高等数学复习第一章

高等数学复习第一章
第一篇：高等数学复习第一章
高等数学复习第一章
一，函数的概念与性质
1函数定义有两个要素；○
2构成复合函数的条件；○
3初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤构成，○
且能用一个解析式子来表示的函数；
4函数的奇偶性，周期性，有界性，单调性。

○
二，极限
1，数列和函数极限的定义
2，极限的性质：唯一性，有界性，保号性；
3，极限四则运算法则；
4，复合函数极限运算；
5，极限存在准则：（1）单调有界准则：单调有界的数列必有极限
（2）夹逼准则：g(x)<=f(x)<=h(x),g(x)和h(x)在某点的极限相等都为A，则f(x)在那点的极限也为A。

（证明题中最常用）
三，无穷小与无穷大
1，把极限为零的量称为无穷小（0当然也就是最小的无穷小了），绝对值无限大的变量称为无穷大（正无穷和负无穷）；
2，无穷小的比较：看两者之商的极限。

3，无穷小的重要性质：有界函数与无穷小的乘积为无穷小（xsinx-1为x趋于0的无穷小），有限个无穷小的积，差，和仍然为无穷小（无穷的不一定，x个x-1就是常数1呢）；
4，常见的等价无穷小：x~sinx~tanx~ln(x+1)~ex-1 ax-1~xlna(1+x)n~1+nx.四，函数的连续性
1，函数在某点左极限等于右极限，且等于该点函数值，则函数在
此点连续； 2，间断点的分类：
第一类间断点：函数在某点的左右极限都存在可去间断点：左右极限相等为A，但是该点的函数值不为A
跳跃间断点：左右极限不相等
第二类间断点：某点左右极限至少有一个不存在无穷间断点：某点左或者右极限为无穷大的时候，此点为无穷间断点
振荡间断点：函数在某点左右极限都不存在，但又不是无穷大的时候，此点为振荡间断点。

（比如sinx-1在x=0处）
3，介值定理和零点定理。

（用于证明根的存在性问题，相当有用）总结人：自1103程顺均2011年12月12日星期一
第二篇：高等数学复习
高等数学2考试知识点
总题型：填空（10空），选择题（5个），计算题（A-9,B-8），证明题（2个）
第8章：填空选择题型：向量的数量积和向量积的计算，运算性质，两向量平行与垂直的充分必要条件即向量积为零向量和数量积为零，两向量数量积的模表示以这两向量为邻边的平行四边形的面积，点到平面的距离公式，旋转曲面方程的特点即出现两个变量的平方和且其对应系数相等，球面的一般方程；
计算题型：根据直线和平面的关系求平面方程或直线方程；
第9章：填空选择题型：多元函数的定义域，简单函数的二重极限计算，多元函数的极限、连续和偏导数的关系，多元函数取极值的必要条件；
计算题型：偏导数的计算，空间曲线的切线法平面，空间曲面的切平面法线，函数在已知点沿已知向量方向的方向导数，多元函数的极值和条件极值；
证明题型：证明与偏导数有关的等式；
第10章：填空选择题型：重积分的性质，计算被积函数为常数且积分区域比较特殊的二重积分或三重积分，二次积分交换积分次序；
计算题型：二重积分计算，极坐标系下二重积分的计算，三重积
分的计算（球面坐标结合高斯公式），曲顶柱体的体积；
第11章：填空选择题型：第一第二类曲线曲面积分的性质，计算被积函数为常数且积分曲线或积分曲面比较特殊的第一类曲线积分或第一类曲面积分；
计算题型：曲线型构建的质量（已知线密度，且曲线为圆弧），对坐标的曲线积分使用格林公式，高斯公式（积分区域为球的三重积分），全微分求积（求原函数）
第11章：填空选择题型：级数收敛的定义，收敛级数的性质，简单级数的绝对收敛和条件收敛以及发散的判定，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数的间接展开(利用指数函数和三角函数)，傅里叶级数的收敛定理，记住奇偶函数在对称区间的傅里叶级数展开为正弦与余弦级数；
计算题型：正项级数的审敛法，一般的级数判定其绝对收敛还是条件收敛，幂级数求和函数，幂级数的展开（分式展开，主要利用1/(1-x)的展开式，要注意收敛的范围）；证明题型：利用296页的Weierstrass判别法证明函数项级数是一致收敛的；
第三篇：高等数学复习教程
高等数学复习》教程
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限
3.连续
二、题型与解法 A.极限的求法
函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.（等价小量与洛必达）2.已知解：
（洛必达）3.（重要极限）4.已知a、b为正常数，解：令（变量替换）5.解：令（变量替换）6.设连续，求
（洛必达与微积分性质）7.已知在x=0连续，求a 解：令
（连续性的概念）
三、补充习题（作业）1.（洛必达）
2.（洛必达或Taylor）
3.（洛必达与微积分性质）
第二讲导数、微分及其应用
一、理论要求 1.导数与微分
2.微分中值定理
3.应用
二、题型与解法 A.导数微分的计算
B.曲线切法线问题
C.导数应用问题
D.幂级数展开问题导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程
理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题
会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）
基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.决定，求 2.决定，求
解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则
4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。

