00).5δ|1a(t|)(tta0)
(2) 当a = –1时 (n)(t)(1)n (n)(t)
所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
(t t0 )
tபைடு நூலகம்0, tt0
t00
1
t0 O
t
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3. 阶跃函数的性质
（1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
f (t) 2
o 12
t
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间 -1
f (t)
f(t)ε (t)
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
(tt0)f(t)dtf(t0)
③ t(t)dtt
例 (t 2 )2'(t)d t d d t[t (2 )2 ]t 0 2 (t 2 )t 0 4
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3. 对(t)的尺度变换
at 1 t 证明 举例
t
pn
(t)

dn(t)
dt
1 n
o
1 n
t
ε(t)
1
o
t
(t) t()d
n→∞
求导
(t) d(t)
dt
δ(t)
(1)
o
t
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引入冲激函数之后，间断点的导数也存在
f (t) 2
求导
-1 o 1 t
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
f '(t)
(2) 1t
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举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
f (t)
4
求导，得g(t) (4)
g(t) = f '(t)
-2
o
2
t
-2
o
-1
2 t
压缩，得g(2t)
g(2t)
(2)
-1 o
1 t
-1
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4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其
o (a)
to
t (b)
（3）积分
t
()d t(t)

o t1 t2
t
(c)
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二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。
狄拉克(Dirac)定义
函数序列定义δ(t)
冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质