四川省高三数学高考预测卷(文理)

2009年四川高考预测卷数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3到6页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式
)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=
如果事件A 、B 相互独立，那么
其中R 表示球的半径
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么
33
4R V π=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
k n k
k n n P P C k P --=)1()(
一．选择题：
（1）（理）已知复数z 满足i z i 2)1(=+，则=z （ ）
A ．i -1 B. i +1 C. i --1 D. i +-1 （文）函数1()lg
4
x
f x x -=-的定义域为（ ） Ａ．(14)， Ｂ．[14)， Ｃ．(1)(4)-∞+∞，
， Ｄ．(1](4)-∞+∞，
， （2）已知函数x x f lg 1)(+=的反函数为)(1
x f
-，函数)1(1--x f 的反函数为)(x g ，则
函数)(x g 与)(x f 的图象关系是（ ）
A 、将函数)(x f 的图象向右平移1个单位可得到函数)(x g 的图象
B 、将函数)(x f 的图象向左平移1个单位可得到函数)(x g 的图象
C 、将函数)(x f 的图象向上平移1个单位可得到函数)(x g 的图象
D 、将函数)(x f 的图象向下平移1个单位可得到函数)(x g 的图象
（3）（理）已知4
1
1lim
21=++-→b ax x x x ，则=⋅b a （ ）
A 、6-
B 、5-
C 、5
D 、6
（文）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195
家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）13 （4）给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行．
②垂直于同一平面的两个平面互相平行．
③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行． ④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线．
其中假．
命题的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 （5）设变量y x ,满足约束条件0
121x y x y x y -⎧⎪
+⎨⎪+⎩
≥≤≥，则目标函数y x z +=5的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
（6）（理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o
的
直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞
（文）一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．
地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ） Ａ．
1
32
Ｂ．
164
Ｃ．
332
Ｄ．
364
（7）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-
中，1AB AA '=，A 、C
两点间的球面距离为（ ） A ．
π
4
B ．
π2
C
π D
（8）ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边的长分别为a 、b 、c ，设向量
),,(),,(a c a b b c a --=+= 若,//则角C 的大小为（ ）
A.
6π B. 3π C. 2
π D. 32π
（9）在正方体1111ABCD A BC D -中，
E 、
F 分别为棱1AA 、1CC 的中点，则在空间中与
三条直线11A D 、EF 、CD 都相交的直线（ ）
A 、不存在
B 、有且只有两条
C 、有且只有三条
D 、有无数条 （10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近
一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星 在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星
在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表 示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长， 给出下列式子：
①1122;a c a c +=+ ②1122;a c a c -=- ③1212;c a a c > ④
12
12
.c c a a < 其中正确式子的序号是（ ）
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
（11）已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，
，
且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
（12）（理）已知直线
1x y
a b
+=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条
（文）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，
，方程20a x b x c +-=的
两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） Ａ．必在圆2
2
2x y +=上 Ｂ．必在圆22
2x y +=外 Ｃ．必在圆2
2
2x y +=内
Ｄ．以上三种情形都有可能
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.
（13）若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为
________________________． （14）已知()sin()(0),()()363f x x f f π
ππωω=+
>=，且()f x 在区间(,)63
ππ
有最小值，无最大值，
则=ω_____________.
（15） 在等比数列}{n a 中，若,4
1
,1631354321==
++++a a a a a a 则5
43211
1111a a a a a +
+++ =__________________.
（16）定义在R 上的函数()y f x =，若对任意不等实数12,x x 满足
1212
()()
0f x f x x x -<-，且
对于任意的,x y R ∈，不等式22
(2)(2)0f x x f y y -+-≤成立.又函数
(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，则当 14x ≤≤时，
y
x
的取值范围为__________________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知函数
.2
1)4(,23)0(,23cos sin cos 2)(2==-
+=πf f x x b x a x f 且 ⑴ 求f （x ）的最小正周期；
⑵ 求f （x ）的单调递减区间；
⑶ 函数f （x ）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？
（18）（本小题满分12分）（文）平面上有两个质点A 、B 分别位于)0,0(、)3,3(，在某一
时刻同时开始每隔1秒钟向上、下、左、右四个方向中的任何一个方向移动1个单位.
已知质点A 向左、右移动的概率都是41，向上、下移动的概率分别是3
1
和p ，质点B 向四个方向移动的概率都是q . （1）求p 和q 的值；
（2）试判断最少需要几秒钟，A 、B 能同时到达点)2,1(D ？并求在最短时间内同时到达的概率.
