化学有关的活动方案

2019届安徽省合肥市高三第二次教学质量检测数学（文）
试题
一、单选题
1．若集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直接利用交集的定义求解即可.
【详解】
因为集合，，
所以，故选C.
【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是
将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2．若复数满足，则（）
A．1 B．C．2 D．
【答案】D
【解析】先利用复数的除法运算法则化简复数，然后利用复数模的公式求解即可.
【详解】
因为，
所以
，
则，故选D.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3．若双曲线的焦点到渐近线的距离是2，则的值是（）
A．2 B．C．1 D．4
【答案】A
【解析】由双曲线的方程求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线的距离公式列方程求解即可.
【详解】
双曲线的焦点坐标为，
渐近线方程为，
所以焦点到其渐近线的距离，故选A.
【点睛】
本题主要考查双曲线的方程、焦点坐标以及渐近线方程，考查了点到直线距离公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.
4．在中，，若，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】直接利用平面向量共线定理以及平面向量加减运算的三角形法则求解即可. 【详解】
因为，，，
所以
，故选A.
【点睛】
本题主要考查平面向量共线定理以及向量的几何运算法则，属于中档题．向量的几何运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.
5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：
则下列判断中不正确的是（）
A．该公司2018年度冰箱类电器营销亏损
B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供
D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B
【解析】结合表中数据，对选项逐个分析即可得到答案。

【详解】
因为冰箱类电器净利润占比为负的，所以选项A正确；因为营业收入-成本=净利润，该公司2018年度小家电类电器营业收入占比和净利润占比相同，而分母不同，所以该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润不可能相同，故选项B错误；由于小家电类和其它类的净利润占比很低，冰箱类的净利润是负值，而空调类净利润占比达到
，故该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，即选项C正确；因为该公司2018年度空调类电器销售净利润不变，而剔除冰箱类电器销售数据后，总利润变大，故2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，即选项D正确。

故答案为B.
【点睛】
本题考查了统计表格的识别，比例关系的判断，实际问题的解决，属于基础题。

6．若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的慨率是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不等式表示的区域面积为，表示的区域的面积为，利用几何概型概率公式即可得出结论.
【详解】
不等式表示的区域是半径为1的圆，面积为，
且满足不等式表示的区域是边长为的正方形，面积为，
在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的慨率，故选B.
【点睛】
本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.
7．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（）（注：1丈=10尺）
A．1946立方尺B．3892立方尺C．7784立方尺D．11676立方尺【答案】B
【解析】设出棱台的高，根据三角形相似求得棱台的高，由棱台的体积公式可得结果.
【详解】
由题意可知正四棱锥的高为30.所截得正四棱台的下底面棱长为20，上底面棱长为6，
设棱台的高为，由可得，
解得，可得正四棱台体积为
，故选B.
【点睛】
本题主要考查阅读能力，考查棱锥与棱台的性质以及棱台的体积公式，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.
8．将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的周期是
C．函数在上单调递增
D．函数在上最大值是1
【答案】C
【解析】先求出的表达式，然后结合选项分别判断它的对称中心，周期，单调性，是否有最值，即可得到答案。

【详解】
将函数横坐标缩短到原来的后，得到，当时，
，即函数的图象关于点对称，故选项A错误；周期，故选项B错误；当时，，所以函数在上单调递增，故选项C正确；因为函数在上单调递增，所以，
即函数在上没有最大值，故选项D错误。

