古典概型的交汇

古典概型的交汇
考试要求：1．理解古典概型、事件的相互独立性及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的样本点数及事件发生的概率．
知识点回顾：
古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含
其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝k
n＝n(A)
n(Ω)，其中n(A)和n(Ω)分别
表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
考点2古典概型的交汇问题－－综合性
考向1古典概率和数
1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和．这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1＋1”．1966年我国数学家陈景润证明了“1＋2”，获得了该研究的世界最优成果．若在不超过20的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过20的概率是()
A．3
7B．
4
7C．
5
14D．
9
14
B解析：不超过20的所有质数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从中选取2个不同的数有C28＝28种，和超过20的共有(2，19)，(3，19)，(5，17)，(5，19)，(7，17)，(7，19)，(11，13)，(11，17)，(11，19)，(13，17)，(13，
19)，(17，19)，共12种，所以两数之和不超过20的概率是28－12
28
＝4
7
．
考向2古典概型和数列
斐波那契数列又称黄金分割数列，因为数学家昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{a n}满足：a1＝a2＝1，a n＋2＝a n＋1＋a n(n∈N*)．现从该数列的前10
项中随机的抽取一项，则该数除以3余数为1的概率为( )
A ．18
B ．14
C ．38
D ．12
D 解析：数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ∈N *)，
数列的前10项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55．
该数列被3除所得的余数为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，所以10项中
共有5项满足除以3余数为1，故概率p ＝510＝12．故选D ．
考向3 古典概型和平面向量
(1)设平面向量a ＝(m ，1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1，2，3，4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )
A ．18
B ．14
C ．13
D ．12
A 解析：有序数对(m ，n )的所有可能结果数为4×4＝16．由a ⊥(a －b )，得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2．由于m ，n ∈{1，2，3，4}，故事件A 包含的
样本点为(2，1)和(3，4)，共2个．所以所求的概率P (A )＝216＝18．故选A ．
(2)已知k ∈Z ，AB →＝(k ，1)，AC →＝(2，4)．若|AB →
|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是________．
37 解析：因为|AB →|＝k 2＋1≤4， 所以－15≤k ≤15．
因为k ∈Z ，所以k ＝－3，－2，－1，0，1，2，3．
当△ABC 为直角三角形时，应有AB ⊥AC ，或AB ⊥BC ，或AC ⊥BC ．由AB →·AC →＝0，得2k ＋4＝0，所以k ＝－2．因为BC →＝AC →－AB →＝(2－k ，3)，由AB →·BC →＝0，得k (2－k )＋3＝0，所以k ＝－1或3．由AC →·BC →
＝0，得2(2－k )＋12＝0，所以k ＝8(舍去)．故使△ABC 为直角三角形的k 值为－2，－1或3，所以所求概率p ＝
3
7
．
考向4古典概型与函数的交汇
(1)已知函数f(x)＝1
3x
3＋ax2＋b2x＋1．若a是从1，2，3三个数中任取
的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()
A．7
9B．
1
3C．
5
9D．
2
3
D解析：(1)f′(x)＝x2＋2ax＋b2．
由题意知f′(x)＝0有两个不等实根，
即Δ＝4(a2－b2)>0，所以a>b，有序数对(a，b)所有可能结果有3×3＝9(种)，其中满足a>b的有(1，0)，(2，0)，(3，0)，(2，1)，(3，1)，(3，2)，共6种．故
所求概率p＝6
9＝2 3
．
(2)已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是()
A．5
12B．
1
3C．
1
4D．
1
6
A解析：因为a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，所以样本点总数n＝3×4＝12．
函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数．
①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1．
②当a≠0时，需要满足b
a≤1，符合条件的有(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，
(2，1)，共4种．
所以函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是5
12
．
求解古典概型交汇问题的思路
求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的内容转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：。