独立重复试验与二项分布 课件

因为P(A1)＝140＝25，P(A2)＝150＝12，
所以P＝15，
P(B2)＝P(A1－A 2＋－A 1A2)＝P(A1－A 2)＋P(－A 1A2) ＝P(A1)P(－A 2)＋P(－A 1)P(A2) ＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2) ＝25×1－12＋1－25×12＝12. 故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝15＋12＝170. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验， 由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，
解：至少有一个连续 2 天预报都准确，即为恰有一个连续 2 天预报都准确或 3 天预报都准确，概率为 2×0.82×0.2＋0.83＝ 0.768.所以至少有一个连续 2 天预报都准确的概率为 0.768.
求二项分布的分布列 [例2] (湖南高考节选)某商场举行有奖促销活动，顾客 购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红 球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随 机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等 奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率； (2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一 等奖的次数为X，求X的分布列．
问题 3：用 Bk 表示投中 k 次这件事，试求 P(B2)和 P(B3)． 提示：P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83. 问题 4：由以上结果你能得出什么结论？ 提示：P(Bk)＝Ck30.8k0.23－k，k＝0,1,2,3.
[导入新知]
二项分布 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次 数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(X＝k)＝ _C_kn_p_k_(1_－__p_)_n_－_k (k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量 X 服 从二项分布，记作 X～B(n，p) ，并称 p 为 成功概率 ．
[化解疑难] 对独立重复试验概念的理解 (1)每次试验都是在相同的条件下进行； (2)每次试验的结果相互独立； (3)每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么 不发生)，并且在任何一次试验中事件发生的概率均相等； (4)独立重复试验是相互独立事件的特例.
[提出问题]
二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮 3 次，每次投 篮的命中率都是 0.8.用 Ai(i＝1,2,3)表示第 i 次投篮命中这件事， 用 B1 表示仅投中 1 次这件事．
[化解疑难] 二项分布的理解 (1)若 X～B(n，p)，则 X 必须是 n 次独立重复试验 中事件 A 发生的次数，且 p 为成功概率(即事件 A 发生 的概率)． (2)由于 P(X＝k)恰好是[p＋(1－p)]n 的展开式中的第 k＋1 项，与二项式定理有关，所以称随机变量 X 的概率 分布为二项分布．
[典例] 某气象台预报每天天气的准确率为 0.8，则在未来 3 天中，至少有 2 天预报准确的概率是________．
[解析] 至少有 2 天预报准确，即为恰有 2 天或恰有 3 天 预报准确概率为 C23×0.82×0.2＋C33×0.83＝0.896.
所以至少有 2 天预报准确的概率为 0.896. [答案] 0.896
[解] (1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，
B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二 等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．
由题意知A1与A2相互独立，A1－A 2与
－ A
1A2互斥，B1与B2
互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1－A 2＋－A 1A2，C＝B1＋B2.
(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率为
P(X＝2)＝C25×(1－0.5)2×0.53＝156.
(2)“至少有两家煤矿必须整改”的对立事件为“5 家都不
用整改或只有一家必须整改”，其概率为
P(X
＝
0)
＋
P(X
＝
1)
＝
C
0 5
×(1
－
0.5)0×0.55
＋
C
1 5
×(1
－
0.5)1×0.54＝136，所以至少有两家煤矿必须整改的概率为 1－
求有关二项分布的概率
[例 1] 某安全监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查 (简称安检)，若安检不合格，则必须整改．设每家煤矿安检 是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率 都是 0.5.计算：
(1)恰有两家煤矿必须整改的概率； (2)至少有两家煤矿必须整改的概率．
[解] 设需整改的煤矿有 X 家，则 X～B(5，0.5)．
所以X～B3，15. 于是P(X＝0)＝C03150453＝16245，
P(X＝1)＝C13151452＝14285，
P(X＝2)＝C23152451＝11225，P(X＝3)＝C33153450＝1125. 故X的分布列为
X0 1
2
3
P
64 125
48 125
12 125
1 125
[类题通法] 解此类问题，一定要掌握如何建模，这一点至关重要， 利用二项分布求解时，注意 n 是独立重复试验的次数，p 是每次试验中某事件发生的概率．
独立重复试验 [提出问题] 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币 试验． 问题 1：每次试验的前提是什么？ 提示：条件相同． 问题 2：试验结果有哪些？ 提示：正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生．
问题 3：各次试验的结果有无影响？ 提示：无，即各次试验相互独立．
[导入新知] 独立重复试验 在相同条件下 重复 做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
P(X＝0)－P(X＝1)＝1－136＝1136.
[类题通法] 1．二项分布的简单应用是求 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率．解题的一般思路是：根据题意设 出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数 n，p→写出二项分布的分布列→将 k 值代入求解概率． 2．二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题 的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般 转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件 求概率．
[易错防范] 1．求解时对“至少有 2 天”的含义理解出错，误认为“恰 有 2 天”，实际是“恰有 2 天”和“有 3 天”两种情况． 2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发 生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都 不发生”“不都发生”等词语的意义．
[成功破障] 在本例条件下，至少有一个连续 2 天预报都准确的概率是多少？
问题 1：试用 Ai 表示 B1. 提示：B1＝(A1 A 2 A 3)∪( A 1A2 A 3)∪( A 1 A 2A3)． 问题 2：试求 P(B1)． 提示：因为 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8， 且 A1 A 2 A 3， A 1A2 A 3， A 1 A 2A3 两两互斥，
故 P(B1)＝P(A1 A 2 A 3)＋P( A 1A2 A 3)＋P( A 1 A 2A3) ＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22.