数学_2013-2014学年湖北省部分重点中学高三(上)第一次联考数学试卷(文科)(含答案)

2013-2014学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试
卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设U ={1, 2, 3, 4, 5}，A ={1, 5}，B ={2, 4}，则B ∩(∁U A)=( ) A {2, 3, 4} B {2} C {2, 4} D {1, 3, 4, 5}
2. 若z =sinθ−3
5+(cosθ−4
5)i 是纯虚数，则tan(θ−π
4)的值为（ ） A −7 B −1
7
C 7
D −7或−1
7
3. 已知函数f(x)=lnx ，则函数g(x)=f(x)−f′(x)的零点所在的区间是（ ） A (0, 1) B (1, 2) C (2, 3) D (3, 4)
4. 已知函数y =f(x)的定义域为{x|−3≤x ≤8, 且x ≠5}，值域为{y|−1≤y ≤2, 且y ≠0}．下列关于函数y =f(x)的说法：①当x =−3时，y =−1；②点(5, 0)不在函数y =f(x)的图象上；③将y =f(x)的图象补上点(5, 0)，得到的图象必定是一条连续的曲线；④y =f(x)的图象与坐标轴只有一个交点．其中一定正确的说法的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4
5. 三个实数成等差数列，其首项是9．若将其第二项加2、第三项加20，则这三个数依次构成等比数列{a n }，那么a 3的所有可能取值中最小的是（ ） A 1 B 4 C 36 D 49
6. 若函数y =log 2x 的图象上存在点(x, y)，满足约束条件{x +y −3≤0
2x −y +2≥0y ≥m ，则实数m 的最
大值为（ ）
A 1
2
B 1
C 3
2
D 2
7. 设点P 在曲线y =e x 上，Q 在曲线y =lnx 上，则|PQ|的最小值为（ ） A √2
2 B √2−1 C √2 D 2(√2−1)
8. e ，π分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式不成立的是（ ）
A log πe +(log e π)2>2
B log π√e +log e √π>1
C e e −e >e π−π
D (e +π)3<4(e 3+π3)
9. 对于任意实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]=1，[−2.1]=−3．定义在R 上的函数f(x)=[2x]+[4x]+[8x]，若A ={y|y =f(x), 0<x <1}，则A 中元素的最大值与最小值之和为（ ）
A 11
B 12
C 14
D 15
10. 在△ABC 所在的平面内，点P 0、P 满足P 0B →
=14AB →
，PB →
=λAB →
，且对于任意实数λ，恒有PB →
⋅PC →
≥P 0B →
⋅P 0C →
，则（ ）
A ∠ABC =90∘
B ∠BA
C =90∘ C AC =BC
D AB =AC
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11. 命题“∀x ∈R ，x 2−2x +2>0”的否定是________．
12. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b =2asinB ，则角A 等于________．
13. 已知a ，b 都是正实数，函数y =2ae x +b 的图象过点(0, 1)，则1
a
+1
b 的最小值是________．
14. 已知f(x)是偶函数，当x >0时，其导函数f′(x)<0，则满足f(x 4)=f(x−1
x−3)的所有x 之和为________． 15. 已知f(x)=
11+x
，各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1，a n+2=f(a n )，若a 12=a 14，
则a 13+a 2014=________．
16. 在△ABC 中，边AC =1，AB =2，角A =2π3
，过A 作AP ⊥BC 于P ，且AP →=λAB →+μAC →
，
则λμ=________．
17. 已知函数f(x)的定义域为[−1, 5]，部分对应值如下表，f(x)的导
函数y =f ′(x)的图象如图所示．下列关于f(x)的命题：
②函数f(x)在[0, 2]上是减函数；
③如果当x ∈[−1, t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y =f(x)−a 有4个零点． 其中正确命题的序号是________．
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC =4acosB −ccosB ． （1）求cosB 的值；
（2）若BA →
⋅BC →
=2，且b =2√3，求a 和c 的值．
19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 中为菱形，∠BAD =60∘，
Q 为AD 的中点．
（1）若PA =PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA // 平面MQB．
20. 设等差数列{a n}的前n项和为S n．且S4=4S2，a2n=2a n+1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若a n=2n−1，数列{b n}满足：b1=3，b n−b n−1=a n+1(n≥2)，求数列{1
b n
}的前n项和T n．
21. 如图，点F1(−c, 0)、F2(c, 0)分别是椭圆
C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线，交椭圆C的上半部分于点P，
过点F2作PF2的垂线交直线x=a 2
c
于点Q．
（1）如果点Q的坐标为(4, 4)，求椭圆C的方程；
（2）试判断直线PQ与椭圆C的公共点个数，并证明你的结论．
22. 设函数f(x)=x
e x
(e=2.71828…是自然对数的底数)．
（1）求f(x)的单调区间及最大值；
（2）∀x∈(0, +∞)，2|lnx−ln2|≥f(x)+c恒成立，试求实数c的取值范围．
