数学问题与解答

题 ）
Ｄ 的 方 程 为
解 ：原方程可变形为 ２
１
ｙ 一
２ ＝ 一 ‘（ 一Ｍ）· … ③ ３．平 方 得
： ＋ ＋
４（ｘ＋ｙ）＝ ＋Ｙ＋９＋６Ｓ ＋６Ｕ ＋２ ，
联立 ① 、③ 得 ，（２ｕ＋１） 。＝２ｕ２一 ，则 化 简整理得关 于 的一元二次方程
４—４８
１）（ｎ一３）．这表 明ａ＞３且 ｎ为奇数．又 由 口 ＝
＋Ｙ＜３４得 口 ＜６，故 口＝５，进而 ｂ＝１２．
由② 知 ， 、Ｙ是方程 ｔ 一２５ｔ＋１４４＝０的两
根 ，故 （ ，ｙ）＝ （９，１６），（１６，９）．经 检验知 ，
这两组解 均满足原方程．
１０２４．设 为 ＡＡＢＣ的垂 心 ，ＡＩ，Ｉ￣＋Ｂ ＋
２０１８年第 ４期
数学 教 学
４—４
ｏ？ｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏ ｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏ
数 学 问 题 与 解 答
（２０１８年 第 ２期 问题解答 ） ｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏｏ ！ｏ
１０２１．如 图 １，０为正 ＡＡＢＣ的 中心 ，日 是 ＡＡＢＣ中与 ＢＣ平行 的中位 线 上 的一 点 ，过 作 ＤＥ上ＯＨ，与边 ＡＢ、ＡＣ分别 交于点 Ｄ、Ｅ．求
Ａ
７
口 一６ ＝。 一６ ．求证 ：ａｂ＜ ．
广ｆ 。
／ 。
图 １
一
互
Ｃ
（２７４３００ 山 东 单 县 二 中 齐行 超 ，山 东 单 县园艺 中心校 张建平供题 ）
硼：由 ６＝等 ＝ ＝
ｎ ＋ａｂ＋ｂ ＝ （０＋ｂ） 一ａｂ，故
（。＋６）（口＋６—１） ＝ 口６≤ 旦— ．
证 ： Ｄ ＝ ＣＥ．
（３１８０１５ 浙江 台州 市洪 家 高级 中学 邬 天泉供题 ）
１
戈 。 ＝ 一 ． 联立 ② 、③ ，类似可得 ： ＋ ．
所以 ｃ一 ＝ 一（Ｍ＋吉）＝÷一 ＝ 一 。，
故 ＡＤ ＝ ２（ ＾一 Ｄ） ＝２（ ｃ一 ） ＝ ＣＥ． １０２２．设 ０，ｂ为互 不相 等 的正 数 ，且满 足
（， 否则将有口＝ｂ＝三３＇ ，与。≠ｂ的条件矛盾、 ） ，
Ｙ一 ＝ √ ，………………… ①
从而口６＜告．
Ｙ一 ＝一 ． ……… … ② 一
１０２３．求方程２ 一 一，／７：３的所
有 正 整 数解 ．
设日（ ， ），其中一号＜ｕ＜丢，则直线 （４０００２６ 重 庆 市第 ３６中学 李枝 团供
代 入 Ａ ＋Ｂ砰 ＋Ｃ ：２８与 ＡＨ ·ＢＨ · ＣＨ ＝ ２４，分 别 化 简 得
可知 ≤ 撕 ≤（ ）‘ ．同
理 有 ＜ １７． 另一 方面 ，将原方 程 写为 ２ ＋ 一３ ＝
ｃｏｓ２ ＋ ｃｏｓ 日 ＋ ｃｏｓ２Ｃ ＝ —／
．’
…
…
Ｊ ｃ。ｓ Ａｃ。ｓ Ｂｃ。ｓ Ｃ Ｉ＝ ３
ＣＨ２ ＝ ２８ ，
Ａ日 ·ＢＨ ·ＣＨ
＝２４．求 ＡＡＢＣ的外
接 圆面积 的所 有可能值．
（２４６６２ｏ 安徽 省安 庆市 岳西 县汤 池 中学
杨 续亮供题 ）
解 ：首先证 明△ＡＢＣ中的恒 等式
ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ 曰 ＋ ｃＯＳ２Ｃ ＋ ２ｃ０ｓ Ａｃｏｓ ｃｏｓ Ｃ
＝ １． …………………… ………………… Ｑ）
若 Ｒ ＝１，则 Ｉ ＣＯＳ Ａｃｏｓ Ｂｏｏｓ Ｃ Ｉ＝３＞１，矛盾． 因此 Ｒ ：２，而这样 的 ＡＡＢＣ亦是存在 的（例如 三边长分别 为 ２，２，２ ）．
综上 所 述 ，Ｒ ＝ ３或 Ｒ ＝ ２，进 而 可 知 ＡＡＢＣ的外接 圆面积为 ９叮Ｔ或 ４叮ｒ．
１０２５．已知 ｆ（ ）是 Ｒ 上严 格单 调 递增 且 值域 为 Ｒ的 函数 ，＿厂（０）＝０，且满足 ｓｉｎｆ（ ）是 奇 函数．
证明 ：以 ０为原 点 ， 为 ｙ轴 正 向 ，建立
直 角 坐 标 系 ｘＯｙ．不 妨 设 ＡＢ ＝ ２，易 知
两 边约去正数 口＋６，化简得 口＋ｂ≤ ４ Ｔ ：￣ａ－ ，
Ａ（。， ），Ｂ（一－，一击），ｃ（ ，一 ）测直线 。６≤ ｛ ≤ ４ 等号显然不能取到
ＡＢ，ＡＣ的 方 程 分 别 为
数 学教 学
２０１８年第 ４期
３ 一（２√ ＋６）√ ＋３ｙ一６√ｙ一９ ＝０．
设 ＡＡＢＣ的外接 圆半径 为 （Ｒ ＞０），则
由判 别 式
△ ＝（２４７＋６） 一４·３·（３ｙ一６Ｊ７—９）
＝ 一 １６·（２ｙ一６√ｙ一９）≥ ０，
ＡＨ ＝ ２Ｒ Ｉ ＣＯＳ Ａ Ｉ，ＢＨ ＝ ２Ｒ Ｉ ＣＯ８ Ｂ Ｉ， Ｃ ＝ ２Ｒ Ｉ ＣＯ８ Ｃ １．
（１）若 口）＝５ －， ６）＝一 ，求 ０＋６
的值 ； （２）求证 ：＿厂（ ）是奇 函数． （２０１２０３ 华 东师 范大 学第二 附属 中学
．
②
＋ ，平方后 化简得
当 ＡＡＢＣ为锐角 三角形 时 ，结合① 、② 得 ，
ｌ２
＋２
＝３（ ＋Ｙ）＋９． … ①
Ｉ
＋２。
，即
记 ＋Ｙ ＝ａＺｐ，ｘｙ ＝６ ｑ，３（ ＋Ｙ）＋９ ＝ ｒ，其 中 口，ｂ，Ｐ，ｑ，ｒ为正整数 ，Ｐ、ｑ不含平方 因 子 ，那 么
Ｒ 一７Ｒ 一６ ＝ （尺 ＋１）（Ｒ 十２）（尺 一３） ＝ ０， 故 Ｒ ＝３，而这样 的 ＡＡＢＣ是存 在的 （例 如三边
事 实上 ，
左 边 ＝ ＣＯＳ Ａ ＋ＣＯＳ Ｂ ＋ＣＯＳ Ｃ ·（ｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｏｓ（ ＋ ）＋ｅｏｓ（Ａ —Ｂ））
＝ｃｏｓ Ａ＋ＣＯＳ Ｂ—ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）·ｅｏｓ（Ａ—Ｂ）
＝ ｃ ｏｓ２Ａ ＋ ｃｏｓ２Ｂ — ｃｏｓ２Ａ ．ｃｏｓ２Ｂ ＋ ｓｉｎＺＡ ． ｓｉｎ２Ｂ
Ｒ 一７ ＋６ ＝ （Ｒ 一１）（Ｒ 一２）（Ｒ ＋３） ＝０．
４ｂ ｑ ＝ （ｒ一１２ａ ）
＝ ｒ ＋ １４４口 Ｐ 一 ２４ｒａ ，
从而 只能 Ｐ 为 ４４ｇ，２ ，２ ）． 当ＡＡＢＣ不 为锐 角 三角 形 时 ，结合 ① 、②
得 ＋２·（一 ３）＝，，即
＋Ｙ ：口 ，ｘｙ ｂ ， ……… ②
代 入①知 ，１２ａ＋２ｂ＝３ａ。＋９，即 ２ｂ＝３（口一