最新人教版高中数学必修1第三章《待定系数法》课堂探究

课堂探究
知能点一：确实函数解析式
利用待定系数法求函数解析式时，首先分清函数类型，然后设出函数表达式，若表达式不唯一时，则应根据条件合理选择，从而达到简化运算的目的，同时应注意挖掘题目中的隐含条件进行求解．
典型例题1如果f [f (x )]＝2x －1，求一次函数
f (x )的表达式．
由于f (x )是一次式，故可设为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的形式，然后只需将a ，b 确定下来即可．
解：∵f (x )为一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝a ·f (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b .
则由[][]22()2121()f f x x a ab b f f x a x ab b
⎧=-⎧=⎪⇔⎨⎨+=-=++⎩⎪⎩
解得
1a b ⎧=⎪⎨=⎪
⎩
或1a b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
∴()1f x +
()1f x
=+
本题解法是待定系数法，我们只要清楚所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，只要设法确定其系数即可求得结果．
1．反比例函数图象过点(－2，－3)，则一定经过( )．
A ．(2，－3)
B ．(3,2)
C ．(3，－2)
D ．(－3,2)
答案：B
解析：设反比例函数为k y x =
， ∴3,62k k -==-， ∴6y x
=，则一定经过(3,2)． 2．已知抛物线的对称轴是x ＝－1，它与x 轴交点间的距离等于4，它在y 轴上的截距是－6，则它的解析式为____________________．
答案：y ＝2x 2＋4x －6
解析：由条件知，抛物线与x 轴的两交点为(－3,0)和(1,0)，故设其解析式为y ＝a (x －1)(x ＋3)，令x ＝0得y ＝－3a ＝－6，
∴a ＝2，即y ＝2(x －1)(x ＋3)＝2x 2＋4x －6. 知能点二：待定系数法的综合应用
待定系数法的主要应用是求函数解析式或求某些参数的值，本部分内容常与其他内容结合在一起进行考查．因此，待定系数法的基础性较强，是很重要的一种方法．
典型例题2已知直线AB 过x 轴上的一点A (2,0)且与抛物线y ＝ax 2相交于B (1，－1)、C 两点．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)问抛物线上是否存在一点D ，使S △OAD ＝S △OBC ？若存在，求出D 点坐标；若不存在，请说明理由．
设出解析式，利用已知条件解出参数即可．
解：(1)设直线的解析式为y ＝kx ＋b ，
又∵直线过点A (2,0)，B (1，－1)，
∴201k b k b +=⎧⎨+=-⎩
解得k ＝1，b ＝－2. ∴直线的解析式为y ＝x －2.
又∵抛物线y ＝ax 2过点B (1，－1)，
∴a ＝－1.
∴抛物线的解析式为y ＝－x 2.
(2)直线与抛物线相交于B 、C 两点，故22y x y x =-⎧⎨=-⎩
解得B 、C 两点坐标为B (1，－1)，C (－2，－4)，
由图可知，S △OBC ＝S △OAC －S △OAB ＝11421222
⨯-⨯-⨯-⨯ ＝3.
假设抛物线上存在一点D ，使S △OAD ＝S △OBC ，
设D (m ，－m 2)， ∴22122
OAD S m m ∆=
⨯⨯=， ∴m 2＝3，
∴m m ==，即存在这样的点D (3，－3)或D (－3，－3)满足题意．
本题主要考查了利用待定系数法，根据条件列方程组求得待定系数的值，从而求出函数解析式．对于判定是否存在一点使得条件成立，可以先假设存在，并设出相应的点，然后根据条件列出方程，若方程有解，则存在相应的点，若方程无解，则不存在相应的点．
1．已知f (x )＝x 2，g (x )是一次函数，且是增函数，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，则g (x )＝________.
答案：2x －5
解析：设g (x )＝kx ＋b (k >0)．f [g (x )]＝f (kx ＋b )＝(kx ＋b )2＝k 2x 2＋2kbx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，比较系数得22422025k kb b ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩
解得k ＝2，b ＝－5.
∴g (x )＝2x －5.
2．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的表达式．
解：设所求的二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
∵f (0)＝1，
∴c ＝1，则y ＝ax 2＋bx ＋1.
又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，对任意x ∈R 成立，
∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)
＝2x .
即2ax ＋a ＋b ＝2x ，
由恒等式性质，得220a a b =⎧⎨+=⎩
∴11
a b =⎧⎨=-⎩ ∴所求二次函数f (x )的表达式为f (x )＝x 2－x ＋1.。