多个时滞混沌系统自适应有限时间同步控制

多个时滞混沌系统自适应有限时间同步控制
李善强;彭秀艳;李强
【摘要】针对多个时滞混沌系统,研究了其有限时间同步控制问题,所考虑的混沌系统具有不同的结构和时变状态时滞,通过设计适当的自适应更新律,用以在线更新控制器的增益,从而达到更快地收敛速度,并给出了自适应控制器设计方法.利用Lyapunov稳定性定理和有限时间稳定性理论,证明了所设计的自适应控制器和相应的控制增益自适应更新律,均能保证多个误差动态系统的状态在有限时间内达到同步,并给出了同步过渡时间的估计.最后,通过对3个典型的混沌系统,即Lorenz系统、Chen系统和Lü系统的算例仿真,进一步验证了所提自适应有限时间同步控制方法的可行性和有效性.
【期刊名称】《电机与控制学报》
【年(卷),期】2019(023)006
【总页数】7页(P112-118)
【关键词】混沌系统;时变时滞;有限时间同步;自适应控制
【作者】李善强;彭秀艳;李强
【作者单位】哈尔滨工程大学自动化学院,哈尔滨150001;哈尔滨理工大学理学院,哈尔滨150080;哈尔滨工程大学自动化学院,哈尔滨150001;哈尔滨理工大学理学院,哈尔滨150080
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5;O231.2
0 引言
混沌系统同步问题具有广阔的工程应用前景，例如物理、生物和信息科学以及混沌系统的同步在保密通信领域中起着重要作用[1-2]。

因此，近年来混沌系统的同步控制问题得到研究者的广泛关注。

最初，研究者只是研究两个混沌系统的同步控制问题，例如文献[3]研究了两个时变时滞混沌神经网络的有限时间同步控制问题。

随后，具有时变时滞和有界扰动的混沌系统的有限时间同步控制已在文献[4]中讨论。

文献[5-6]研究了混沌系统的自适应有限时间同步问题。

文献[7]研究了两个时滞混沌神经网络的间歇同步控制问题。

两个不同的具有时变时滞混沌系统的投影同步在文献[8]中被研究。

利用脉冲控制方法，文献[9]对混沌系统的延迟同步进行了分析。

而文献[10]针对带有执行器故障的不确定混沌系统，研究了鲁棒自适应容错同步问题。

对于两个混沌系统的同步，相对简单。

而且，很多文献都是假设两个混沌系统的结构完全相同，在不同初始条件下，使得驱动系统和响应系统达到同步。

对于多个时滞混沌系统的同步控制研究变得越来越复杂，且面临着更大的挑战。

文献[11-14]研究了多个混沌系统同步控制问题，但是这些文献均没有考虑系统的时变时滞现象。

因此，关于具有时变时滞的多个结构不同的混沌系统的有限时间同步控制是一个较复杂的研究问题，目前尚未见有关研究结果。

基于上述分析，本文研究了多个时滞混沌系统的有限时间同步控制问题。

文章的主要贡献如下：1)多个混沌系统具有不同的结构；2)给出了自适应控制器和自适应律的设计方法；3)引入投影比例因子，研究多个混沌系统的投影同步控制。

适当地选择投影因子，可知投影同步包括了通常的完全同步问题；4)给出了保证多个时滞混沌系统达到有限时间同步的充分条件。

1 问题描述
考虑如下N个结构不同的具有时变时滞的混沌系统：
(1)
其中：xj(t)∈Rn是第j个系统的状态向量；Aj∈Rn×n是系统矩阵；fj(xj(t))∈Rn 和gj(xj(t-τ(t))∈Rn是连续的向量值非线性函数；τ(t)是时变时滞；uj(t)∈Rn是第j个系统的控制输入向量；且系统满足fj(0)=0,gj(0)=0,fi(xi)≠fj(xj),gi(xi)≠gj(xj)对于i≠j，j=1,2,…,N。

本文考虑多个系统的投影同步问题，系统的误差状态定义为：
e1(t)=x2(t)-m1x1(t)，
e2(t)=x3(t)-m2x2(t)，…，
eN-1(t)=xN(t)-mN-1xN-1(t)。

其中：常数mj≠0,j=1,2,…,N-1表示投影比例因子。

注释1：投影同步更具有一般性，如果投影比例因子选为m1=m2=…=mN-1=1则投影同步变为常见的完全同步。

由误差状态的定义容易获得如下误差动态系统
g(x(t-τ(t))+u(t)]。

(2)
其中：
M2=Π⊗In，
符号“⊗”表示矩阵的Kronecker积。

下面给出多个混沌系统有限时间投影同步的定义。

定义1[4]：对于N个混沌系统(1)，如果存在时刻T>0使得
且‖ej(t)‖=0,t>T,j=1,…,N-1成立，则称系统(1)是有限时间投影同步的。

引理1[15]: 假设V(t)是连续的正定函数，且满足以下不等式
∀t>t0,V(t0)≥0。

其中:ω>0,q∈(0,1)为常数，则对于任意给定的t0，V(t)满足以下不等式
V1-q(t)≤V1-q(t0)-ω(1-q)(t-t0),t0≤t≤t1。

并且
V(t)≡0,∀t≥t1。

其中过渡时间为
引理2[16]:如果a1,a2,…,an,r,p为实数且0<r<p，则有如下不等式成立
假设1：存在正常数lj,sj(j=1,…,N)使得：
‖gj(u)-gj(v)‖≤lj‖u-v‖,
‖fj(u)-fj(v)‖≤sj‖u-v‖。

