天津市部分区2018届高三数学下学期质量调查试题一 理(扫描版)

数学（理工类）参考答案
一、选择题：
1—4 B C B C 5—8 A D C D 二、填空题：
9．),
2(+∞ 10．160- 11．9
2
12．12- 13．π41 14．c a b << 三、解答题：
15．（本小题满分13分）
解：（I ）1cos 2()3sin cos 2
x
f x x x +=+
3
sin 222x x =+)6x π=+.…………（4分）
所以函数()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=………………………（6分）
（II ）())6
f x x π
=+
+
2
3的单位长度，
得到()+)6
g x x π
=.………………………………（7分）
因为4
3
x π
π
-
≤≤
，
且()+)6
g x x π
=在[,]46ππ
-
上为增函数，在[,]63
ππ
上为减函数，（9分）
易知3(),()()42632
g g g π
ππ-
=-==
因为3,22
-<<所以min max 3(),()2g x g x =-=…………………（12
分）
所以函数()g x 的值域为3
[2
-.…………………………………（13分）
16．（本小题满分13分）
解：（I ）甲、乙两大学生不过关的概率均为111
=224
(1-)(1-)，……………………（1分）
丙大学生不过关的概率为1
14
=339
(1-)(1-)，…………………………………（2分）
所以甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率为114144936
⨯⨯=.………………（3分）
（II ）甲、乙两大学生过关的概率均为13=
441-(13
)44
=……（4分）
丙大学生过关的概率为45199-
=或(11(133+-（5分）
随机变量X 的取值为0,1,2,3，…………………………………………………（6分）
（7
1524529=49144144144⨯=+，
……………………
345111=
4924424
⨯=+…………………………
(3)44916
P X ==⨯⨯=
………………………………………………………
（10分）
随机变量X 的分布列为………………………………………………………（11分）
期望12911
529637
012336144241614418
EX =⨯+⨯+⨯+⨯==.………………（13分）
17．（本小题满分13分）
解：（I ）证明：取PD 的中点G ，连结EG ，GC ，则AD EG 2
1
//……………（1分）
F 为BC 的中点, ∴BC FC 2
1
=
, 底面ABCD 为菱形，∴CF EG //,…（2分）
∴四边形EGCF 为平行四边形，∴GC EF //. ……………………（3
分）
⊄EF 平面PCD , ⊂GC 平面PCD ，∴//EF 平面PCD .………………（4分）
（II ）⊥PO 平面ABCD ，且BD AC ⊥，则以O 为坐标原点可建立如图空间直
角坐标系xyz O -，…（5分）
︒=∠60BAD ,2=AB ，四边形ABCD 为菱形.∴ABD ∆为等边三角形，
3
=∴OA ,
1
=OB ，则
)0,0,3(A ,)0,1,0(B ,)0,0,3(-C ,)0,1,0(-D ,)3,0,0(P .
)3,1,0(,)0,1,3(--=--=∴PD AD . ……………………（6分）
设平面PAD 的法向
量),,
(1z y x n =， 110,0n AD n PD ⋅=⋅=，则
0,0,
y y
⎧-=⎪⎨-=⎪⎩
令3=y ，则1,1-=-=z x ，∴1(1-=n 7分） PO ABCD ⊥平面.
)0,1,.…………………(8分）
12
1n n n n ⋅=⋅⋅PA D -为锐角
9分）
（III ）设M 为, 则存在实数λ使得(0B M B C λλ=≤∴⎧
10分） )2
3,0,23(E , ∴可得)23
,1,233(----=λλEM .
410
42+
+=λλ ,
321=⋅n EM .…………………………（11分） 直线ME 与平面PAD
5
524
1045322=
+
+⋅∴
λλ,
01282=-+∴λλ. 解得：41=
λ，或21
-（舍去）.
（12分）
BM 41=∴
.
21=
=，
所以线段BM 的长为2
1
. …………………………………………（13分）
18．（本小题满分13分）
解：（1）由212+++=n n n a a a 得数列{}n a 是等差数列，…………………
（1分）
设公差为d ,
由题意得：⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯+=+1002910109411d a d a 解得2,11==d a …………………………（3分）
所以1
22)1(1-=⨯-+=n n a n ………………………………………
（4分）
（4）)
12()1()2
1(1--+⋅=-n n b n
n n ………………………………………
（5分）
设数列⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧⋅-1)2
1(n n 的前n 项和为n H ，设数列{
}
)12()1(--n n
的前n 和为n C
n n n n n n n H n H 2
121)1(2122112121213212211121
210⨯+-++⨯+⨯=⨯++⨯+⨯+⨯
=-- …………………………………（6分）
得n n n n H 212121212121120⨯-++++=- n n n n n 222212
11211+-=⨯---
=， 122
4-+-
=∴n n n H ……………………………………………………
（8分）
当n 为偶数时n n
n C n =⨯=
-+++-+-=22
)12(7531 ………（10分）
当n 为奇数时n n n n C n -=--⨯-=
--++-+-=)12(22
1
)12(7531 （12分）
所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧++--++-=--是奇数是偶数，n n n n n n T n n n ,42242
2
11 .
