斯坦纳-莱默斯定理

在△ABC 中，BE ，CF 分别是B ∠，C ∠的角平分线，且=BE CF ，求证：AB AC =. 证法一：设AB AC >，则ACB ABC ∠>∠.
BE ，CF 分别是B ∠，C ∠的角平分线，BCF CBE ∴∠>∠.
在△B C F 和△C B E 中，B C C B =，=BE CF ，
900BCF CBE >∠>∠> ，
利用余弦定理 222=2c o s B F B C C F B C C F B C F +
-⋅⋅∠， 222
2cos CE BC BE BC BE CBE =+-⋅⋅∠， BF CE ∴>.（1）
过点F 作//FG BE ，连接GE ，GC ，则四边形BEGF 为平行四边形.EBF FGE ∴∠=∠，=FG BE CF =，从而△CFG 为等腰三角形.
FCG FGC ∴∠=∠.
FCE EBF EGF ∠>∠=∠ ，ECG EGC ∴∠<∠，
GE CE ∴<，即BF CE <，与（1）矛盾.
若AB AC <，同理可知矛盾.
因此 AB AC =.
证法二：作BEM FCB ∠=∠，并取EM CB =，使点M ，C 分居于直线BE 的两侧， 连接CM .
在△BEM 与△FCB 中，,,,BE FC BEM FCB ME BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BEM //△FCB .
MBE BFC ∴∠=∠，BM FB =.
连接MC ，设2ABC β∠=，2ACB γ∠=，则
()()1802180MBC MBE BFC βββγββγ∠=∠+=∠+=--+=-+ ，
()()1802180CEM CEB BEM βγγβγ∠=∠+∠=--+=-+ ，
G F E C B A M F E
C
B A
22180βγ+< ，90βγ∴+< .
()18090MBC CEM βγ∴∠=∠=-+> .
在钝角△MBC ，△CEM 中，BC EM =，CM MC =，MBC CEM ∠=∠， ∴△MBC //△CEM ，∴BM EC FB ∴==.
∴△BFC //△CEB ，FBC ECB ∴∠=∠.AB AC ∴=.
证法三：设BC a =，AC b =，AB c =，由角平分线定理知AE AB EC BC =，即A C E C A B E C B C -=，b EC c EC a -=，得ab EC a c
=+（1）， 又222222cos 22CB CA AB a b c C CB CA ab +-+-∠== cos BCE =∠222
2CB CE BE CB CE
+-= 222
2a CE BE a CE +-= ，将（1）代入上式，化简得()()
2222ac a c ab c BE a c +-=+（2）. 同理可知，利用角平分线定理AF CA FB CB =，得ac FB a b
=+（3）， 利用余弦定理cos cos B CBF ∠=∠，得222222
22c a b BF a FC ca a BF
+-+-= ，将（3）代入上式得()()
2
222ab a b abc FC a b +-=+（4）. BE CF = ，∴由（3）（4）得 ()()()
(){}222220b c a a b a c abc a b c bc ac ⎡⎤-+++++++=⎣⎦， b c ∴=.证毕.。