9 数理方程-行波法

3 x t x t
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数学物理方程——行波法 原方程化为标准型:
2u 8 0 2u 0
u = f1(3x – t ) + f2(x + t )
f 1 (3 x ) f 2 ( x ) 3 x 2 f1 (3 x ) f 2 ( x ) 0
达朗贝尔公式
1 1 x at u ( x, t ) [( x at) ( x at)] xat ( )d 2 2a
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数学物理方程——行波法
x 当 t a
时, x – at ≥0
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at) ( x at)] xat ( )d 2 2a
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数学物理方程——行波法
非齐次方程的柯西问题
(B)
2u 2u a 2 2 f ( x, t ) t 2 x u u t 0 0, t 0 0 t
2w 2w a2 2 t 2 t x w w t 0, t f ( x, ) t
t 0
如果 w(x, t, τ )是齐次方程柯西问题
(B)’
的解,则
u( x, t ) w( x, t , )d 是原问题(B)的解。
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数学物理方程——行波法 引入变换: s = t – τ 则问题(B)’ 化为如下形式
wss a 2 wxx , ( s 0, x ) ( x ) w s 0 0, ws s 0 f ( x, ), ( x )
u t 0
u 3x , 0 t t 0
2
解: 微分方程对应的特征线方程为
(dt )2 – 2dt dx – 3(dx )2 = 0
dt 令: dx
得 2 2 3 0
解之 1 3, 2 1
积分:
dt dt 3, 1 得 dx dx 3 x – t = C1, x + t = C2
t 0
x2
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数学物理方程——行波法
半无界弦振动问题
——端点固定 utt a 2u xx 0, (0 x , t 0) u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x), (0 x ) u 0, t 0, (t 0) 将问题视为满足条件 u(0, t) = 0 的无界问题处理。
utt a 2 uxx 0, x u( x ,0) ( x ), ut ( x ,0) ( x ), x
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数学物理方程——行波法 达朗贝尔公式 1 1 x at u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] xat ( )d 2 2a
) 将 φ (x)和ψ (x) 延拓到整个无界区域为 ( x ), ( x 。
将端点条件代入达朗贝尔公式
1 1 x at u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] xat ( )d 2 2a
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数学物理方程——行波法 有 1 1 at [ ( at ) ( at )] at ( )d 0 2 2a
( x), x 0 ( x) ( x), x 0
( x), x 0 ( x) ( x), x 0
半无界弦问题延拓为无界弦问题
utt a 2u xx 0, x u ( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x), x
(at) ( at) 0

at
at
( )d 0
故将 φ (x)、ψ (x) 延拓为奇函数
x0 ( x ), ( x ), x 0 ( x) ( x ) ( x ), x 0 ( x ), x 0 半无界弦问题延拓为无界弦问题
特解——达朗贝尔公式
1 1 x at u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] xat ( )d 2 2a
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数学物理方程——行波法 例
2u 2u 2u 2 3 2 0 2 x xt t
( x∈R, t > 0 )
1 1 u x (0, t ) at at at at 0 2 2a
φ ’(x)具有奇函数特征, φ (x) 具有偶函数特征,
ψ (x) 具有偶函数特征 ψ (x) 具有偶函φ (x)、ψ (x) 延拓为偶函数
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数学物理方程——行波法
半无界弦振动问题
——端点自由 utt a 2u xx 0, 0 x u ( x,0) x , ut x,0 x , 0 x u 0, t 0 x 将端点条件代入达朗贝尔公式,得
x 当 t a
时, x – at < 0
1 u ( x, t ) [ ( x at) (at x)] 2 at x 1 x at [ ( )d ( )d ] 0 2a 0
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数学物理方程——行波法
非齐次方程的柯西问题
2 2u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x u u t 0 ( x), t 0 ( x) t
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数学物理方程——行波法 例 求解初值问题
解: 令 f(x, t) = e x
2u 2u a2 2 ex t 2 x u u t 0 0, t 0 0 t
1 t x a (t ) u ( x, t ) 0 [xa(t ) f ( , )d ]d 2a
u t 0
u 3x , 0 t t 0
2
1 f1 (3x) f 2 ( x) C 3
解:
9 2 3 2 f1 (3x) x C , f 2 ( x) x C 4 4 1 2 3 2 f1 ( x) x C , f 2 ( x) x C 4 4 1 3 2 u ( x, t ) (3x t ) ( x t ) 2 3x 2 t 2 4 4
f1 ( x ) f2 ( x ) ( x ) 1 x f1 ( x ) f2 ( x ) a 0 ( )d C
1 1 x C f1 ( x ) ( x ) ( )d 2 2a 0 2 x f ( x ) 1 ( x ) 1 ( )d C 2 2 2a 0 2
达朗贝尔公式 1 x as w( x, s, ) xas f ( , )d 2a s = t – τ 代入
1 x a (t ) xa(t ) f ( , )d 2a
1 t x a (t ) 问题(B)的解: u ( x, t ) 0 [xa(t ) f ( , )d ]d 2a
x 当 t a
时, x – at ≥0
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at) ( x at)] xat ( )d 2 2a x 当 t 时, x – at < 0 a 1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at) (at x)] at x ( )d 2 2a
t 0
( x)
利用特征线方法，可以求得通解为: u( x , t ) = f1(x + at ) + f2(x – at ) 由初始条件，有
f1 ( x ) f2 ( x ) ( x ) ' af1 ( x ) af2' ( x ) ( x )
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数学物理方程——行波法
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数学物理方程——行波法 思考题
2u 2u a2 2 ex t 2 x u u t 0 5, x2 t 0 t
提示: 令
1 x u ( x, t ) v( x, t ) 2 e a
2v 2v a2 2 t 2 x
v t 0 e x v 5 2 , a t
数学物理方程——行波法
《数学物理方程》第四章
波动方程的解——达朗贝尔公式
达朗贝尔公式应用
非齐次方程的柯西问题
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数学物理方程——行波法
波动方程的解——达朗贝尔公式
无界域内波动方程的柯西问题
2 2u 2 u a 2 t x 2 u u t 0 ( x), t
x , t 0
首先将非奇次方程的柯西问题分为下面两个问题
2 2u 2 u a 2 t x 2
(A)
u t 0 ( x),
u t
t 0
( x)
(B)
2u 2u a 2 2 f ( x, t ) t 2 x u u t 0 0, t 0 0 t

t 0
x a ( t )
x a ( t )
a
e d e

x a ( t )
e
x a ( t )
e

t 1 at a 1 at d [e 1] 0 e d a [e 1] a 1 x at at u ( x, t ) 2 e [e e 2] 2a