（理）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、
1.17万元的概率分别为
16、12、1
3
；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是(01)p p <<，设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ，对乙项目每投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量1ξ、2ξ分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润． （Ⅰ）求1ξ、2ξ的概率分布和数学期望1E ξ、2E ξ； （Ⅱ）当12E E ξξ<时，求p 的取值范围．
（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，02,45AB BC BAC ==∠=，
D 是1AC 的中点，
E 是侧棱1BB 上的一个动点.
（1）当E 是1BB 的中点时，证明：//DE 平面111A B C ；
（2）在棱1BB 上是否存在点E 满足1EB λ=，使二面角1E AC C --是直二面角？
若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
（20）设数列{}n a 前n 项和为n S ，且*(3)23()n n m S ma m n N -+=+
∈.其中m 为实常数，
3m ≠- 且0m ≠.
（1）求证：{}n a 是等比数列；
（2）若数列{}n a 的公比满足()q f m =且*1113
,()(,2)2
n n b a b f b n N n -==∈≥，求{}n b 的通项公式；
（3）若1m =时，设*12323()n n T a a a na n N =+++
+∈，是否存在最大的正整数k ，
使得对任意*
n N ∈均有8
n k
T >
成立，若存在求出k 的值，若不存在请说明理由.
1
A 1
B 1
C A
B
C
E
D
（21）（本小题满分12分）
（文）设函数2122()x f x x e ax bx -=++，已知21().x x f x =-=和为的极值点
（Ⅰ）求a 和b 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设3
22()3
g x x x =
-，试比较()f x 与()g x 的大小. （理）已知函数()x f x e =（e 为自然对数的底数），()ln(())g x f x a =+（a 为常数），()
g x 是实数集R 上的奇函数. （1）求证：()1()f x x x R ≥+∈；
（2）讨论关于x 的方程：2ln ()()(2)g x g x x ex m =⋅-+()m R ∈的根的个数；
（提示：ln lim
0x x
x
→+∞=）
（3）设*
n N ∈，证明：1231n
n
n
n
n e n n n n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+++
+<
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
（e 为自然对数的底数）.
（22）（本小题满分14分）
（文）设动点P 到点1(10)F -，和2(10)F ，
的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ=∠，且存在常数(01)λλ
<<，使得2
12sin
d d θλ=．
（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程； （2）如图，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A B ，
两点．问：是否存在λ，使1F AB △是以点
B 为直角 顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不
存在，说明理由．
（理）我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆122
22=+c
x b y (0)x ≤合成的曲线称
作“果圆”，其中2
22c b a +=，0>a ，0>>c b ．
如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和
1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y 轴的交点．
（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，
求“果圆”的方程； （2）当21A A >21B B 时，求
a
b
的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”
的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．
数学答案
一、选择题
1、B （A ）
2、C
3、A(C)
4、D
5、D
6、C （D ）
7、B
8、B
9、C 10、B 11、B 12、A （C ） 二、填空题
13、6 14、314
15、31 16、1[,1]2
- 三、解答题
17、解：⑴由,2
3,32,23232,23)0(==∴=-=
a a a f 则得 由,1,2
123223,21)4
(=∴=-+=
b b f 得π
).3
2sin(2sin 212cos 2323cos sin cos 3)(2π
+=+=-
+=∴x x x x x x x f ∴函数)(x f 的最小正周期T=.2
2ππ= …………………6分
⑵由
,12
7
12,2233222ππππππππ
ππ
k x k k k x k +≤≤≤++≤+
≤+得
∴f （x ）的单调递减区间是]12
7
,12[ππππk k ++)(Z k ∈．
⑶)6
(2sin )(π
+
=x x f ，∴奇函数x y 2sin =的图象左移
6
π
即得到)(x f 的图象， 故函数)(x f 的图象右移6
π
后对应的函数成为奇函数．…………………12分 18、（文）解：（1）
611314141=⇒=+++p p ，又4114=⇒=q q . ∴61=p ，41=q . （2）至少需要3秒钟可同时到达D 点.
A 到达D 点的概率1213141413=⋅⋅⋅=A P .
B 到达D 点的概率643
)41(33=⋅=B P .
