江苏省东海高级中学高三数学高考前适应性训练

江苏省东海高级中学2008年高三数学高考前适应性训练（5、31）
必做题部分
（时间120分钟，满分160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡的相应位置．．．．．．．．
上． 1、若集合{(,)|2,}A x y y x x R ==+∈,集合{(,)|2,}x B x y y x R ==∈,则A B 的子集个数是 ▲__.
2、某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表：
的累积频率是 ▲ ．3、锐角△ABC 中，若A =2B ，则
a
b
的取值范围是 ▲ ． 4、下图是用二分法求方程237x
x +=在（１，２）内近似解的程序框图，要求解的精确度为0.01，则框图中(1)处应填 ▲ (2)处应填 ▲ ．
5、设,a b 是非零向量，则函数()()()f x x x =+-是偶函数a b a b 的充要条件是 ▲ ．
6、已知两圆03:112
2
1=-+++y E x D y x C 和03:222
2
2=-+++y E x D y x C 都经过点()1,2-A ，则同时经过
点()()2211,,,E D E D 的直线方程为 ▲ .
7、设
D ，
E ∈{2,1,0,1,2}--，则方程2
2
10x y Dx Ey ++++=表示圆心到两坐标轴距离相等的圆的概率为 ▲ ． 8、函数)(x f 由下表定义：
若1222,5,(),n n a a a f a n N +===∈，则2008的值是 ▲ .
9、已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)
0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意121212()()
,f x f x x x x x -≠-都有0<成立，则a 的
取值范围是_______▲_______
10、ω是正实数，设{|()S f x ωθ==cos[()]x ωθ+是奇函数}，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 ▲ . 11、问题：过点()1,2M 作一斜率为1的直线交抛物线()022>=p px y 于不同的两点B A ,，且点M 为
AB 的中点,求p 的值．请阅读某同学的问题解答过程：
解：设()()221
1,,,y x B y x A ，则22
21212,2px y px y ==,两式相减，
得()()()2121212x x p y y y y -=+-.又12
12
1=--=
x x y y k AB ，221=+y y ,因此1=p .
并给出当点M 的坐标改为()()0,2>m m 时,你认为正确的结论： ▲ .
12、设函数()f x 是定义在R 上的以5为周期的奇函数， 若23
(2)1,(3)3
a a f f a ++>=-，则实数a 的
取知范围是 ▲ .
13、函数)(x f y =在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当
(,1),(1)()0,x x f x '∈-∞-<时(0),a f =设)3(),2
1
(f c f b ==，则,,a b c 大
小关系是 ▲ .
14、如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径，则BP CQ AP CB ⋅-⋅的值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字 说明，证明步骤或演算步骤．
15、(本小题满分14分)已知O 为坐标原点，向量12,OZ OZ 分别对应的复数1,2z z ，且
23(10),5a i a +-+122
(25)()1z z a i a R a
==+-∈-，若12z z +是实数. （1） 求实数a 的值；
（2）求以12,OZ OZ 为邻边的平行四边形的面积.
D
C 1
B 1
A 1
C
B
A
16（本小题满分14分）、如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由 B 沿棱柱侧面经过棱C C 1到点A 1
的最短路线长为设这条最短路线与CC 1的交 点为D ．
（1）求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积；
（2）在平面A 1BD 内是否存在过点D 的直线与平面ABC 平行？证明你的判断； （3）证明：平面A 1BD ⊥平面A 1ABB 1．
17（本小题满分15分）、已知椭圆方程是
2
2
22
1(0)x y
a b a b +=>>，12,F F 是它的左、右焦点，P 是椭圆上任一点．若12PF PF ⋅的取值范围是[2,3]．
（1）求椭圆的方程．
（2）设椭圆的左右顶点为A ，B ，l 是椭圆的右准线，P 是椭圆上任意一点，P A 、PB 分别交准线l 于M ，N 两点，求12MF NF ⋅的值．
18（本小题满分15分）、如图所示，一条直角走廊宽为a 米。

现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为b )0(a b <<米。

⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠θ=CAB ，试求平板面的长l . ⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?
19（本小题满分16分）、设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点。

（Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）设220,()(1)x a g x a a e +>=-++，问是否存在12,[2,2]αα∈-，使得12|()()|1f g αα-≤成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.
20、（本小题满分16分）、设数列{}n x 的所有项都是不等于1的正数，前n 项和为n S ，已知点n P (),n n x S 在直线y kx b =+上，（其中，常数k≠0，且k≠1），又0.5log n n y x =. （1）求证：数列{}n x 是等比数列； （2）如果183n y n =-，求实数k ，b 的值；
（3）如果存在,,t s N s t *∈≠，使得点(),s t y 和(),t s y 都在直线21y x =+上，试判断，是否存在自然数M ，当n M >时，1n x >恒成立？若存在，求出M 的最小值，若不存在，请说明理由．
B
（第1题）
江苏省东海高级中学2008年高三数学高考前适应性训练
（附加题部分）
一、选做题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每
小题10分，共20分．
1．（选修4—1：几何证明选讲）、如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．求证：AB ·CD ＝BC ·DE ．
2．（选修4—2：矩阵与变换）、若曲线C ：22421x xy y ++=在矩阵11a M b ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
的作用下变成曲线/C ：2221x y -=。

