安徽省六安市第一中学2018届高三9月月考理数试题 含答案 精品

安徽省六安市第一中学2018届高三9月月考
数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设9.0log a a =，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c <<
2.已知函数()1+=x f y 的定义域是[]3,2-，则()12-=x f y 的定义域为（ ） A ．[]7,3- B ．[]4,1- C ．[]5,5- D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡25,0
3.设函数()⎪⎩⎪
⎨⎧<⎪⎭
⎫ ⎝⎛>=0,210,ln x x x x f x ，若()()31=-+f a f ，则=a （ ）
A ．e
B ．e 1
C ．e 或e
1
D ．1
4.已知函数()()R x b ax x x f ∈-++=32的图象恒过点()0,2，则22b a +的最小值为（ ） A ．5 B ．
51 C.4 D ．4
1 5.若10<<m ，则 （ ）
A ．()()m m m m ->+1log 1log
B ．()01log >+m m C.()211m m +>- D ．()()21
31
11m m ->-
6.定义在R 上的函数()x f 满足()()4+=x f x f .当02<≤-x 时，()()x x f -=2log ；当20<≤x 时，()12-=x x f .则()()()()2017321f f f f +⋯+++的值为 （ ） A ．1260 B ．1261 C.1262 D ．3780
7.给出下列四个函数 （ ）
①x x y sin ⋅=；②x x y cos ⋅=；③x x y cos =；④x x y 2⋅=.
这四个函数的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是
A ．①④②③
B ．①④③② C.④①②③ D ．③④②①
8.已知函数()x f 满足()()x f x f =+2，且其图象关于直线1=x 对称，若()0=x f 在[]1,0内有且只有一个根2
1
=
x ，则()0=x f 在区间[]2017,0内根的个数为（ ） A ．1006 B ．1007 C.2016 D ．2017
9.已知R x ∈，函数()⎩⎨⎧><+=0,lg 0
,1x x x x x f ，()λ4142++-=x x x g ，若关于x 的方程()()λ=x g f 有
6个解，则λ的取值范围为（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,52 D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛52,0
10.已知幂函数()()2
422
1+--=m m
x m x f 在()+∞,0上单调递增，函数()k x x g -=2，当[)2,1∈x 时，
记()()x g x f ,的值域分别为集合B A ,，若A B A = ，则实数k 的取值范围为 （ ） A ．()1,0 B ．[)1,0 C.(]1,0 D ．[]1,0
11.已知函数()x f 是偶函数且满足()()x f x f -=+2，当[]2,0∈x 时，()1-=x x f ，则不等式()0>x xf 在[]3,1-上的解集为 （ ）
A ．()3,1
B ．()1,1- C.()()3,10,1 - D ．()()1,01,2 --
12.已知定义域为A 的函数()x f ，若对任意的A x x ∈21,，都有()()()2121x f x f x x f ≤-+，则称函数()x f 为“定义域上的M 函数”，给出以下五个函数：
①()R x x x f ∈+=,32；②()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=21,21,2x x x f ；③()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈+=21,21,12x x x f ；
④()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=2,0,sin πx x x f ；⑤()[)+∞∈=,2,log 2x x x f .
其中是“定义域上的M 函数”的有（ ）
A ．2个
B ．3个 C.4个 D ．5个
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点C B A ,,分别在函数x
y x y x y ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛==
=23,
,log
212
2的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标是2，则点D 的坐标是 ．
14.若函数()22-+=x a x x f 在()+∞,0上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．
15.已知函数1
12+-=x x y 的图象与函数2+=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围
是 ．
16.若直角坐标平面内不同两点Q P ,满足条件：①Q P ,都在函数()x f y =的图象上；②Q P ,关于原点对称，则称()Q P ,是函数()x f y =的一个“伙伴点组”（点组()Q P ,与()P Q ,）可看成同一个“伙伴点组”.已知函数()()⎩⎨⎧≥+<+=0
,10
,12x x x x k x f ，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围
是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数()()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈⋅==9,91,3log 9log 33x x x x f y .