解：
5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。

求f(x)在（6，f(6)）处的切线
方程。

解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0
6.已知，求点的性质。

解：令，故为极小值点。

7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。

解：定义域
8.求函数的单调性与极值、渐进线。

解：，9.或： 10.求解： =
E.不等式的证明 11.设，证：1）令
2）令
F.中值定理问题12.设函数具有三阶连续导数，且，求证：在（-1，1）上存在一点证：其中
将x=1，x=-1代入有两式相减： 13.，求证：
证：令令
（关键：构造函数）
三、补充习题（作业）1.2.曲线 3.4.证明x>0时
证：令
第三讲不定积分与定积分
一、理论要求1.不定积分2.定积分掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）理解定积分的概念与性质
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分
会用定积分求几何问题（长、面、体）
会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值
二、题型与解法 A.积分计算 1.2.3.设，求解： 4.B.积分性质 5.连续，,且，求并讨论在的连续性。

解：
6.C.积分的应用
7.设在[0，1]连续，在（0，1）上，且，又与x=1,y=0所围面积S=2。

求，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。

解：
8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x 轴旋转的表面积。

解：切线绕x轴旋转的表面积为
曲线绕x轴旋转的表面积为
总表面积为
三、补充习题（作业）1.2.3.第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示
2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复合函数与隐函数求导法
3.多元微分应用
4.空间解析几何理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
二、题型与解法
A.求偏导、全微分 1.有二阶连续偏导，满足，求
解： 2.3.，求
B.空间几何问题4.求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。

解：
5.曲面在点处的法线方程。

C.极值问题
三、补充习题（作业）1.2.3.6.设是由确定的函数，求的极值点与极值。

第五讲多元函数的积分
一、理论要求 1.重积分 2.曲线积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）
会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法
熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件
3.曲面积分理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分
二、题型与解法A.重积分计算1.为平面曲线绕z轴旋转一周与z=8的围域。

解：
2.为与围域。

（
3.，求
(49/20)
B.曲线、曲面积分 4.解：令
5.,。

解：取包含(0,0)的正向，6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S，且在x>0有连续一阶导数，,求。

解：
第六讲常微分方程
一、理论要求 1.一阶方程 2.高阶方程 3.二阶线性常系数熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法会求(齐次)(非齐次)(非齐次)
二、题型与解法A.微分方程求解1.求通解。

