储层岩石孔隙结构的分形研究

科苑・聚焦
储层岩石孔隙结构的分形研究Ξ
马新仿　张士诚　郎兆新
(石油大学石油天然气工程学院・北京102249)
摘　要　储层岩石的孔隙空间具有良好的分形特征,孔隙结构的分形维数可以定量描述孔隙结构的复杂程度和非均质性。

应用分形几何的原理,对低渗透储层岩石的孔隙结构进行了研究,建立了毛管压力和孔隙大小概率密度分布的分形几何模型。

并根据毛管压力曲线资料计算了孔隙结构的分形维数和孔径大小概率密度分布。

计算结果表明,用该方法研究孔隙结构不仅简单易行,而且精度很高。

关键词　储层岩石　孔隙结构　分形维数　毛管压力
中图分类号　TE13211+4 文献标识码　B 文章编号　1004-4051(2003)09-0046-03
FRACTAL RESEARCH ON PORE STRUCTURE IN RESERV OIR R OCK
Ma Xinfang　Zhang Shicheng　Lang Zhaoxin
(Institute of Petroleum and G as Engineering,University of Petroleum・Beijing102249)
Abstract:There is fractal property in reservoir rocks,the fractal dimension can describe quantitatively the complexity and the heterogeneity of pore structure.According to the principle of the fractal geometry,the pore structure can be studied,and the fractal stochastic model of pore size distribution and capillary pressure can be set up.The fractal dimension of pore structure and size distribution are studied based on the capillary pressure data.
The results show that this method is simple and more exact.
K eyw ords:Reservoir rock,Pore structure,Fractal dimension,Capillary pressure
储层岩石的孔隙结构不仅对油气储量,而且对油气井的产能和最终采收率都有影响〔1〕。

分形几何的出现为孔隙结构的研究提供了一种新的方法,并且在石油工业中引起了高度的重视。

储层岩石的孔隙结构是一种分形结构〔2〕,可以用分形维数来定量描述,它不仅能描述孔隙结构的孔隙大小分布和复杂程度,而且能描述储集层岩石的粒度组成等〔3〕。

1　分形几何的基本知识
分形几何是1975年由著名的法国数学家曼德勃罗特(Mandelbrot)首次提出的〔4〕。

分形(Fractal)一词是曼德勃罗特从拉丁文fractus(破碎的、断裂的)创造的新词,意思是破碎、细片、分数、分级等。

它研究的是自然界中常见的变幻莫测的、不稳定的、非常不规则的、但是具有自相似性、自反演性的不规则现象,可以用盒维数来表示:
D=-lim
ε→0
(lg N(ε)/lgε 或
N(ε)∝ε-D(1)式中　ε———测度,
N(ε)———在测度下所得到的度量值,
D———研究对象的分形维数。

在双对数坐标
下,N(ε)———ε为一直线,其斜
率就是研究对象的分形维数。

2　毛细管压力的分形模型
由于储层岩石的孔隙结构具有分形特征,根据分形几何原理,储层中孔隙半径大于r的孔隙数目N(>r)与半径r之间有如下的关系〔5〕: N(>r)=∫r max r f(r)dr=αr-D(2)式中　r max———最大孔隙半径;
f(r)———孔径分布密度函数;
D———孔隙分维数;
α———比例系数。

64中国矿业2003年第12卷第9期Ξ基金项目:国家“973”基础研究发展规划项目“大幅度提高石油采收率的基础研究”(G1999022509)
将(2)式对r求导,可得到孔径分布的密度函数f(r)的表达式:
f(r)=dN(>r)
dr
=-Dα・r-D-1(3)
将(3)式代入储层中孔隙半径小于r的孔隙累积体积V(<r)的表达式,并积分可以得到:
V(<r)=∫r r min f(r)・β・r3d r
=
Dαβ
3-D
(r3-D-r3-D
min
)(4)
式中　r min———最小孔隙半径;
β———与孔隙结构有关的常数(如孔隙为立
方体,β=1;为球体,β=4π/3)。

同
理,可得到储层的总孔隙体积V为:
V=
Dαβ
3-D
(r3-D
max
-r3-D
min
)(5)
这样根据V(<r)与V可得到孔隙半径小于r的累积孔隙体积分数S的表达式为:
S=V (<r)
V
=
r3-D-r3-D
min
r3-D
m ax
-r3-D
min
(6)
由于r min≤r max,则上式可以简化为:
S=
r
r m ax
3-D
(7)
根据Laplace方程P c=2σcosθ/r〔6〕,将该式代入(7)式,得到:
S=
P c
P min
D-3
(8)
式中　P c———孔隙半径r所对应的毛管压力;
σ,θ———为液体的表面张力和润湿接触角;
P min———为最大孔隙半径r max所对应的毛管
压力,即入口毛管压力;
S———毛管压力P c时储层岩石中润湿相的
饱和度。

所以(8)式即为毛管压力曲线分形几何公式。

3　孔隙分布的分形概率模型
用(3)式可计算孔隙分布的概率密度函数,但在该表达式中有一个比例常数α很难确定,为此我们采用古典型条件概率分布的定义方法来计算孔隙的概率密度分布。