其中u,v∈Rn,u≠v。

假设2：混沌系统(1)的状态有界，即‖xj(t)‖≤χj，χj为已知常数，j=1,…,N。

注释2：文中要求被控系统满足上述假设条件。

对于假设1为Lipschitz条件，它是非线性混沌系统控制较为常见的假设条件，在许多已有文献中均做了类似的假设。

一般的混沌系统均具有吸引环，即混沌系统的状态不能离开吸引环之外，所以本文假设2即假设混沌系统(1)的状态有界也是合理的。

2 主要结果
本文主要目的是设计自适应控制器用于实现多个混沌系统的有限时间投影同步。

由于M2是行满秩矩阵，则可逆，设计如下自适应控制器
⊗In]Ψ-
[Ω1⊗In]Φ-M1x(t)}。

(3)
其中:
K(t)=diag{k1(t),k2(t),…,kN-1(t)}，
Ω1=diag{ξ1,ξ2,…,ξN-1}，
ej(t)=[ej1(t),…,ejn(t)]Τ，
0<μ<1，ξj>0是任意的常数，j=1,…,N-1。

设计控制器增益的自适应律为
(4)
其中:ρj>0,αj>0,j=1,…,N-1。

将控制器(3)代入误差动态方程(2)可得
[K(t)⊗In]Ψ-[Ω1⊗In]Φ。

(5)
定理1：如果假设1和假设2成立，若参数满足
(6)
则自适应控制器(3)和自适应律(4)能够保证多个时滞混沌系统的有限时间投影同步，且同步过渡时间为
T*
(7)
其中：
证明：选择Lyapunov函数为
V(t)=V1(t)+V2(t)。

(8)
其中：
V(t)沿误差动态方程(5)的求导可得
eΤ(t)M2g(x(t-τ(t)))-
eΤ(t)[K(t)⊗In]Ψ-
eΤ(t)[Ω1⊗In]Φ=
mjfj(xj(t))]+
mjgj(xj(t-τ(t))]-
(9)
由假设1和假设2，可得
mjfj(xj(t))‖≤
|mj|‖fj(xj(t))‖]≤
|mj|sj‖xj(t)‖]≤
(10)
其中表示向量ej(t)的欧氏范数。

类似地，可得
(11)
将式(10)～式(11)代入式(9)可得
|mj|(sj+lj)χj]‖ej(t)‖-
(12)
再利用自适应律(4)则有
(13)
由式(12)和式(13)可得
|mj|(sj+lj)χj]‖ej(t)‖-
|mj|(sj+lj)χj]‖ej(t)‖-
(14)
其中表示向量ej(t)的1-范数。

由不等式‖ej(t)‖≤‖ej(t)‖1和参数满足条件(6)可得|mj|(sj+lj)χj]}‖ej(t)‖-
(15)
再由引理2则有
(16)
利用引理1，可得多个系统的误差动态系统(2)是有限时间稳定的，并且可求得同步过渡时间T*满足(7)。

3 仿真
本节给出算例仿真验证所得控制策略的有效性。

考虑如下3个典型的时滞混沌系统，它们分别是Lorenz系统、Chen系统和Lü系统：
(17)
(18)
(19)
根据定理1选择自适应控制(3)和自适应律(4)的参数为选择投影比例因子
m1=1,m2=1,m3=-1。

系统的初始条件分别为：
选择自适应控制器增益的初始条件为k1(0)=1,k2(0)=-2。

仿真结果显示在图1～图6中。

图1 Lorenz系统的开环状态轨迹Fig.1 Open-loop state trajectory of Lorenz system
图2 Chen系统的开环状态轨迹Fig.2 Open-loop state trajectory of Chen system
图3 Lü系统的开环状态轨迹Fig.3 Open-loop state trajectory of Lü system
图4 同步误差e11(t),e12(t),e13(t)的轨迹Fig.4 Trajectory of synchronization error e11(t),e12(t), e13(t)
图5 同步误差e21(t),e22(t),e23(t)的轨迹Fig.5 Trajectory of synchronization errore21(t),e22(t), e23(t)
图6. 控制增益k1(t),k2(t)的轨迹Fig.6 Trajectory of control gain k1(t),k2(t)
其中图1～图3分别为系统式(17)～式(19)的开环状态轨迹，从图中可见3个系统都具有混沌现象，并且这3个混沌系统的状态是在一个有界范围内运动变化的。

图4～图5显示了在自适应控制器(3)和自适应律(4)作用下闭环误差动态系统的轨迹，从图中可以看到3个系统在有限时间内达到同步，即误差在有限时间内达到零。

图6给出了自适应律ki(t),i=1,2的变化轨迹，从图中也能看出自适应控制器增益在有限时间内收敛到某些常数。

通过误差动态系统以及自适应律的运动轨迹可知所设计的自适应控制器对系统进行了有效地控制，并且取得了很好的控制效果。

4 结论
研究了多个不同的具有时变时滞的混沌系统的有限时间投影同步问题。

利用自适应控制的方法设计了有限时间同步自适应控制器。

根据Lyapunov稳定性定理和有限时间稳定理论证明了所提自适应控制器可以保证多个的混沌系统有限时间投影同步。

最后，通过算例仿真验证了自适应控制器的可行性和有效性。

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