第九讲一元二次不等式及其解法

第九讲 一元二次不等式及其解法
基础梳理
1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)．
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象
一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根
x 1＝x 2＝－b
2a
没有实数根
ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)
的解集
{x |x ＞x 2或x ＜x 1} ⎩
⎨⎧
⎭⎬⎫x |x ≠－b 2a
R ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)
的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}
∅
∅
一个技巧
一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集的确定受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2，(x 1＜x 2)(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．
两个防范
(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；
(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 双基自测
1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为 ．
2．不等式2x 2－x －1＞0的解集是 ．
3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是 ．
4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝ ．
5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________．
考向一 一元二次不等式的解法
【例1】►已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，
解不等式f (x )＞3.
解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)
若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．
【训练1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．
考向二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．
解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.
考向三 不等式恒成立问题
【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．
不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c
＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞0，
Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a
＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＜0，
Δ＜0.
【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取
值范围．
考向四 求解含参数不等式的恒成立问题 【例4】►设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R . (1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；
(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0,3e]，恒有f (x )≤4e 2成立． 注：e 为自然对数的底数．
本题考查函数极值的概念，导数的运算法则，导数的应用，不等式的基础知识，
考查学生推理论证能力．分析问题，解决问题的能力．难度较大，做好此类题目，一要有信心，二要结合题意进行恰当地转化，化难为易，化陌生为熟悉．
【试一试】 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，求实数a 的值．
基础检测
1．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋1，x ≥0，
1， x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．
2．若存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b ＜0成立，则b 的取值范围是________．
3．若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．
4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．
5．若关于x 的不等式4x －2x ＋
1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．
6．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.
(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
第2讲一元二次不等式及其解法
【2013年高考会这样考】
1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．
2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题．
3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．
【复习指导】
1．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．
2．熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不等式和对数不等式的解法．
基础梳理
1．一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)
的解集{x|x＞x2或x＜x1}
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
x|x≠－
b
2a
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)
的解集
{x|x1＜x＜x2}∅∅
一个技巧
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．
两个防范
(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；
(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)不等式x2－3x＋2＜0的解集为()．
解析∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2.故原不等式的解集为(1,2)．
2．(2011·广东)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． 解析 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，
∴x ＞1或x ＜－1
2
.
故原不等式的解集为⎝
⎛⎭⎫－∞，－1
2∪(1，＋∞)． 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )． 解析 ∵9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≥0，
∴9x 2＋6x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ＝－13.
4．(2012·许昌模拟)若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝
( )．
解析 ∵x ＝－2，1
4是方程ax 2
＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2a ＝(－2)×14＝－12，－b a ＝－7
4，
∴a ＝4，b ＝7.∴ab ＝28.
5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析 当a ＝0时，不等式为1≥0恒成立；
当a ≠0时，须⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ≤0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＞0，
4a 2－4a ≤0.
∴0＜a ≤1，综上0≤a ≤1.
考向一 一元二次不等式的解法 【例1】►已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x ，x ≥0，
－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.
[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组．
解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.
故原不等式的解集为{x |x ＞1}．
解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)
若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．
【训练1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．
解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧
2x 2＋x －3≥0，
3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.
∴1≤x ＜3.
故函数f (x )的定义域为[1,3)．
答案 [1,3)
考向二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】►求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．
[审题视点] 先求方程12x 2－ax ＝a 2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集． 解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，
得：x 1＝－a 4，x 2＝a
3
.
①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；
②a ＝0时，x 2
＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；
③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.
综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；
当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；
当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4.
解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.
解 由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0，即ax (ax －2)＜0， 当a ＝0时，x ∈∅.
当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x ⎝⎛⎭
⎫x －2
a ＜0， 即0＜x ＜2
a .
当a ＜0时，2
a
＜x ＜0.
综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪
0＜x ＜2a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
2a
＜x ＜0. 考向三 不等式恒成立问题
【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． [审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，有
⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＞0，
Δ＝b 2
－4ac ＜0.