故所求的概率256
1643121=⋅=⋅=B A P P P . （理）解：（Ⅰ）1ξ的概率分布为
18.13
17.1218.162.11=⨯+⨯+⨯=ξE ．
由题设得),2(~p B ξ，即ξ的概率分布为
故2ξ的概率分布为
所以2ξ的数学期望3.11.02.0)1(225.1)1(3.12222+--=+-⨯+-⨯=p p p p p p E ξ． （Ⅱ）由3.04.018.13.11.0221<<-⇒>+--⇒<p p p E E ξξ
∵10<<p ，∴3.00<<p ．
19、解：（1）取11AC 中点
F ，连结DF ，∵D 是1AC 的中点，E 是1BB 的中点. ∴//
//11111,22
DF AA B E AA =
= 所以//1DF B E =，所以//1DE B F =………………………… 2分 又1B F ⊂平面111A B C ，所以//DE 平面111A B C ………………………………………… 4分 （2）分别在两底面内作
BO AC ⊥于O ，1111B O AC ⊥于1O ，连结1OO ，易得11//OO AA ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，1OO 为z 轴建立直角坐标系， 设1,AA t BE h ==，则h
t h
λ=
-
……………………………………………………… 5分 ()()
()10,1,0,
,1,0,A C t E h -.
易求平面11A ACC 的法向量为()11,0,0n =…………………………………………… 7分 设平面1AC E 的法向量为()2,,n x y z =
()()
11,1,,1,AE h AC h ==，由)2210
0100x y hz n AE t tz n AC ++=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨
⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩…………… 9分
取1z =
得y x h ==-
∴2,n h ⎫=-⎪⎭…………… 11分
由题知120n n h ⋅=⇒=
∴h t h λ=-
所以在1BB 上存在点E ，当13
BE EB =
时1E AC C --是直二面角.…………… 12分 20、解：（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23n n m S ma m ++-+=+，两式相减，得1(3)2(3)n n m a ma m ++=≠-，∴
123
n n a m
a m +=
+，∵m 是常数，且3m ≠-，0m ≠，故 23
m
m +为不为0的常数，∴{}n a 是等比数列. （2）由*1121,(),3m b a q f m n N m ====∈+，且2n ≥时，1
11233()223
n n n n b b f b b ---==⋅+，得
111111
333n n n n n n b b b b b b ---+=⇒-=，∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，13为公差的等差数列，
∴
112
133
n n n b -+=+=
，故32n b n =+. （3）由已知1
2
1
1
1112()3()()
222
n n T n -=+++⋯+，∴231
1111
2()3()()2
2222n n T n =
+++⋯+ 相减得：23111()111111121()()()()()1222222212
n
n n n n T n n --=++++⋯+-=
--，∴12
42
n n n T -+=-，
11321(4)(4)0222n n n n n n n n T T +-+++-=---=>，n T 递增，∴min 103
()412
n T T ==-=，
8n k T >对n N *∈均成立，∴min ()1,8
n k
T <=∴，又k N *∈，∴k 最大值为7.
21、（文）解：(Ⅰ)因为1
22()(2)32x f x e
x x ax bx -'=+++
1
(2)(32).x xe x x ax b -=+++
又 21()(2)(1)
x x f x f f ''=-=-==和为的极值点，所以
因此 620,
3320,
a b a b -+=⎧⎨
++=⎩
解方程组得 1, 1.3
a b =-=- (Ⅱ)因为 1
,1,3
a b =-=-
所以 1()(2)(1),
x f x x x e -'=+- 令 123()0,2,0, 1.f x x x x '==-==解得 因为 (,2)(0,1)()0;x f x '∈-∞-⋃<当时， (2,0)(1,)()0;x f x '∈-⋃+∞>当时，
所以 ()f x 在（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增的； 在（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减的. (Ⅲ)由（Ⅰ）可知 21
321
(),3
x f x x e
x x -=--
]]][[2132111 ()()(), (), () 1. ()0,1,
(,1()0, ()(,1.
(,1()(1)0; 1,8)()0, ()1,x x x x f x g x x e x x e x h x e x h x e h x x x h x h x x x h x h x h x h x x -----=-=-=-'=-'=='∈-∞≤∈-∞∈-∞≥='∈+≥∈故令则令得因为时，所以在上单调递减故时，因为时，所以在[28).1,8)()(1)0.
(,),()0,0, ()()0,
(,),()().
x h x h x h x x f x g x x f x g x +∈+≥=∈-∞+∞≥≥-≥∈-∞+∞≥上单调递增故 时，所以对任意恒有又因此故对任意恒有
（理）（1）证：令()1,()1x x h x e x h x e '=--=-,令()0100x
h x e x '>⇒->⇒>时 ()0;0f x x '><时,()0f x '<. ∴min ()(0)0f x f == ∴()(0)0h x h ≥= 即1x
e x ≥+.