………………………………………
（13分）
B 点纵坐标为
1
2， ………………（1分）
得01)2x B =可得. ………………
•3,(,0)3,OB OF c c ∴=
==∴=（())
,F F ∴12
,由椭圆定义得:24,a = ∴2,a =……………………………………………………………………（4分）
∴22224,431,a b a c ==-=-=………………………………………………（5
分）
∴椭圆的方程为21x y +=2
4
.……………………………………………………（6
分）
（II ）设直线AM 的方程为111=(+2)(0),(,)y k x k M x y ≠
由2=(+2)4
12
,1y k x x y ⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222211114161640,k x k x k +++-= ()2
222111164(14)(164)160k k k ∆=-+-=>恒成立.…………………………
（7分）
A 点的横坐标为-2，即A x =-2，由韦达定理得：
A 11221122
111628,,1414k k x x x k k -+=-∴=++代入直线AM 的方程得：1
1214=14k y k +， 211
22
11
2841414k k M k k -∴++(,).………………………………………………………（8分）
MN 为直径的圆过椭圆的左顶点A ， 1
1
,AN AM AN k k ∴⊥=-
.………………………………………………………（9分）
可设直线AN 的方程为1
1
(2)y x k =-
+,
同理：211
22
11
28444k k N k k --++(,)……………………………………………………（10分）
11
22111
2222
11122
11441445282841
144k k k k k k k k k k k --
++∴==-----
++………………………………………（11分）
又λ
=21k k ，211122
11554141k k k k k λ∴==-=---12k k ，55,2λ⎛
⎫∈-- ⎪⎝
⎭………（12
分）
22
112
15545,24123
k k k ∴-<-<-∴<<-…………………………………………
（13分）
解得：11k k << ∴直线AM 的斜率1k
的取值范围是1k <<（14分）
20．（本小题满分14分）
解：（I ）)(x f 定义域为),0(+∞
，x a x f 1)(++='1分）
当0≥a 时，0)(>'x f ，函数()f x 在)(
0,+∞上单调递增，
当1-≤a 时，0)(<'x f ，函数()f x 在)(
0,+∞上单调递减，……………（2
由0)(<'x f 得a
a x 21
+->………（3分） ),0(+∞上是增函数，当1-≤a 时，)(x f 在
0时，)(x f 在)21
,0(a
a +-
上是增函数，在4分）
（II ）（i ）x e x x h ln 1)(+=,定义域为),0(+∞，)1ln 1
(1)(--⋅='x x
e x h x
………（5分）
设1ln 1)(--=
x x x g ，01
1)(2<--='x
x x g
)(x g ∴在),0(+∞上是减函数，
又因为0)1(=g ，1=∴x 0)(=x g 是唯一的根. 当)1,0(∈x 时，0)(,0)(>'>x h x g ，当),1(+∞∈x 时，0)(,0)(<'<x h x g )(x h ∴在)1,0(上单调递增，),1(+∞单调递减. …………………………（6分） 当2
1
0,120≤
<≤<m m 即时，)(x h 在[]m m 2,上单调递增， m
e m m h x h 2max )
2ln(1)2()(+=
=
当1≥m 时，)(x h 在[]m m 2,上单调递减，m
e
m
m h x h ln 1)()(max +== 当
12
1
<<m 时，)(x h 在[]1,m 上单调递增，在[]m 2,1上单调递减，e
h x h 1
)1()(max ==（8分）
综上⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<≤<+=1,ln 1121,12
10,)
2ln(1)
(2max
m e m
m e m e m x f m m
. …………………………（9分）
)(ii 所证不等式221)()(-+<'⋅+e x h x x 等价于
21)ln 1(1
-+<--⋅+e x x x e
x x ，…（10分）
设01)(0,1)(>-='>∴--=x
x
e x x x e x φφ时，，)(x φ∴在),0(+∞上是增函数
0)0()(=>∴φφx ，即1+>x e x ，∴时，
0>x 11
0<+<x e x .
……（11分） 设x x u x x x x u ln 2)(,ln 1)(--='--=，),0(2
-∈e x 时，0)(>'x u ， 当),(2
+∞∈-e x 时，0)(<'x u 2
2
1)()(--+=≤∴e e u x u 所以
2
1)ln 1(1-+<--⋅+e x x x e
x x 成立, ………………………（13分） 即2
2
1)()(,0-+<'⋅+>∀e x h x x x 成立
. ………………………（14分）。