故答案为C.
【点睛】
本题考查了三角函数的伸缩变换，考查了三角函数的周期、对称中心、单调性及最值，考查了学生对基础知识的掌握情况。

9．设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】有三个零点等价于与的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与最值，画出函数图象，数形结合可得结果. 【详解】
设，
则，
在上递减，在上递增，
，且时，，
有三个零点等价于与的图象有三个交点，
画出的图象，如图，
由图可得，时，与的图象有三个交点，
此时，函数有三个零点，
实数的取值范围是，故选D.
【点睛】
本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视
图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由一个底面半径为3，高为3的半圆柱，挖去一个底面半径为1，高为3的半圆柱组成，根据三视图中数据计算即可得结果.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由一个底面半径为3，高为3的半圆柱，挖去一个底面半径为1，高为3的半圆柱组成，它的表面积由三部分组成：
两个半圆柱的侧面积为；
两个半圆环的面积为；
两个矩形的面积为，
所以该几何体的表面积为，故选C.
【点睛】
本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
11．函数的图象大致为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】先判断函数为偶函数，然后通过构造函数，，可判断是单调递增函数，从而可得到时，，即可判断时，
，，从而可确定在上单调递增，即可得到答案。

【详解】
因为，所以为偶函数，选项B错误，
，令，则恒成立，所以是单调递增函数，则当时，，
故时，，,
即在上单调递增，故只有选项A正确。

【点睛】
本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题。

12．在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴正半轴相切，若圆上存在点，使得直线与直线关于轴对称，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】求出圆的圆心坐标与半径，设的斜率为，因为，所以，当最大时最小，利用圆心到直线的距离等于半径求得的最大值，即可得到的最小值. 【详解】
圆经过，
圆心在的垂直平分线上，
又圆与轴正半轴相切，圆的半径为2，
设圆心坐标为，
由得，
圆心坐标为，
设的斜率为，因为，所以，
当最大时最小，
设（），由图可知当与圆相切时最大，
此时，
解得，此时，
即的最小值为，故选D.
【点睛】
本题主要考查圆的方程与性质以及直线与圆的位置关系、转化思想的应用，属于难题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.
二、填空题
13．若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】根据充分条件与必要条件的定义，利用包含关系列不等式求解即可.
【详解】
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以，故答案为.
【点睛】
高中数学的每个知识点都可以结合充分条件与必要条件考查，要正确解答这类问题，除了熟练掌握各个知识点外，还要注意以下几点：（1）要看清，还是；（2）“小范围”可以推出“大范围”；（3）或成立，不能推出成立，也不能推出成立，且成立，即能推出成立，又能推出成立.
14．设等差数列的前项和为.若，则______．
【答案】65
【解析】由可得，再由等差数列的求和公式结合等差数列的性质即可得结果.
【详解】
在等差数列中，由，
可得，
即，即，
，故答案为65.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列性质的应用，属于中档题.解答等差数列问题要注意应用等差数列的性质
（）与前项和的关系.
15．若，则________．
【答案】
【解析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式可得
，计算求得结果.
【详解】
，
则
，故答案为.
【点睛】
三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，
且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为
______．
【答案】
【解析】根据椭圆的定义与几何性质判断为正三角形，且轴，设，可得，从而可得结果.
【详解】
因为关于的对称点在椭圆上，
则，，
为正三角形，，
又，
所以轴，
设，则，
即，故答案为.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造
的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
三、解答题
17．在中，角，，的对边分别是，，.已知.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求的面积.
【答案】（I）；（II）
【解析】（Ⅰ）由，利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可得
，结合角的范围可得结果；（Ⅱ）由余弦定理可得，求出
的值，利用三角形面积公式可得结果.
【详解】
（Ⅰ）∵，
∴由正弦定理可得，
，
因为，
∴，∴.
∵，∴.
（Ⅱ）∵，∴，
∵，∴，
∴.
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的正弦公式，属于中档题.对余弦定理
一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
18．如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，
.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若和梯形的面积都等于，求三棱锥的体积.
【答案】（I）见证明；（II）
【解析】（Ⅰ）取的中点为，连结，可证明四边形为平行四边形，得，由等腰三角形的性质得，可得，由面面垂直的性质可得平面，从而可得结果；（Ⅱ）由三棱台的底面是正三角形，且，可得
，由此，.根据面积相等求得棱锥的高，利用棱锥的体积公式可得结果.
【详解】
（Ⅰ）取的中点为，连结.
由是三棱台得，平面平面，∴.
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，∴.
∵，为的中点，
∴，∴.
∵平面平面，且交线为，平面，
∴平面，而平面，
∴.
（Ⅱ）∵三棱台的底面是正三角形，且，
∴，∴，
∴.