解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，
从而有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＞0，Δ＝42－4(a ＋2)(a －1)＜0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞－2，(a －2)(a ＋3)＞0，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＞－2，
a ＜－3或a ＞2， 所以a ＞2.
故a 的取值范围是(2，＋∞)．
不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c
＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞0，
Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a
＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0，
Δ＜0.
【训练3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取
值范围．
解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立， 只需f (x )min ≥a ，
即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；
②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.
综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．
法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＞0，a ＜－1，
g (－1)≥0.
解得－3≤a ≤1.
所求a 的取值范围是[－3,1]．
规范解答12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题
【问题研究】 含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于新课标对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法主要有：分离参数法和函数性质法.
【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题.
【示例】►(本题满分14分)(2011·浙江)设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R . (1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；
(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0,3e]，恒有f (x )≤4e 2成立． 注：e 为自然对数的底数．
本题对于(1)问的解答要注意对于结果的检验，因为f ′(x 0)＝0，x 0不一定是极值
点；对于(2)问的解答可以采用分离参数求最值的方法进行突破，这样问题就转化为单边求最值，相对分类讨论求解要简单的多．
[解答示范] (1)求导得f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋(x －a )2x ＝(x －a )(2ln x ＋1－a
x
)．(2分)
因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以f ′(e)＝(e －a )⎝⎛⎭⎫3－a
e ＝0，解得a ＝e 或a ＝3e.经检验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.(4分)
(2)①当0＜x ≤1时，对于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立．(5分)
②当1＜x ≤3e 时，由题意，首先有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2，
解得3e －2e ln (3e )≤a ≤3e ＋2e
ln (3e )
(6分)
由(1)知f ′(x )＝x －a ⎝⎛⎭⎫2ln x ＋1－a
x .(8分) 令h (x )＝2ln x ＋1－a
x
，则h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，
且h (3e)＝2ln(3e)＋1－a
3e ≥2 ln(3e)＋1－3e ＋
2e
ln (3e )3e ＝2⎝
⎛⎭⎫ln 3e －13ln 3e ＞0.(9分)
又h (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，则1＜x 0＜3e,1＜x 0＜a .
从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增． 所以要使f (x )≤4e 2对x ∈(1,3e]恒成立，只要 ⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x 0)＝(x 0－a )2ln x 0≤4e 2，(1)f (3e )＝(3e －a )2ln (3e )≤4e 2，(2)成立．(11分) 由h (x 0)＝2ln x 0＋1－a
x 0＝0，知a ＝2x 0ln x 0＋x 0.(3)
将(3)代入(1)得4x 20ln 3x 0≤4e 2
.又x 0＞1，
注意到函数x 2ln 3x 在(1，＋∞)内单调递增，故1＜x 0≤e. 再由(3)以及函数2x ln x ＋x 在(1，＋∞)内单调递增，可得1＜a ≤3e.
由(2)解得，3e －2e ln (3e )≤a ≤3e ＋2e
ln (3e ).
所以3e －2e
ln (3e )
≤a ≤3e.(13分)
综上，a 的取值范围为3e －2e
ln (3e )
≤a ≤3e.(14分)．
本题考查函数极值的概念，导数的运算法则，导数的应用，不等式的基础知识，
考查学生推理论证能力．分析问题，解决问题的能力．难度较大，做好此类题目，一要有信心，二要结合题意进行恰当地转化，化难为易，化陌生为熟悉．
【试一试】 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，求实数a 的值．
[尝试解答] (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1＞0恒成立．
(2)若x ＞0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1
x
3，则g ′(x )
＝3(1－2x )x 4
，
∴g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减．∴g (x )max ＝g ⎝⎛⎭
⎫1
2＝4，从而a ≥4. (3)若x ＜0，即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1
x
3.
设h (x )＝3x 2－1
x 3，则h ′(x )＝3(1－2x )x 4
，
∴h (x )在[－1,0)上单调递增． ∴h (x )min ＝h (－1)＝4，从而a ≤4. 综上所述，实数a 的值为4.