（2.利用代换化简并求通解。

（）
3.设是上凸连续曲线，处曲率为，且过处切线方程为y=x+1，求及其极值。

解：
三、补充习题（作业）
1.已知函数在任意点处的增量。

（）
2.求的通解。

（）
3.求的通解。

（）
4.求的特解。

（第七讲无穷级数
一、理论要求 1.收敛性判别级数敛散性质与必要条件
常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式判别法交错级数判别法 2.幂级数幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法
幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）Taylor与Maclaulin展开
3.Fourier级数了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理会求的Fourier级数与正余弦级数
第八讲线性代数
一、理论要求 1.行列式 2.矩阵会用按行（列）展开计算行列式
几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等
价
用初等变换求矩阵的秩与逆
理解并会计算矩阵的特征值与特征向量
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示
掌握线性相关、线性无关的判别
理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质
4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的方法
5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换二次型的标准形、规范形及惯性定理
掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法
了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法
第九讲概率统计初步
一、理论要求1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算
会计算古典型概率与几何型概率
掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式
2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念
3.二维随机变量
4.数字特征
5.大数定理
6.数理统计概念
7.参数估计
8.假设检验
第十讲总结
1.极限求解
2.导数与微分
3.一元函数积分理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的
概率密度
掌握0-
1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数
理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布理解随机变量的独立性及不相关概念
掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简单函数的分布
理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念
掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望
了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理
理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩了解分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念了解正态分布的常用抽样分布
掌握矩估计与极大似然估计法
了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间
掌握假设检验的基本步骤
了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
变量替换（作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换）1.(几何级数)2.(对数替换)3.4.5.6.，求复合函数、隐函数、参数方程求导1.2.，求dy/dx 3.决定函数，求dy 4.已知，验证 5.,求
1.求函数在区间上的最小值。

（0）
2.
3.
4.
5.
6.4.多元函数微分1.，求
2.由给出，求证：
3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。

4.，求6.证明满足7.求内的最值。

5.多元函数积分 1.求证： 2.3.4.改变积分次序 5.围域。

6.常微分方程1.求通解。

2.求通解。

3.求通解。

4.求通解。

5.求特
解。

6.求特解。

《高等数学考研题型分析》
填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、变上限定积分
选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限
计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用
第四篇：高等数学复习提要
高等数学复习提纲
第一章函数与极限复习重点：
1、求极限
1）四则运算法则
注意：四则运算法则适用的函数个数是有限个；
四则运算法则的条件是充分条件
有理分式函数求极限公式：
⎧a0mm-1 xxxam⎪ba+a+Λ+amm-101m-1n+nnn a0x+a1x+Λ+am-1x+am⎪0xxxx=lim=⎨0limnn-1
∞bxn+bxn-1+Λ+bx+bx→∞x→bxxxn01n-1n⎪∞b+b+Λ+b+01n-1nn nn ⎪xxxx⎩2）两个重要极限
n=mm<nm>nlimsinxsin0=1()x→0x01x101lim(1+x)=lim(1+)x=e ((1+0))x→0x→∞x
3）两个准则
准则一：若(1)yn≤xn≤zn∀n∈N则{xn}有极限,且limxn=an→∞(2)limyn=limzn=an→∞n→∞
准则二：单调有界数列必有极限
单调递增有上界的数列其极限为最小的上界（上确界）
单调递减有下界的数列其极限为最大的下界（下确界）4）无穷小量
a.无穷小量的定义，注意其是变量，谈及无穷小量时一定要注明
自变量的变化趋势。

唯一的例外是0永远是无穷小量；
b.掌握何为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小；
c.利用无穷小量求极限
无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量
等价无穷小量替代求极限
注意：下面给出关系式是在x→0时才成立
等价无穷小量替代求极限只在积、商时成立，加减时不行
1sinx~x 1-cosx~x2 x arcsinx~x e-1~x
tanx~x ax-1~xlna
xn ln(1+x)~x 1+x-1~ n2、连续性和间断点 1）连续定义
∆x→0lim∆y=0,limf(x)=f(x0)
x→x0要求会用定义讨论分段函数分段点的连续性
2）间断点
第Ⅰ类间断点：f(x0-0)，f(x0+0)∃,即左右极限均存在01f(x0-0)≠f(x0+0)跳跃间断点 0⎫ 2f(x0-0)=f(x0+0)而f(x0)无定义⎪⎬可去间断点0 3limf(x)≠f(x0)⎪x→x0⎭
第Ⅱ类间断点：f(x0-0)，f(x0+0)至少有一个不∃
间断点的疑似点：使函数没有意义的点和分段函数分段点
要求：判断函数的间断点，若是第一类的要写出是跳跃还是可去，第二类只需写出是第二类间断点即可。