（1）若x t 3log =，求t 的取值范围；
（2）求()x f 的最值及取的最值时对应的x 的值. 18.已知函数()b
x ax
x f +=
2()1,0>>b a ，满足()11=f ，且()x f 在R 上有最大值423. （1）求()x f 的解析式； （2）当[]2,1∈x 时，不等式()()
m
x x m
x f -+≤
232恒成立，求实数m 的取值范围.
19.设函数()()x x x h x g 9,3==.
（1）解方程()[]()[]9log 82log 33+=-+x h x g x ； （2）若()()()b
x g a
x g x f +++=
1是R 上的奇函数，且()()()()021>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成
立，求实数k 的取值范围.
20. 据某气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度()h km v /与时间()h t 的函数图像如图所示，过线段OC 上一点()0,t T 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即时间()h t 内沙尘暴所经过的路程()km s .
（1）当4=t 时，求s 的值；
（2）将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地km 650，试判断这场沙尘暴是否会侵蚀到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？ 如果不会 ，请说明理由.
21.定义在D 上的函数()x f ，如果满足；对任意D x ∈，存在常数0>M ，都有()M x f ≤成立，则称()x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()x f 的上界.已知函数()x
x
a x f ⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=91311.
22.已知函数()()a x x x x f --+=12. （1）若1-=a ，解方程()1=x f ；
（2）若函数()x f 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（3）是否存在实数a ，使不等式()32-≥x x f 对任意R x ∈恒成立？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由.
试卷答案
一、选择题
1-5:CDCBD 6-10:BADDD 11、12：CC 二、填空题
13.⎪⎭
⎫
⎝⎛169,21 14.[]0,4- 15.()()4,11,0 16.()
+∞+,222
三、解答题
17.（1）由⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=9,91,log 3x x t ，解得22≤≤-t .
（2）()()2log 3log 323++=x x x f ，令
令x t 3log =，则[]2,2,4123232
2
-∈-⎪⎭
⎫
⎝⎛+=++=t t t t y .
当23-=t ，即23log 3-=x ，即93=x 时，()4
1
min -=x f ；
当2=t ，即2log 3=x ，即9=x 时，()12max =x f . 18.（1）∵()()1,02
>>+=b a b
x ax
x f ，满足()11=f ， ∴()111=+=
b
a
f ，即b a +=1，① 因为1,0>>b a ，所以()x f 取得最大值时，0>x ，所以()b
a x
b x a x
b x a x f 22=⋅
≤
+
=
，
∵()x f 在R 上有最大值
423，∴42
32=b
a ，即
b a 232=，②
由①②得2,3==b a ，即()x f 的解析式为()2
32
+=
x x
x f （2）依题意，当[]2,1∈x 时，要使不等式有意义，则2>m 或1<m . 由()()m x x m x f -+≤
232得()
m
x x m
x x -+≤+232322，
即m x m x -≤
，易知0>m ，则x m m x ≤-，即x
m
m x x m ≤-≤-，在[]2,1∈x 上恒成立.
①对于不等式m x x
m
-≤-，当1=x 时，不等式成立；当(]2,1∈x 时，可得12-≤x x m ，则
41min
2=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-≤x x m . ②对于不等式x m m x ≤-，即12+≥x x m 在[]2,1∈x 上恒成立，则341max 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥x x m . 综上，实数m 的取值范围是(]4,2.
19.（1）根据题意，原方程可转化为()
998323+=-⋅⋅x x x ，即93=x ，解得2=x .经验证，2=x 是原方程的解.
（2）因为()()()b
a
b x g a x g x f x x ++=+++=+3311是R 上的奇函数，
所以()()x f x f -=-，故1,3=-=b a .
则()⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-=13213x x f ，且()x f 在R 上单调递增.
由()()()()021>⋅-+-x g k f x h f ，得()()()()x g k f x h f ⋅-->-21， 又()x f 是R 上的奇函数， 所以()()()()21-⋅>-x g k f x h f ，
又()x f 在R 上单调递增，所以()()21-⋅>-x g k x h ， 故23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 因为23132313=⋅≥+
x x x x （当且仅当x x
3
13=时取等号），所以2<k . 故实数k 的取值范围是()2,∞-.
