江苏省淮安市清江中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题_理_苏教版

江苏省清江中学2014-2015学年高二上学期期末考试
理科数学试题
时间：120分钟 满分：160分
参考公式：样本数据x1，x2，…，xn 的方差：2222121
[()()()]
n s x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅+-，
其中x 为样本平均数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置
上．
1． 命题“2x ∃<，2
4x >”的否定是 ▲ ．
2．抛物线2
y x =的准线方程为 ▲ ．
3． 在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的
分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最 低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．
4．若复数
2
4(2)z a a i =-+- (a R ∈)是纯虚数，则z = ▲ ． 5． 某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、
600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为n 的样本，且每个产品被抽到的概率为0.02，则应从乙车间抽产品数量为 ▲ ． 6. 右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．
7 .已知曲线 ln y x =在点P 处的切线经过原点，则此切线的方程为 ▲ ． 8. 一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为 ▲ ． 9. 已知等比数列{}
n a 中，有
10
301112201230
a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 成立．类似地，
在等差数列
{}
n b 中，有______▲ ___成立．
10．为了改善中午放学时校门口交通状况，高二年级安排A 、B 、C 三名学生会干部在周一至周五的5天中参加交通执勤，要求每人参加一天但每
天至多安排一人，并要求A 同学安排在另外两位同学前面．不同的安排方法共有 ▲ 种．（用数字作答）
11． “42a -<<”是“方程22
142x y a a +=+-表示椭圆”的_____▲ _条件．
（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”） 12. 函数
()sin 3f x x x tx =-在[]0,π上单调递减，则实数t 的取值范围是 ▲ ．
13. 椭圆22
2
21()x y a b a b +=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足PF AF =，则2
22(ln ln )b b a a --的范围是 ▲ ．
14. 函数
13
20142012()()20141x x
f x x x R ++=+∈+,其导函数为
/()f x ，则
//(2015)(2015)(2015)(2015)f f f f ++---= ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分14分）设p ：复数(12)(2)z m m i =-++在复平面上对应的点在第二或
第四象限；q ：函数324
()()6
3g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一
个．求使“p 且q ”为真命题的实数m 的取值范围．
16. （本小题满分14分）高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[)
60,50，
[)70,60…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C 级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；
（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率； （3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率.
17. （本小题满分14分）对于一切*
n N ∈，等式
2314121(,)122232(1)2(1)2n n
n b a a R b R n n n +⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=+∈∈⨯⨯++⋅恒成立．
（1）求,a b 的值；（2）用数学归纳法证明上面等式．
18. （本小题满分16分） 如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ABCD ⊥平面，
//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为060．（1）求证：AC BDE ⊥平面；
（2）求二面角F BE D --的正弦值；（3）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得
//AM BEF 平面，并证明你的结论．
19. （本小题满分16分） 已知椭圆E:22
221(0)x y a b a b +=>> ,以抛物线
28y x =的焦点为顶点,且离心率为1
2．
(1)求椭圆E 的方程；(2)已知A 、B 为椭圆上的点，且直线AB 垂直于x 轴，直线l ：4x =与
x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M.
(ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值．
20. （本小题满分16分）已知函数
()ln ,()(0)a
f x x
g x a x ==
>，设()()()F x f x g x =+
（1）求函数()F x 的单调区间；(2）若以函数()(2)y F x x =≥图象上任意一点
00(,)
P x y 为
切点的切线的斜率
1
2k ≤
恒成立，求实数a 的最小值；（3）是否存在实数b ，使得函数
2
2(
)11a
y g b x =+-+的图象与函数4()y f x =的图象在[1,]x e ∈恰有两个不同交点？若存
在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．
江苏省清江中学2014-2015学年度第一学期期末考试
高二数学试题（理科）答题纸
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．
1 2 3 4 5
6 7 8 9
10 11 12 13 14
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出
16. （本小题满分14分）
17. （本小题满分14分）
18. （本小题满分16分）
19. （本小题满分16分）
0.03
10
0.02
50.01
5
0.005
90
80
70
60
50
组距
频率
分数
江苏省清江中学2014-2015学年度第一学期期末考试 高二数学试题（理科） 参考答案与评分标准 一、填空题：
二、解答题：
15. 解：∵复数(12)(2)z m m i =-++在复平面上对应的点在第二或第四象限， ∴(12)(2)0m m -+<，即2m <-或
1
2m >
. ………………5分
∵函数324
()()6
3g x x mx m x =++++在R 上有极大值点和极小值点各一个，
∴
24
()3203g x x mx m '=+++
=有两个不同的解，即△＞0.
由△＞0，得m ＜－1或m ＞4 …………10分
要使“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题， ………………12分 ∴ 12,24214
m m m m m m ⎧
<->
⎪<->⎨
⎪<->⎩或解得或或．
m ∴的取值范围为(,2)(4,)-∞-+∞U ． ………………14分
16.解: （1）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：
1.010)005.0025.003.02015.0(11=⨯+++⨯-=f ………………………………3分
所以低于60分的人数为60(0.10.15)15⨯+=（人）……………………………….5分 （2）依题意，成绩80及以上的分数所在的第五、六组（低于50分的为第一组）， 频率和为 (0.0250.005)100.3+⨯=
所以，抽样学生成绩的优秀率是30%……………………………………………………8分. 于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为30%……………………………………9分.