（1）求,a b 的值；（2）求M 的逆矩阵1
M -
3．（选修4—4：坐标系与参数方程）、在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使12OM OP ⋅=。

（1）求点P 的轨迹方程；（2）设R 为l 上任意一点，试求RP 的最小值。

4．（选修4—5：不等式选讲）、已知,,,a b x y R +∈且11a b >，x y >。

求证：x y x a y b
>++
二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共
20分．
5、在二项式n
的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式的常数项。

6、有10张形状、大小相同的卡片，其中2张上写着数字O ，另外5张上写着数字1，余下3张上写着数字2。

从中随机地取出1张，记下它的数字后放回原处．．．．。

当这种方法重复进行2次时，ξ为所记下的两个数之和。

(1)求ξ=2时的概率；(2)求ξ的数学期望；
O B 2
D
C 1
B 1
A 1
C
B A
答 案
一、填空题
1、4；
2、0.53； 3
、； 4、
（1）()()0f a f m <，(2)||0.01a b -<或()0f m =； 5、a b =； 6、022=+-y x ； 7、4
25； 8、1； 9、⎥⎦
⎤ ⎝⎛41,0； 10、2πωπ<≤；
11、(04)p m m =<<； 12、(,2)
(0,3)-∞-； 13、b a c <<； 14、1.
二、解答题
15、解：（1）∵22123232
(10)(25)()(215)5151z z a i a i a a i a a a a
+=
--++-=+++-+-+-是实数，∴22150a a +-=。

∴3,5a a ==-（舍）。

故a=3。

……………………5分
（2）由（1）知，123
,128
z i z i =+=-+，∴123(,1),(1,1)8OZ OZ ==-，…………7分
∴1273,2OZ OZ ==
，121212
31
cos ,73OZ
OZ OZ OZ OZ OZ -+⋅<>===。

∴12sin ,1OZ OZ <>==，…………………………………………11分
∴1212sin
,S OZ OZ OZ OZ =<>118
=。

…………13分 ∴平行四边形的面积为11
8。

…………………………………………14分
16、解：(1)如图，将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点B 运动到点B 2的位置，连接A 1B 2，则A 1B 2就是由点B 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点A 1的最短路线。