设孔隙半径r的范围是[r min,r max],按古典型概率分布的定义有:
P{r>r p|r min<r<r max}=
N(r p)-N(r max) N(r min)-N(r max)
则分布函数为:
F(r p)=P{r≤r p|r min≤r≤r max}
=1-
N(r p)-N(r max)
N(r min)-N(r max)
将(2)式代入上式并整理可以得到孔隙分布
的表达式:
F(r p)=1-(r-D
p
-r-D
max
)/(r-D
min
-r-D
max
)(9)
对上式求导数可以得到孔隙分布的概率密度函
数表达式:
f(r p)=D r-D-1
p
/(r-D
min
-r-D
max
)(10)
4　分形维数的回归拟合计算法
分形维数的计算可以采用图版法和拟合法。

为
了提高精度,这里利用线性回归拟合法来计算分形
维数D和最小毛管压力P min。

对(8)式两边分别取对数,可以得到:
lg S=(3-D)lg P min+(D-3)lg P c(11)
设　lg S=y,lg P c=x,3-D=a,lg P min=b
则(11)式变为y=ab-ax
通过线性回归,可得到精确的D和P min
5　孔隙结构分形维数的计算结果
在三维欧氏空间中孔隙结构的分形维数是介于
2和3之间的分数〔2〕。

分形维数越接近2,即分形
维数越小,说明孔喉表面越光滑,均质性较强,岩
石的储集性能越好;反之,分形维数越接近3,即
分形维数越大,孔喉表面越不光滑,储集性能越
差,表明该分形结构的复杂程度越大,非均质性越
强。

根据这一性质,对不同低渗透岩石的岩样进行
了研究。

表1是根据不同低渗透岩样的毛细管压力
资料计算出来的储层岩石的孔隙分形维数和孔隙结
构参数。

表1　孔隙分形维数和孔隙结构参数的比较
序号分形维数D P min(MPa)r max(μm)相关系数
121766841148011807-0199499
221736301459116353-0199854
32175130142111782-0199254
421848701163415943-0199636
521745901393119062-0198199
621840501164415771-019966
721767501477115732-01997
821721101434117263-0199697
9218101181411433-0199655
1021854601159417244-0199434
由于所选取的岩样均取自于低渗透油田,孔隙
结构的复杂程度较强,非均质性也很严重。

从表中
可以看出,所计算出的孔隙结构分形维数都接近
3,都在217以上。

所以计算结果与实际情况比较
符合。

同时,回归方程的相关系数大部分都在-
0199以上,相关性比较好,这说明用毛管压力资
74
储层岩石孔隙结构的分形研究
料来计算孔隙结构的分形维数的可行的。

图1是2号岩样毛管压力和含水饱和度在双对数坐标中的关系曲线以及回归曲线。

从图中可以看出,在双对数坐标上,P c 和S w 呈很好的直线关系,拟合程度比较好,说明孔隙结构具有较好的分形特征。

图1　2号岩样的P c 与S w
的双对数曲数图2　2号岩样的孔隙大小分布曲线
6　孔隙大小分布的计算
根据(11)式,通过线性回归,可以计算出孔
隙结构的分形维数,再根据(10)式就可以计算出储层岩石孔隙大小的频率密度分布,由此可以计算出孔喉大小的频率分布。

图2是2号岩样的孔隙大
小分布曲线。

从图中可以看出,岩样中孔隙大小主要集中在孔隙半径较小的区域,而孔隙半径较大的孔隙出现的频率比较低。

呈中间大,两头小的分布。

7　结　论
(1)建立了毛管压力曲线和孔隙大小分布的分形几何模型,在此基础上计算了孔隙结构的分形维数。

(2)利用孔隙结构的分形维数既可以定量的描述孔隙结构参数,也可以定量描述孔隙结构的复杂程度。

(3)通过计算孔隙结构的分形维数可以直接得到孔隙大小分布的分布函数,从而可以得到孔隙的大小分布。

这种方法比直接从毛管压力曲线求孔隙
大小分布的方法简单易行,精度也比较高。

参考文献
〔1〕　罗蛰潭,王允诚.油气储集层的孔隙结构.北京:科学技术
出版社,1986
〔2〕　屈世显,张建华.分形与分维及在地球物理学中的应用.西
安石油学院学报,1991,6(2)
〔3〕　朱九成,郎兆新,张丽华等.砂岩孔隙结构分形模型及随机
网络仿真.石油大学学报,1995,19(6)
〔4〕　张济忠.分形.北京:清华大学出版社,1995
〔5〕　贺承祖,华明琪.储层孔隙结构的分形几何描述.石油与天
然气地质,1998,19(1)
〔6〕　洪世铎.油藏物理基础.北京:石油工业出版社,1987
(收稿日期:2003年3月29日)
〔作者简介〕　马新仿(1972—
)　博士　石
油天然气工程学院讲师　主要从事渗流力学和油藏数值模拟研究与教学
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