3、闭区间上连续函数的性质
1）最值定理：闭区间上连续函数的最大值和最小值一定取得到。

注意：最值定理的条件是充分条件，不满足结论不一定成立。

2）零点定理：f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，则至少存在一点x0∈(a,b)，使得f(x0)=0。

要求：和罗尔中值定理结合在一起判断根的唯一性。

第二章一元函数微分学复习重点：
1、导数的定义f'(x0)=limf(x)-f(x0)∆y =lim∆x→0∆xx→x0x-x0要求，会利用导数的定义判断分段函数分段点处的可导性，以及利用导数定义求极限；
2、导数的几何意义表示曲线f(x)在x=x0处切线的斜率要求会求切线方程法线方程；
3、微分的定义 dy=f'(x0)∆x（一点可微）；dy=f'(x)dx（点点可微）
4、一元微分学中，可导、连续、可微三者之间的关系
可导必可微，可微必可导；可导一定连续，连续不一定可导
5、导数的计算 a.复合函数求导
b.高阶导数
常见高阶导数公式如下：
y=exy(n)=ex
y=xny(n)=n!,y(n+1)=0
nπy=sinxy(n)=sin(x+)2
nπy=cosxy(n)=cos(x+)2(-1)n-1(n-1)!(n)y=ln(1+x)y=(1+x)nc.隐函数求导
隐函数求导方法两边同时对x求导；注意y是关于x的函数；
隐函数求导的结果还是隐函数；
隐函数高阶求导时一阶求导结果要注意回带，以简化运算。

d.对数求导法
适用于幂指函数、无理分式函数 e.参数方程求导
注意二阶导数
6、求微分
dy=f'(x)dx注意不要缺失dx 第三章中值定理和导数的应用
1、中值定理
1）罗尔定理若f(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，f(a)=f(b)，则至少存在一点x0∈(a,b)，使得f'(x0)=0。

注意：a)罗尔定理的条件是充分的，不满足条件结论不一定成立；
b)罗尔定理的结论可理解为若f(x)满足罗尔定理三个条件，则导函数在开区间(a,b)至
少有一根；强调了导函数根的存在性，但没指出到底有几个根；
c)从罗尔定理可推出，若f(x)有n个根+连续+可导，则导函数至少有n-1个根；注意反之不成立；
d)若导函数没有根，则f(x)至多一个根。

2）拉格郎日定理
若f(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，则至少存在一点x0∈(a,b)，使得f'(x0)=应用于不等式的证明和证明某个函数是一个常函数。

3）柯西定理
若f(x)，F(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，且x∈(a,b),F'(x)≠0则至少存在一点x0∈(a,b)，使得
f(b)-f(a)。

b-af'(x0)f(b)-f(a)。

=F'(x0)F(b)-F(a)应用于等式的证明。

2、洛必达法则
定理(1)若limf(x)=0limF(x)=0x→ax→a
(2)在a,δf'(x)F'(x)都存在且F'(x)≠0 f'(x)f(x)f'(x)(3)lim∃或(∞)则lim=lim
x→aF'(x)x→aF(x)x→aF'(x)()0∞,∞-∞,0⋅∞,00,1∞,∞0等不定型极限0∞x+sinx1+cosx=lim注意：lim极限不存在，此时洛必达法则不适用。

x→∞x→∞x1洛必达法则应用于解决,3、利用导数判断函数的单调性，凹凸性，极值和拐点，会作图 1）单调性的判定
设函数y=f（x）在[a,b]连续，在（a,b）可导，'x）a）如果在（a,b）内f（>0，那么f（x）在[a,b]上↑
b）如果在（'x）a,b）内f（<0，那么f（x）在[a,b]上↓注： a、该条件为函数严格单调的充分条件b、若函数f(x)在(a,b)内可导，则f 在(a,b)内严格单增（减）的充要条件为：
对一切x∈(a,b)，有f'(x)≥0(f'(x)≤0)
在(a,b)内,任何使f'(x)=0的点必是孤立点c、若函数f(x)在(a,b)内可导，则f在(a,b)内单增（减）的充要条件为：对一切x∈(a,b)，有f'(x)≥0(f'(x)≤0)d、单调区间的分界点为：一阶导函数为0的点和一阶不可导点要求：会利用一阶导函数判断函数的单调区间；
会利用单调性证明不等式；
会利用严格单调性证明根的唯一性。