2013-2014学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试
卷（文科）答案
1. C
2. A
3. B
4. B
5. A
6. B
7. C
8. C
9. A
10. C
11. ∃x∈R，x2−2x+2≤0
12. 30∘
13. 3+2√2
14. 6
15. 13
21+√5−1
2
16. 10
49
17. ①② 18. 解：（1）由正弦定理可得a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， ∴ 2RsinBcosC =8RsinAcosB −2RsinCcosB ， 化为sinBcosC =4sinAcosB −sinCcosB ， 可得sinBcosC +cosBsinC =4sinAcosB ，
∴ sin(B +C)=4sinAcosB ，可得sinA =4sinAcosB ， ∵ sinA ≠0，∴ cosB =1
4． （2）∵ BA →
⋅BC →
=2，
∴ accosB =2，又cosB =1
4，∴ ac =8， 由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2−2accosB ， ∵ b =2√3，
∴ 12=a 2+c 2−4，化为a 2+c 2=16． 联立{ac =8
a 2+c 2=16
，解得a =c =2√2．
19. 解：（1）连BD ，四边形ABCD 菱形∵ AD =AB ，∠BAD =60∘
∴ △ABD 是正三角形，Q 为 AD 中点
∴ AD ⊥BQ
∵ PA =PD ，Q 为 AD 中点AD ⊥PQ
又BQ ∩PQ =Q∴ AD ⊥平面PQB ，AD ⊂平面PAD ∴ 平面PQB ⊥平面PAD
（2）当t =1
3时，使得PA // 平面MQB ，
连AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，
则O 为BD 的中点，又∵ BQ 为△ABD 边AD 上中线， ∴ N 为正三角形ABD 的中心， 令菱形ABCD 的边长为a ，则AN =
√3
3
a ，AC =√3a ．
∴ PA // 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面MQB =MN
∴ PA // MN
PM PC
=
AN AC
=
√3a 3
√3a
=13即：PM =13PC ，t =1
3．
20. 解：（1）∵ 等差数列{a n }的前n 项和为S n ．且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1，
∴ {
4a1+4⋅3
2
d=4(2a1+d)
a1+(2n−1)d=2a1+2(n−1)d+1
，
解得a1=1，d=2，
∴ a n=2n−1．
（2）∵ a n=2n−1，数列{b n}满足：b1=3，b n−b n−1=a n+1(n≥2)，
∴ 当n≥2时，b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+...+(b3−b2)+(b2−b1)+b1 =a n+1+a n+...+a4+a3+b1
=n2+2n，
当n=1时，也成立，
∴ b n=n2+2n，
∴ 1
b n =1
n2+2n
=1
2
(1
n
−1
n+2
)，
∴ T n=1
2[(1−1
3
)+(1
2
−1
4
)+...+(1
n−1
−1
n+1
)+(1
n
−1
n+2
)]
=1
2
(1+
1
2
−
1
n+1
−
1
n+2
)
=3
4−2n+3
2n2+6n+4
．
21. 解：（1）解方程组{
x=−c
x2
a2
+y2
b2
=1得P点的坐标为(−c,
b2
a
)，
∴ k PF
2=
b2
a
−c−c
=−b2
2ac
，
∵ PF2⊥QF2，
∴ k QF
2=2ac
b2
，
∴ QF2的方程为：y=2ac
b2
(x−c)
将x=a 2
c
代入上式解得y=2a，
∴ Q点的坐标为(a2
c
,2a)；
∵ Q点的坐标为(4, 4)，∴ a2
c
=4且2a=4，∴ a=2，c=1，b2=a2−c2=3，
∴ 椭圆C的方程为x2
4+y2
3
=1；
（2）∵ Q点的坐标为(a 2
c ,2a)，P点的坐标为(−c,b2
a
)，
∴ k PQ =2a−
b 2a
a 2
c
−(−c)
=
c(2a 2−b 2)a(a 2+c 2)
=c
a ，
∴ PQ 的方程为y −2a =c
a
(x −
a 2c
)，
即y =c
a x +a
将PQ 的方程代入椭圆C 的方程得b 2x 2+a 2(c
a x +a)2=a 2
b 2，
∴ (b 2+c 2)x 2+2a 2cx +a 4−a 2b 2=0① ∵ a 2=b 2+c 2
∴ 方程①可化为a 2x 2+2a 2cx +a 2c 2=0 解得x =−c
∴ 直线PQ 与椭圆C 只有一个公共点． 22. 解：（1）f′(x)=
1−x e x
由f ′(x)=0，解得x =1
当x <1，时f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当x >1，时f ′(x)<0，f(x)单调递减．
所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞, 1)，单调递减区间是(1, +∞)，其最大值为f(1)=
1e
（2）由∀x ∈(0, +∞)，2|lnx −ln2|≥f(x)+c 恒成立 可知∀x ∈(0, +∞)，2|lnx −ln2|−f(x)≥c 恒成立 令g(x)=2|lnx −ln2|−f(x)=2|lnx −ln2|−x e x
①当x >2时g(x)=2(lnx −ln2)−x
e x 所以g′(x)=2
x −
1−x e x
=
2e x +x(x−1)
xe x
>0
因此g(x)在(2, +∞)上单调递增
②当0<x <2时g(x)=2(ln2−lnx)−x
e x 所以g′(x)=−2
x −
1−x e x
=−
2e x +x(1−x)
xe x
因为0<x <2，所以2e x >2，x(1−x)=−(x −12
)2+14
∈(−2,14
) 所以2e x +x(1−x)>0， 所以g′(x)<0，
因此g(x)在(0, 2)上单调递减
综上①②可知g(x)在x =2时取得最小值g(2)=−2
e 2 因为∀x ∈(0, +∞)，2|lnx −ln2|−f(x)≥c 即g(x)≥c 恒成立 所以c ≤−2
e 2．。