线面垂直的证明中的找线技巧

线面垂直的证实中的找线技能
经由过程盘算,应用勾股定理追求线线垂直
1如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1CC 的中点,AC 交BD 于点O ,
（Ⅰ）求证：1AO ⊥平面MBD ．（Ⅱ）求1M A BD -的体积
演习
1：如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面
ABCD ,AB DC ∥,PAD △是等边三角形,已知28BD AD ==,245AB DC ==．
（Ⅰ）设M 是PC 上的一点,证实：平面MBD ⊥平面PAD ; （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． 演习
2.已知ABCD 是矩形,PA ⊥平面
ABCD ,2AB =,4PA AD ==,E 为BC 的中点．
求证：DE ⊥平面PAE ; 应用面面垂直追求线面垂直
例2如图2,P 是△ABC 地点平面外的一点,且PA ⊥平面
ABC ,平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．
演习3 如图１所示,ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD ,过A 且垂直于SC 的平面分离交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥,AG SD ⊥． 应用等腰(等边)三角形三线合一性质
所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以很轻松的得到线线垂直,从而为证实线面垂直做了很好的预备工作.
例3：如图2所示,已知PA 垂直于
O
地点平面,AB 是O 的直径,C 是O 的圆周
A
C
B
P
E
O
图2 A
B
C
M
P D
上异于A .B 的随意率性一点,且PA AC =,点E 是线段PC 的中点.求证：
AE ⊥平面PBC .
应用两条平行线的性质
大家知道两条平行线中假如有一条与一个面中的直线垂直,则两条平行线都与平面中的直线垂直. 在三角形中位线与底边平行,可以得到线线平行的关系,平行四边形对边平行也可以得到线线平行,如许的结论许多,我们可以观赏领会如许的办法.
例3:如图3所示,P 为△ABC 地点平面外一点,⊥BC 平面PAB ,G 为PB
的中点,M 为PC 的中点,N 在AB 上,NB AN 3=,求证:⊥AB 平面MNG . 应用平面图形的几何性质
我们都发明在立体几何问题的解决中,平面图形的性质产生了很主要的地位,在进修立体几何的进程中,平面几何的诸多常识点不克不及推广到三维空间,但同窗们要留意平面图形的性质在解决立体几何的时刻会施展很主要的感化.
例4:如图4所示,四边形ABCD 是边长为1的菱形,点P 是菱形ABCD 地点平面外一点,
∠︒=60BCD ,E 是CD 的中点,⊥PA 平面ABCD ,求证:BE ⊥平面PAB .
4 如图２,在三棱锥Ａ－BCD 中,BC ＝AC ,AD ＝
BD ,
作BE ⊥CD ,Ｅ为垂足,作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：
AH ⊥平面BCD ．
A
B
C
P
H N
M G
图3
A
B
C
E
D P
图4
证实：取AB 的中点Ｆ,贯穿连接CF ,DF ． ∵AC BC =,∴CF AB ⊥．
∵AD BD =,∴DF AB ⊥．
又CF DF F =,∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ,∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥,BE AB B =,
∴CD ⊥平面ABE ,CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥,AH BE ⊥,CD BE E =,
∴AH ⊥平面BCD ．
评注：本题在应用剖断定理证实线面垂直时,将问题转化为证实线线垂直;而证实线线垂直时,又转化为证实线面垂直．如斯重复,直到证得结论．
5 如图３,AB 是圆Ｏ的直径,Ｃ是圆周上一点,PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥
PC ,Ｅ为垂足,Ｆ是PB 上随意率性一点,求证：平面AEF ⊥平面PBC ．
证实：∵AB 是圆Ｏ的直径,∴AC BC ⊥． ∵PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC , ∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面APC ． ∵BC ⊂平面PBC ,
∴平面APC ⊥平面PBC ．
∵AE ⊥PC ,平面APC ∩平面PBC ＝PC , ∴AE ⊥平面PBC ．
∵AE ⊂平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面PBC ．
评注：证实两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中查找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知前提动身查找线线垂直的关系．
（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD;平面PAC⊥平面PBC;平面PAD⊥平面PBD;平面PAB⊥平面ABCD;平面PAD⊥平面ABCD．
2．ABC—A′B′C′是正三棱柱,底面边长为a,D,E分离是BB′,CC′
上的一点,BD＝a．
（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′;
（2）求截面△ADE的面积．
（1）【证实】分离取A′C′.AC的中点M.N,贯穿连接MN,
则MN∥A′A∥B′B,
∴B′.M.N.B共面,∵M为A′C′中点,B′C′=B′A′,∴B′M⊥A′C′,又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′
∴B′M⊥平面A′ACC′．
设MN交AE于P,
∵CE＝AC,∴PN＝NA
又DB∴PN＝BD．
∵PN∥BD,∴PNBD是矩形,于是PD∥BN,BN∥B′M,
∴PD∥B′M．
∵B′M⊥平面ACC′A′,
∴PD⊥平面ACC′A′,而ADE,
∴平面ADE⊥平面ACC′A′．
（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′,
∴而PD＝B′M
AE
∴S△ADE AE×PD
1.S是△ABC地点平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB
⊥BC.
2.在四棱锥中,底面ABCD 是正方形,正面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD
证实:AB ⊥平面VAD
3.如图,棱柱111ABC A B C -的正面 11BCC B 是菱形,11B C A B ⊥,证实：平面
1AB C ⊥
平面11A BC
如图,在四棱锥P －ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,AB ⊥AD,AC ⊥CD, ∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC,E 是PC 的中点．(1)求证：CD ⊥AE;(2)求证：PD ⊥面ABE.
4.如图,四棱锥P ABCD -中,底面
ABCD
为平行四边
形.60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥ 底面
ABCD ,证实：PA BD ⊥
V
D C
B
A
S
A
C
B。