2）凹凸性的判定
定理：若f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上二阶可导，在(a,b)内若f''(x)>0，则f(x)在[a,b]是凹的；在(a,b)内若f''(x)<0，则f(x)在[a,b]是
凸的。

3）拐点：凹凸区间的分界点
拐点的疑似点：二阶导函数为0的点和二阶不可导点判定定理1：若f(x)在x0处可导，在U(x0)内二阶可导，则
当x<x0与x>x0时，f''(x)变号，(x0,f(x0)就是拐点；
当x<x0与x>x0时，f''(x)不变号，(x0,f(x0)就不是拐点；
判定定理2：若f(x)在x0处三阶可导，且f''(x0)=0,f'''(x0)≠0,则(x0,f(x0)是拐点。

注意，对于判定定理2，若f''(x0)=0,f'''(x0)=0,结论是(x0,f(x0)可能是拐点也可能不是拐点。

4）极值
极大值：设f(x)在(a,b)有定义，存在x0∈(a,b)，对x∈U(x0)，若f(x0)≥f(x)，则称f(x0)为f(x)的一个极大值，x0为f(x)的一个极大值点。

极小值：设f(x)在(a,b)有定义，存在x0∈(a,b)，对x∈U(x0)，若f(x0)≤f(x)，则称f(x0)为f(x)的一个极小值，x0为f(x)的一个极小值点。

0最大值：设f(x)在(a,b)有定义，存在x0∈(a,b)，对任意x∈(a,b)，若f(x0)≥f(x)，则称f(x0)为f(x)的一个最大值，x0为f(x)的一个最大值点。

注意：极值反映的函数局部的性质，它只是和极值点附近点的函数值相互比较而言它是大的
还是小的，有可能出现极小值大于极大值的情况；而最值反映的是函数全局的性质，它是和整个区间上所有点的函数值相互比较。

一个区间上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值点不唯一；而一个区间上极值是不唯一的，可以有几个极大值和极小值。

在区间内部，最大值一定是极大值，最小值一定是极小值。

极值点的疑似点：
判定定理：驻点和一阶不可导点
必要条件：可导的极值点一定是驻点。

（使一阶导函数为0的点称之为驻点）第一充分条件：若f(x)在x0处连续，在U(x0)内可导，则
当x<x0与x>x0时，f'(x)变号，x0就是极值点；
当x<x0与x>x0时，f'(x)不变号，x0就不是极值点；
第二充分条件：若f(x)在x0处二阶可导，且f'(x0)=0,f''(x0)≠0,则x0就是极值点。

0f''(x0)<0,x0是极大值点；f''(x0)>0,x0是极小值点。

注意：在第二充分条件中，若f'(x0)=0,f''(x0)=0,则x0可能是极值点也可能不是。

第四章不定积分（计算）
1、换元法（第一种，第二种（去根号））
2、分部积分法
3、倒代换
4、整个根式换元
5、有理函数积分
6、三角函数积分
nb第五章定积分
f(x)dx=limf(ξi)∆xi.aλ→01、定积分的定义
i=1定积分的结果是常数，表示的是曲边梯形面积的代数和，与积分区间和被积表达式有关，和积分变量无关。