由（Ⅰ）知，平面.
∵正的面积等于，∴，.
∵直角梯形的面积等于，
∴，∴，
∴.
【点睛】
本题主要考查面面垂直证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直以及棱锥的体积，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
19．为了了解地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：
（Ⅰ）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性强弱（已知：
，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）；
（Ⅱ）求关于的线性回归方程，并预测地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）
参考公式：，，，
，，.
【答案】（I）相关性很强；（II），208个
【解析】（Ⅰ）求得，，利用求出的值，与临界值比较即可得结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）根据所给的数据，利用公式求出线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；
代入线性回归方程求出对应的的值，可预测地区2019年足球特色学校的个数.
【详解】
（Ⅰ），，
，
∴与线性相关性很强.
（Ⅱ）
，
，
∴关于的线性回归方程是.
当时，（百个），
即地区2019年足球特色学校的个数为208个.
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②求得公式中所需数据；③计算回归系数
；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
20．已知直线：与焦点为的抛物线：相切.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于，两点，求，两点到直线的距离之和的最小值.
【答案】（I）；（II）.
【解析】（Ⅰ）由消去得，，根据判别式等于零解得，从而可得结果；（Ⅱ）可设直线的方程为，由消去得，
，利用韦达定理求得线段的中点的坐标，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，由梯形中位线定理可得，由点到直线的距离公式，利用配方法可得结果.
【详解】
（Ⅰ）∵直线：与抛物线相切.
由消去得，，从而，解得.
∴抛物线的方程为.
（Ⅱ）由于直线的斜率不为0，
所以可设直线的方程为，，.
由消去得，，
∴，从而，
∴线段的中点的坐标为.
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，
则，
∴当时，、两点到直线的距离之和最小，最小值为.
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程以及最值问题，属于中档题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数
法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.
21．已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.
【答案】（I）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，
的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II）
【解析】（Ⅰ）求出，分两种情况讨论，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）对分四种情况讨论，分别利用导数求出函数最小值的表达式，令最小值不小于零，即可筛选出符合题意的的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）的定义域为.
.
（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；（2）当时，由解得，由解得.
∴的单调递增区间为和，单调递减区间是.
（Ⅱ）①当时，恒成立，在上单调递增，
∴恒成立，符合题意.
②当时，由（Ⅰ）知，在、上单调递增，在上单调递减.
（i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在
上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需，且.
而当时，
且
成立.
∴符合题意.
（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需即可，
此时成立，
∴符合题意.
（iii）若，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需，
即，
∴符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或
恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；
③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为.
（Ⅰ）写出曲线和的直角坐标方程；
（Ⅱ）若，分别为曲线，上的动点，求的最大值.
【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）利用参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程间的关系，转化即可；（Ⅱ）设点的坐标为，
，求出最大值即可。

【详解】
解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，
曲线的直角坐标方程为，即.
（Ⅱ）设点的坐标为.
，
当时，.
【点睛】
本题考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程间的转化，考查了利用参数方程求距离的最大值问题，属于中档题。

23．选修4-5：不等式选讲
已知.
（Ⅰ）求的解集；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的最大值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由得，解不等式即可；（Ⅱ）由题意知，
恒成立，当时，，然后利用基本不等式可求出
，从而可求出的最大值。

【详解】
解：（Ⅰ）由得，
即，解得，
所以，的解集为.
（Ⅱ）恒成立，即恒成立.
当时，；
当时，.
因为（当且仅当，即时等号成立），
所以，即的最大值是.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题。