复数小结与复习(一) 教案示例

复数小结与复习(一)·教案示例
目的要求
1．通过本课的小结与复习，对本章第一单元(复数及其四则运算)知识内容进行梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提高一步．
2．通过对例题的讲解、讨论及相关训练，进一步理解复数的有关概念、复数的代数表示与向量表示、复数代数形式的运算及相关的几何背景．
内容分析
1．本单元内容大致可分为三个部分：
(1)复数的概念
数集的扩充过程是：
自然数集(N *)→整数集(Z)→有理数集(Q)→实数集(R)→复数集(C)．教学中应强调数集扩充的必要性，以及复数产生的必然性．
2．复数的表示：代数表示与几何表示
任一复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)和复平面内的一点Z(a ，b)对应，
也可以和点，的位置向量对应，这些对应都是一一对应，即→
Z(a b)OZ
在这些对应下，复数的各种运算都有特定的几何意义．
3．复数的四则运算
复数的加、减、乘、除与实数四则运算相类似，学生不难掌握．关键是四则运算的几何意义，学生掌握起来有点困难．教师在教学时，应先复习一下平面向量的相关知识，再结合前面复数与向量的一一对应关系就可迎刃而解．
教学过程
1．内容小结
对本章第一单元知识作一番小结，可采用列提纲或填表格形式，让学生自己归纳总结所学知识内容．教师可因势利导，对一些关键之处予
以强调点拨，如复数＝＋与复平面上的点，和位置向量之→
z a bi Z(a b)OZ
间的对应关系、复数加法与减法的几何意义、平行四边形法则与三角形法则的用法等等．
2．注意的问题
(1)应注意实数、虚数、纯虚数、复数之间的区别与联系．它们的关系可用以下图表示：
(2)复数z ＝a ＋bi 用复平面内的点Z(a ，b)表示，点Z 的坐标是(a ，b)而不是(a ，bi)，也就是说，复平面内纵坐标的单位长度是1，而不是i ．
(3)复数虽然不能一概地去比较大小，但因为复数的模是实数，可以比较大小，利用复数的模可得出一些不等式，如||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|及|z|＜r 等等，这些复数模的不等式都有鲜明的几何意义，应加以留心．
(4)复数的加减运算与用坐标表示的平面向量的加减运算是一致的．一般地，用复数的代数形式进行复数的加减运算较为方便．
3．讲解例题
例已知、∈，＝＝，＋＝，求－．1 z z C |z ||z |1|z z ||z z |121212123
解法1：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，
则z 1＋z 2＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ，
z 1－z 2＝(a －c)＋(b －d)i ．
∵＝＝，＋＝．|z ||z |1|z z |12123
∴a 2＋b 2＝1
①
c 2＋
d 2＝1
②
(a ＋c)2＋(b ＋d)2＝3
③
将①、②代入③可得
ac bd ＋＝．12
于是|z 1－z 2|＝1．
解法2：由|z 1|＝|z 2|＝1可知，z 1、z 2所对应的点在单位圆上．
如图5－13所示，设z 1、z 2、z 1＋z 2分别对应A 、B 、C 之点．则
|OA||OB|1|OC|→→→
＝＝，＝．3
又＝＋，→→→OC OA OB
∴四边形OACB 是平行四边形．
∴∠＝
＋－·＝＋－＋＝－．→→→→→cos OAC (||||||)
||||
||||||||||
OA AC OC OA OC z z z z z z 2221222122
122212 ∴∠OAC ＝120°，∠AOB ＝60°．
因此，△是正三角形，故－＝＝→
AOB |z z ||AB|112
例2 复平面内点A 对应的复数是1，经过点A 作虚轴的平行线l ，
设上的点对应的复数为，求所对应点的轨迹．l z 1z
分析：因为在复平面上的点A 的坐标为(1，0)，l 过点A 平行于虚轴．因此，直线l 上的点对应的复数z 的实部为1，可设z ＝1＋bi(b ∈
R)，然后再求所对应的点的集合．1z
解：如图5－14所示，因为点A 对应的复数为1，直线l 过点A 且平行于虚轴，所以，可设直线l 上的点对应的复数为z ＝1＋bi(b ∈R)．
因此，＋－＋，1z =11bi =1bi 1b 2 设＝＋，于是1z
x yi x yi i ＋＝＋－＋．11122
b b b 根据复数相等的条件，有
x y ＝＋，＝－＋．11122b b b ⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪ 消去b 可得
x y (b 1b )x 22
22＋＝＋＋－＋＝．1122()b ∴x 2＋y 2＝x(x ≠0)．
即－＋＝≠．(x )y (x 0)221214 ∴所对应点的集合是以、为圆心，为半径的圆，但不包112
z (120) 括原点O(0，0)．
4．课堂练习
教科书复习参考题A 组第6、9题．
5．归纳小结
着重对上述例题的解题思路进行小结．
布置作业
教科书复习参考题B 组第4、7题．。