2、可积的两个充分条件和一个必要条件 f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

f(x)在[a,b]有界且有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

f(x)在[a,b]可积，在f(x)在[a,b]上有界。

3、定积分的几何意义
4、定积分的重要性质
⎰∑（1）无论a,b,c三者位置关系如何，⎰baf(x)dx=⎰f(x)dx+⎰f(x)dx accbbb（2）不等式性质：∀x∈[a,b],f(x)≤g(x),⎰f(x)dx≤⎰g(x)dx
aab（3）估值定理：∀x∈[a,b],m≤f(x)≤M,m(b-a)≤⎰f(x)dx≤M(b-a)
ab（4）积分中值定理：f(x)在[a,b]上连续，则至少存在ξ∈[a,b],⎰f(x)dx=af(ξ)(b-a)
5、会用定积分的定义求极限
6、定积分的计算
（1）换元法
与不定积分相比要换积分上下限，最后不用回代（2）分部积分法公式ππ⎛⎫nn22 In=sinxdxcosxdx⎪=⎪00 ⎝⎭31π⎧n-1n-3⋅⋅Λ⋅⋅⋅⎪⎪nn-2422=⎨⎪n-1⋅n-3⋅Λ⋅4⋅2⋅1 ⎪53⎩nn-2
（3）积分区间是对称区间的要考虑被积函数的奇偶性和非奇非偶性⎰⎰aa-a⎰f(x)dx=⎰(f(x)+f(-x))dx
0a+TT（4）周期性
f(x)dx=f(x)dxa0
a+nTT
f(x)dx=nf(x)dxa0
ππ（5）常见公式
22()(1)fsinxdx=f(cosx)dx 00
πππ(2)xf(sinx)dx=f(sinx)dx002 ππ(3)f(sinx)dx=22f(sinx)dx00
第六章定积分的几何应用求面积（1）直角坐标系
（2）参数方程（3）极坐标系⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
第五篇：高等数学上册复习
第一章复习提要第一节映射与函数
1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数；这些函数通常用于判断题中的反例
2、注意无界函数的概念
3、了解常用函数的图像和基本性质（特别是大家不太熟悉的反三角函数）第二节数列的极限会判断数列的敛散性第三节函数的极限
1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。

（重要）
2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线（p37）。

（重要）
3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性。

第四节无穷大和无穷小
1、无穷小和函数极限的关系：limf(x)=A⇔f(x)=A+α，其中α是无穷小。

x→x0x→∞
2、无穷大和无穷小是倒数关系
3、铅直渐近线的概念（p41）, 会求函数的铅直渐近线
4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。

5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态第五节极限的运算法则
1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。

以乘法为例比如f(x)=x,g(x)=但是limf(x)⨯g(x)=1
x→01。

limf(x)=0，limg(x)=∞。

xx→0x→02、会求有理分式函数p(x)的极限（P47 例3-例7）（重要）q(x)x→x0时:若分母q(x0)≠0，则极限为函数值
0型极限，约去公因子0 若只是分母为零，则极限为无穷大。

（p75页9（1））
x→∞时，用抓大头法，分子、分母同时约去x的最高次幂。

第六节极限存在的准则，两个重要极限（重要）
1、利用夹逼准则求极限：例p56也习题4（1）（2），及其中考试题（B）卷第三题（1）
2、利用两个重要极限求其他的极限（p56习题2）
1sinxsinx=0；lim=1 3 注意下面几个极限：limxsin=0；limx→0x→∞x→0xxx第七节无穷小的比较（重要）
1、会比较两个无穷之间的关系（高阶、低阶、同阶，k 阶还是等价穷小）若分子和分母同时为零，则为
x22、常见的等价无穷小：sinx,tanx,arcsinx~x；1-cosx~
2ex-1~x；(1+x)~1nx n13、若ϕ(x)为无穷小，则sinϕ(x)~ϕ(x)，(1+ϕ(x))n~ϕ(x)n，ln(1+ϕ(x))~ϕ(x)，eϕ(x)-1~ϕ(x)。

4、替换无穷小时必须是因式
x→0limtanx-sinxx3≠limx-x3x→0x=0
应该
x2xtanx-sinxtanx(1-cosx)1lim=lim=lim2=
2x→0x→0x→0x3x3x35、会利用等价无穷小计算极限（p60页习题4）
第八节函数的连续性与间断点（重要）。