沪科版9上数学21.3二次函数观与一元二次方程

2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点 情况是( C )
A 无交点
B 只有一个交点
C 有一元 二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值 时就成了一元二次方程； ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时 就成了二次函数.
2．如图，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝1 的解是_x_＝__－__2_．
思考：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取
一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程， 由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关 系．那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二 次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系 呢？通过本节课的学习我们将能解决这个问题．
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知识模块一 一元二次方程与二次函数的关系
1．观察二次函数y＝x2＋3x＋2的图象，并回答下列问题． (1)函数图象与x轴有几个交点？ (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元 二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
解：(1)函数图象与x轴有两个交点． (2)从以上观察可以得出， 求函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点 坐标即是求当y＝0时，自变量x的值， 也就是求方程ax2＋bx＋c＝0的根．
解：画出函数 y=x²+2x-1 的图象（如下图），由图象 可知，方程有两个实数根，一个在-3与-2之间,另一个 在0与1之间.
y
0
x
先求位于-3到-2之间的根，由图象可估计这个 根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表：
x
…
-2.5 -2.4
…
y
…
0.25 -0.04
…
观察上表可以发现，当x分别取-2.5和-2.4时，对应的y 由负变正，可见在-2.5和-2.4之间肯定有一个x使y=0， 即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时 取x=-2.5和x=-2.4都符合要求.但当x=-2.4时更为接近0. 故x1≈-2.4.
检测反馈
1．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则 代数式m2－m＋2015的值为( D )
A．2013 B．2014 C．2015 D．2016
2．如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两实根为－3及－5， 则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴是_直__线__x_＝__－__4_．
同理可得另一近似值为x2≈0.4.
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范例 二次函数y＝x2－x－6，根据图象回答下列问题：
(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么； (2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2－x－6＝ 0有什么关系． 解：(1)图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)；
与y轴的交点坐标为(0，－6)． (2)当x＝－2或x＝3时，y＝0.这里x的取值与方程x2－x －6＝0的解相同．
由上述过程我们知道可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根， 由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般都是近似的．
仿例 用图象法求一元二次方程x2＋2x－1＝0的近似解．
解：设y＝x2＋2x－1.画出抛物线y＝x2＋2x－1的图象如图所示． 由图象知，当x≈0.4或x≈－2.4时，y＝0.即方程x2＋2x－1＝0的近 似解为x1≈0.4，x2≈－2.4.
仿例 二次函数y＝x2－6x＋n的部分图象如图所示，若关于x 的一元二次方程x2－6x＋n＝0的一个解为x1＝1，则另一个解 x2＝____5___．
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知识模块二 利用二次函数图象解一元二次方程
例：求一元二次方程 x2 2x 1 0 的根的近似值（精
确到0.1）.
分析：一元二次方程 x²+2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²+2x-1 与x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从 图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法 叫作图象法.
3．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所 示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为 ___x_1＝__－__1_，__x_2_＝__3___．
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
21.3二次函数与一元二次方程
学习目标
【学习目标】 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程 的根的个数之间的关系，经历类比、观察、发现、 归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学 思想和数形结合的数学思想． 【学习重点】 二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．
情景导入
旧知回顾：
1．一次函数y＝kx＋b的图象经过(0，3)、(4，0)，则方程kx ＋b＝0的解是___x_＝__4___．
二次函数 与一元二 次方程
二次函数与 一元二次方 程根的情况
二次函数 与x轴的 交点个数
判别式 Δ 的符号
一元二次方程 根的情况
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归纳 二次函数与一元二次方程的关系：
二次函数y＝ax2＋bx＋c
b2－4ac＞0 与x轴有两个交点
b2－4ac＝0 与x轴有一个交点
b2－4ac＜0
与x轴没有交点
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根
无实数根
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范例
若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1＝1，x2＝2， 则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为_(1_，__0_)_(_2_，__0_)．