（2）∵()g x 是R 上的奇函数 ∴(0)0g = ∴0
(0)ln()0g e a =+=
∴ln(1)0a += ∴0a = 故()ln x g x e x ==. 故讨论方程2ln (2)x x x ex m =⋅-+在0x >的根的个数.
即
2ln 2x
x ex m x
=-+在0x >的根的个数.()m R ∈ 令2ln (),()2x
u x v x x ex m x
==-+.注意0x >,方程根的个数即交点个数. 对ln (),(0)x u x x x =>, 221
ln 1ln ()x x
x x u x x x
⋅--'==, 令()0u x '=, 得x e =，
当x e >时,()0u x '<; 当0x e <<时,()0u x '>. ∴1
()()u x u e e
==极大， 当0x +
→时,ln ()x u x x =
→-∞； 当x →+∞时,ln lim ()lim 0x x x u x x
→+∞→+∞==， 但此时
()0u x >，此时以x 轴为渐近线。

①当2
1m e e ->
即2
1m e e >+时,方程无根; ②当21m e e -=即2
1m e e =+时,方程只有一个根.
③当21m e e -<即2
1m e e
<+时,方程有两个根.
（3）由(1)知1()x
x e x R +≤∈, 令,1,2,...,1i x i n n
-==-, ∴1i n i e n --≤,于是(1)(),1,2,...,1i n n
i n i e e i n n
---≤==-,
∴1
2121
()()...()(1)(1)...(1)1n
n
n
n n n n n n n n n
n n n
--+++=-
+-++-+ (1)1(1)(2)11
11111...111111111n n n n n e e e e e e e e e e e e
-----------
--≤++++===
<=-----. 22、（文）22．解：（1）在12PF F △中，122FF =．
22221212121242cos2()4sin d d d d d d d d θθ=+-=-+
212()44d d λ-=-．
12d d -=2的常数）
故动点P 的轨迹C 是以1F ，2F 为焦点，实轴
长2a =的双曲线．方程为
22
11x y λλ
-=-． （2）方法一：在1AF B △中，设11AF d =，22AF d =，13BF d =，24BF d =． 假设1AF B △为等腰直角三角形，则
12343421323422πsin 4
d d a d d a d d d d d d λ⎧
⎪-=⎪
-=⎪⎪
=+⎨⎪
=⎪⎪=⎪⎩①②③
④⑤ 由②与③得：22d a =，
则1343421)d a d d d a a
=⎧⎪
=⎨⎪
=-=⎩ 由⑤得：342d d λ=，
21)2a λ=
(8)2λλ--=，
12(01)17
λ-=
∈，
故存在1217
λ-=
满足题设条件． 方法二：（1）设1AF B △为等腰直角三角形，依题设可得：
21212212
122πsin π81cos 4
πsin 24AF AF AF AF BF BF BF BF λλλλ
⎧⎧===⎪⎪⎪⎪-⇒⎨
⎨⎪⎪
=⎪=⎪⎩⎩
所以12121πsin 1)24AF F S AF AF λ=
=△，12121
2
BF F S BF BF λ==△． 则1
(2AF B S λ=△．①
由
1212
22
1AF F BF F S AF S BF =
=△△，可设2BF d =，
则21)AF d =
，1(2BF AB d ==．
则12
2211(222
AF B S AB d =
=△．②
由①②得2(22d λ=．③
根据双曲线定义122BF BF a -==
可得，1)d =．
平方得：221)4(1)d λ=-．④ 由③④消去d
可解得，12(01)17
λ-=
∈，
故存在1217
λ-=
（理）解：（1）
(
)()
012(0)00F c F F -，
，，，，
021211F F b F F ∴
=
===，，
于是222237
44c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为
2241(0)7x y x +=≥，224
1(0)3
y x x +=≤． （2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222．
2222)2(a c b b =+> ，2
22)2(a b b a ->-∴，得
5
4
<a b ． 又21,222
2
2
2
>∴-=>a b b a c b ． 45b a ⎫
∴∈⎪⎪⎝⎭
，． （3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥，22
221(0)y x x b c
+=≤．
记平行弦的斜率为k ．
当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22
221(0)x y x a b
+=≥的交点是
P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是
Q t ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
． ∴ P Q ，的中点M ()x y ，满足 2
21,
2
a c
t x b y t ⎧-⎪=
-⎨⎪=⎩
， 得
1222
2
2
=+⎪⎭
⎫
⎝⎛-b y c a x ． b a 2<，∴ 2
2
220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪
⎝⎭
． 综上所述，当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22
221(0)x y x a b +=≥的交点是
22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
，． 由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x ka
b y 22
-=上，即不在
某一椭圆上． 当0<k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。