（3）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9．所以从参加补考的学生中选两人，
他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：
76
1415561=
⨯⨯-
=P …………………14分
17. 解：(1)将1,2n n ==代入等式得：
344311246
b a b a ⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=+⎪⎩解得：1
1a b =⎧⎨
=-⎩
……………6分
（2）由（1）得，231412*********(1)2(1)2n n
n n n n +⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=-⨯⨯++⋅
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=34,右边=3
4，等式成立；…………………………8分
②假设n ＝k 时等式成立，即
231412*********(1)2(1)2k k k k k k +⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=-⨯⨯++⋅
则n ＝k ＋1时，
2+1
+11
1
31412131
=
+122232(1)2+1(2)213132(2)
=11(1)2+1(2)2+1(2)21
1(2)2k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯++++-+-+⨯=+
+⋅++⋅=-=+⋅左边（）（）（）右边
即n ＝k ＋1时等式成立. ……………………12分
由①②知，等式23141211
1122232(1)2(1)2n n
n n n n +⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=-⨯⨯++⋅成立. …14分
18. (1)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，AC ABCD ⊂面,所以DE AC ⊥. ………2分 因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又DE BD D ⋂=，从而AC ⊥平面BDE . …… … …… ……4分（本小题也可用空间向量以算代证，参照给分）
(2)解：因为,,DA DC DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D xyz -如图所示. 因为BE 与平面ABCD 所成角为0
60，即0
60DBE ∠=，……5分
所以3
ED
DB =.由3AD =可知36DE =，6AF =. ………6分
则
(3,0,0),(3,0,6),(0,0,36),(3,3,0),(0,3,0)A F E B C
所以(0,(3,0,BF EF =-=-u u u r u u u r
………7分
设平面
的法向量为(,,)n x y z =，则
00n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r
u u u r
，即30
30y x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，
令z =
(4,n =. …………………8分
因为AC 平面BDE ，所以CA u u u r
为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-u u u r ，
所以
cos ,||||n CA n CA n CA ⋅<>===
u u u r
u u u r u u u r . …………………9分 所以二面角的正弦值为
2132391(
)13-=.………………10分
(3)解：点M 是线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t .
则(3,,0)AM t t =-u u u u r ，，因为//AM BEF 平面，所以0AM n ⋅=u u u u r ， ………………12分
即4(3)20t t -+=，解得2t =. …………………14分
此时，点
坐标为(2,2,0)，1
3BM BD
=，符
合题意. …………………16分
19. 解：(1)因为抛物线2
8y x =的焦点为(2,0),又椭圆以抛物线焦点为顶点,
所以
21
2,,1,32c a e c b a ==
===又所以∴椭圆E 的方程
为22
143x y +=．…………… 4分
(2)(i)证明：由题意得F(1,0)、N(4,0)． 设(,)A m n ，则
(,)(0)B m n n -≠，22
1
43m n +=.
AF 与BN 的方程分别为：(1)(1)0,n x m y ---=(4)(4)0,n x m y ---=
设00(,)M x y ，则有0000(1)(1)0
(4)(4)0n x m y n x m y ---=⎧⎪⎨---=⎪⎩
由上得00583,2525m n x y m m -==--，…6分
由于
2222
00
22
(5
8)(3)
434(25)3(25)
x y m n
m m
-
+=+=
--
2222
22
(58)12(58)369
1
4(25)4(25)
m n m m
m m
-+-+-
==
--，
所以点M恒在椭圆C上…………10分
/0(0,),(0,)
F x a F a
<∈
解得所以（x）在上是减函数；所以,F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞). ……………4分
（2）由
/
22
1
()(2)
a x a
F x x
x x x
-
=-=≥
得
/0
00
2
1
()(2)
2
x a
k F x x
x
-
==≤≥
恒成立,即
2
00
1
2
a x x
≥-+
恒成立………………………6分
因为当0
2
x=
时，
2
00
1
2
x x
-+
取得最大值0，所以，0
a≥，所以，a的最小值为0. (9)
分
（3）若
2
2
211
()1
122
a
y g b x b
x
=+-=+-
+的图象与函数4()4ln
y f x x
==的图象在[1,]
x e
∈恰有两个不同交点，即
2
11
4ln
22
x b x
+-=
在
[1,]
x e
∈有两个不同的根，亦即
211
4ln 22b x x =-+
两个不同的根. ………………………11分
令211()4ln 22G x x x =-+
，[1,]x e ∈，则2/
44(2)(2)()x x x G x x x x x --+=-==，
[1,]x e ∈.………………………13分
当x 变化时G/(x)、G （x ）的变化情况如下表：
由上表知：max 3
()4ln 22G x =-
,又21402e -+>，所以，当213[4,4ln 2)22e b -∈+-时，()y b y G x ==与的图像有两个不同交点，所以，当213
[4,4ln 2)
22e b -∈+-时，
22(
)11a
y g b x =+-+的图象与函数4()y f x =的图象在[1,]x e ∈恰有两个不同交
点．………………………16分。