-------2分 设棱柱的棱长为a ，则B 2C=AC=AA 1＝a , ∵CD∥AA 1 ∴D 为CC
1的中点，
在Rt △A 1AB 2中，由勾股定理得222
1212A A AB A B +=，
即2224a a += 解得2a =
，----4分 ∵2
2ABC S ∆=
=1111ABC A B C ABC V S AA -∆=⋅=分
(2)设A 1B 与AB 1的交点为O,连结BB 2,OD ，则2//OD BB ∵2BB ⊂平面ABC ，OD ⊄平面ABC
∴//OD 平面ABC ，即在平面A 1BD 内存在过点D 的直线与平面ABC 平行---------10分
（其他解法请参照给分） (3)连结AD,B 1D ∵11Rt AC D ∆≌Rt BCD ∆≌Rt ACD ∆ ∴11A D BD B D AD === ∴11,OD A B OD AB ⊥⊥ ∵11A B
AB O = ∴OD ⊥平面A 1ABB 1
又∵OD ⊂平面A 1BD ∴平面A 1BD ⊥平面
A 1AB
B 1---------------------------------------14分
17、解：（1）设1(,0),(,0)F c F c -，00(,)P x y ，则
22212000000(,)(,)PF PF c x y c x y x y c ⋅=---⋅--=+-，………………………………3分
而2200x y +为椭圆上点P 到椭圆中心O 的距离，则222
200b x y a +≤≤．
∴2222222200b c x y c a c b +--=-≤≤，即23b =，222b c -=，故21c =，2
4a =．
∴所求的椭圆方程为22
143
x y +=．…………………………………………7分 （2）由（1）知(2,0),(2,0)A B -，准线l ：x ＝4．12(4,),(4,)M y N y
由题意，A ，P ，M 共线，故AP AM λ=，即010(2)6x y y +=，…………10分
同理，BP BN λ=，即020(2)2x y y -=． ∴22
0120
(4)12x y y y -=，…………12分 ∵00(,)P x y 在椭圆上，则2
2
003(4)4
y x =
-，代入上式得129y y =-． ∴121212(5,)(3,)151596MF NF y y y y ⋅=--⋅--=+=-=．…………15分 注：本题（2）可推广到一般情况．
18、解：(1)如图，延长A 1B 1交直角走廊于D 、E ，设∠CDE 1＝θ，
则∠B 1A 1E 1＝θ，θ∈(0，π
2
)．
∵ AB ＝A 1B 1＝DE －DA 1－EB 1，
而 DE ＝ a (1sin θ＋1
cos θ)，DA 1＝bcot θ，EB 1＝btan θ，
∴l ＝a (1sin θ＋1
cos θ
)―bcot θ―btan θ
＝
(sin cos )sin cos a b
θθθθ
+-.…………7分
（2）令sin θ＋cos θ＝t ，则t ∈(1，2]．
令 2
222222()11
1at b a a b
f t t t t --=
=++--， 显然，函数f (t )在(1，2]上是减函数，所以当t ＝2，即θ＝π
4
时，
l min ＝f(t )min ＝b a 222-．
故平板车的长度不能超过b a 222-米．……………………15分
19、解：（I ）x
e b a x a x x
f ])2([)(2++++=' …………2分 由a b f -=='得,0)0( …………4分
2
,,)(02
,0,0)()2(])2([)()()(212122-≠≠=--==='++=++='-+=∴a x x x f x a x x x f e a x x e x a x x f e a ax x x f x x x
即故极值点是由于得令
当)(,,221x f x x a 故时<-<的单调增区间是),2[]0,(+∞---∞a 和，单调减区间是
B
]2,0[--a
…………6分 当)(,,221x f x x a 故时>->的单调增区间是),0[]2,(+∞---∞和a ，单调减区间是 ]0,2,[--a
…………8分 （II ）当]2,0[,]0,2[)(,22,0在上单调递减在时--<-->x f a a 上单调递增，因此 ])4(,[)}]2(},2max{),0([]2,2[)(2e a a f f f x f +-=--上的值域为在
…………10分
]2,2[]4
3
)21[()1()(2222-+--=+--=++在而x x e a e a a x g 上单调递减，
所以值域是)]1(,)]1([242+--+--a a e a a …………12分
因为在0)1()1()()(,]2,2[22max min ≥-=+-+-=--a a a a x g x f 上
…………14分
所以，a 只须满足⎩⎨
⎧≤+-+->1
)1(0
2
a a a a
解得20≤<a
即当(0,2],a α∈1时存在、2[2,2]α∈-使得12|()()|1f g αα-≤成立.
…………16分
20、解：（1）
点n P ，1n P +都以直线y kx b =+上，
11n n
n n
S S k x x ++-∴
=-，得()11n n k x kx +-=。

常数0k ≠，且1k ≠，11
n n x k
x k +∴=-（非零常数）
∴数列{}n x 是等比数列。

……… 3分
（2）由0.5log n n y x =，得65118882n
y n n n x ---⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，
81k k ∴=-，得87k =。

由P 民在直线上，得n n S kx b =+，
令1n =得5111818777
b S x x -=-=-=-。

………6分
（3）1n x >恒成立等价于0n y <，
存在,t s N ∈，使得(),s t y 和(),t s y 都在21y x =+上，
∴21s y t =+，（1） 21t y s =+，（2）
()()12-得：()2s t y y t s -=-，
易证{}n y 是等差数列，设其公差为d ，则有()s t y y s t d -=-，
s t ≠，20d ∴=-<，
()()12+得：()22s t y y t s +=++，
又()()()()()1111212224s t y y y s y t y s t +=+--++--=-++ 由()()122422y s t t s -++=++， 得()1210y t s =+->， 即：数列{}n y 是首项为正，公差为负的等差数列，
………12分
∴一定存在一个最小自然数M ，使 100M M y y +≥⎧⎨
<⎩， 即()()()()()21120
2120
t s M t s M +-+--≥⎧⎪⎨+-+-<⎪⎩
解得11
22
t s M t s +-
<≤++。

M N ∈，M t s ∴=+。

即存在自然数M ，其最小值为t s +，使得当n M >时，1n x >恒成立。

……………16分
附加题答案
1、证明：因为A ，M ，D ，N 四点共圆，
所以AC CD MC CN ⋅=⋅．
同理，有BC CE MC CN ⋅=⋅． 5
分
所以AC CD BC CE ⋅=⋅，
即()()AB BC CD BC CD CE +⋅=⋅+，所以 AB ·CD ＝BC ·DE ． 10分
2、解：（1）2, b=0a =
5分
（2）1
1201M --⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
10分
3、解：（1）设(),P ρθ，4
cos OM θ
=，3cos ρθ= 5分
（2）min 1RP =
10分
4、本题三种方法：作差比较；分析法；或构造函数()x
f x x a
=
+皆可。

5、解：利用前三项系数的绝对值成等差数列得8n = 5分
常数项535
8
T =
10分 6、解：（1）()5522337
21010100
P ξ⨯+⨯⨯==
=⨯ 5分
（2） 2.2E ξ= 10分。