基础检测
1．(2014·苏州模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋1，x ≥0，
1， x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的
取值范围是________．
解析：由条件得⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2＞2x ，
1－x 2＞0，解得－1＜x ＜－1＋ 2.答案：()－1，－1＋2
2．(2014·南通期末)若存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b ＜0成立，则b 的取值范围是
________．
解析：本题是存在性命题，只要满足Δ＝16b 2－12b ＞0即可，解得b ＜0或b ＞3
4
.
3．(2013·南京、淮安二模)若关于x 的不等式(2ax －1)·ln x ≥0 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的值为________．
解析：若x ＝1，则原不等式恒成立，此时a ∈R ；若x ＞1，则ln x ＞0，于是2ax －1≥0，即a ≥⎝⎛⎭⎫12x max ，所以a ≥12；若0＜x ＜1，则ln x ＜0，于是2ax －1≤0，即a ≤⎝⎛⎭⎫12x min ，所以a ≤12
.综上所述，a ＝1
2
.
4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．
解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.
5．若关于x 的不等式4x －2x ＋
1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． ．解析：∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．
令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1. ∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.
由二次函数的性质可知：当2x ＝2， 即x ＝1时，y 取得最小值0，
∴实数a 的取值范围为(－∞，0]． 6．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.
(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，
若m ＝0，显然－1<0；
若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧
m <0，
Δ＝m 2
＋4m <0
⇒－4<m <0.
所以－4<m ≤0.
(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：
法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋3
4m －6， x ∈[1,3]．
当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，
所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，
所以m <67，则0<m <67
； 当m ＝0时，－6<0恒成立；
当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，
所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，
所以m <6，所以m <0.
综上所述：m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪
m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34
>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，
所以m <6x 2－x ＋1
. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34
在[1,3]上的最小值为67， 所以只需m <67
即可． 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪
⎪
m <67. 第Ⅱ组：重点选做题
1．(2014·连云港模拟)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a ＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．
4．(2014·泰州质检)设实数a ≥1，使得不等式x |x －a |＋32
≥a 对任意的实数x ∈[1,2]恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是________．
1．解析：由题意可得：Δ＝a 2－8a >0， 得a <0或a >8.
当a <0时，对称轴x 0＝a 2
<0，且f (0)＝2a <0. 故A 中两个整数只能为－1,0.
故f (－1)＝1＋3a <0，f (－2)＝4＋4a ≥0，得－1≤a <－13
. 当a >8时，x 0＝a 2
>4，设A ＝(m ，n )．由于集合A 中恰有两个整数n －m ≤3.即a 2－8a ≤3，
即a 2－8a ≤9.得8<a ≤9
故对称轴4<a 2
<5， 又f (2)＝4>0，f (3)＝9－a ≥0
故A 中的两个整数为4和5.
故f (4)<0，f (5)<0，f (6)≥0.
即⎩⎪⎨⎪⎧ 25－3a <016－2a <0
36－4a ≥0，解得253
<a ≤9. 综上a 的取值范围为
⎣⎡⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎦
⎤253，9. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎦
⎤253，9 4．解析：(1)当1≤a ≤32
时，显然符合题意． (2)当a ≥2时，原不等式可化为
x (a －x )≥a －32
. 取x ＝1，成立．
当x ∈(1,2]时，
a ≥x 2－32x －1＝x ＋1－12(x －1)
. 而函数f (x )＝x ＋1－12(x －1)
在(1,2]上单调递增，故a ≥f (2)＝52. (3)当32
＜a ＜2时，原不等式可化为 ①⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤a ，
x (a －x )≥a －32
或 ②⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤x ≤2，
x (x －a )≥a －32.
参照(2)的过程解不等式组①得
a ≥a ＋1－12(a －1)
， 解得1＜a ≤32
，矛盾，舍去； 由不等式组②得
a ≤x 2＋32x ＋1＝x －1＋52(x ＋1)
. 同上可得－1≤a ≤32
，矛盾，舍去． 综上所述，1≤a ≤32或a ≥52
. 答案：⎣⎡⎦⎤1，32∪⎣⎡⎭
⎫52，＋∞。