20.（1）由题中给出的函数图像可知，当4=t 时，()h km v /1243=⨯=， ∴()km s 241242
1
=⨯⨯=
.
（2）当100≤≤t 时，223
321t t t s =⋅⋅=；
当2010≤≤t 时，()15030103030102
1
-=-+⨯⨯=t t s ； 当3520≤≤t 时，()()()55070202202
1
302030103010212-+-=-⨯-⨯-⨯-+⨯+⨯⨯=
t t t t t s . 综上可知，[](](]⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
∈-+-∈-∈=35,20,5507020,10,1503010,0,2322t t t t t t t s
（3）∵[]10,0∈t 时，650150102
3
2max <=⨯=
s ， (]20,10∈t 时，6504501502030max <=-⨯=s ，
∴当(]35,20∈t 时，令650550702=-+-t t ， 解得40,3021==t t . ∵3520≤<t ，∴30=t .
∴沙尘暴发生h 30后将侵袭到N 城.
21.（1）当2
1
-=a 时，()x
x
x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=9131211，
令x
t ⎪⎭⎫
⎝⎛=31，∵0<x ，∴2211,1t t y t +-=>.
∵2211t t y +-=在()+∞,1上单调递增，∴2
3
>y ，
即()x f 在()0,∞-的值域为⎪⎭⎫
⎝⎛+∞,23.
故不存在实数0>M ，使()M x f ≤成立， ∴函数()x f 在()0,∞-上不是有界函数. （2）由题意知()4≤x f 对[)+∞∈,0x 恒成立，
即()44≤≤-x f ，令x
t ⎪⎭
⎫
⎝⎛=31，
∵0≥x ，∴(]1,0∈t . ∵()4142≤++=≤-t at x f ，
∴t t a t t -≤≤⎪⎭⎫
⎝
⎛+-35对(]1,0∈t 恒成立，
∴min max 35⎪⎭⎫
⎝⎛-≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-t t a t t
设()⎪⎭⎫
⎝
⎛+-=t t t h 5，()t t t p -=3，其中(]1,0∈t 上递减，
于是()t h 在(]1,0∈t 上的最大值为()61-=h ，()t p 在(]1,0上的最大值为()21=p . 所以实数a 的取值范围为[]2,6-.
22.（1）当1-=a 时，()()112
+⋅-+=x x x x f ，则()⎩
⎨⎧-<-≥-=.1,1,
1,122x x x x f
当1-≥x 时，由()1=x f ，得1122=-x ，解得1=x 或1-=x ； 当1-<x 时，()1=x f 恒成立. ∴方程的解集为{}
11=-≤x x x 或.
（2）由题意知()()()⎩⎨⎧<-+≥++-=a x a x a a
x a x a x x f ,1,122
若()x f 在R 上单调递增，则⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0141a a
a 解得31≥a .
∴实数a 的取值范围为⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧≥31a a .
（3）设()()()32--=x x f x g ， 则()()()⎩
⎨⎧<+--≥+++-=a x a x a a
x a x a x x g ,31,3322.
不等式()32-≥x x f 对任意R x ∈恒成立，等价于不等式()0≥x g 对任意R x ∈恒成立.
①若1>a ，则01<-a ，即012<-a ，取a x -=
12
0，此时a x <0， ∴()()013121120<-=+--⋅
-=⎪⎭⎫
⎝⎛-=a a a a a g x g ，即对任意的1>a ，总能找到a x -=120，使得()00<x g ，
∴不存在1>a ，使得()0≥x g 恒成立.
②若1=a ，则()⎩
⎨⎧<≥+-=1,21
,4422x x x x x g ，∴()x g 的值域为[)+∞,2，∴()0≥x g 恒成立.
③若1<a ，当()a x ,∞-∈时，()x g 单调递减，其值域为()
+∞+-,322a a . 由于()2213222≥+-=+-a a a ，所以()0≥x g 恒成立. 当[)+∞∈,a x 时，由1<a ，知()x g a a ,43+<
在4
3
+=
a x 处取得最小值. 令()0833432
≥+-
+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+a a a g ，得53≤≤-a ，又1<a ，∴13<≤-a . 综上，[]1,3-∈a .。