温州市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析

温州市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数f （x ）对任意的实数x 均有f （x+2）+f （x ）＝0，f （0）＝3，则f （2022）等于（ ） A ．﹣6 B ．﹣3
C ．0
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
分析可得()4(2)()f x f x f x +=-+=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得
(2022)(24505)(2)(0)f f f f =+⨯==-，即可求解，得到答案．
【详解】
根据题意，函数()f x 对任意的实数x 均有(2)()0f x f x ++=，即(2)()f x f x +=-， 则有()4(2)()f x f x f x +=-+=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数， 则(2022)(24505)(2)(0)3f f f f =+⨯==-=-，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了函数的周期的判定及其应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2．由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ） A ．②①③ B ．②③①
C ．①②③
D ．③①②
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解. 【详解】
由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是： 大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女； 小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生； 结论：②安梦怡是独生子女，故选D. 【点睛】
本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
3．一物体做直线运动，其位移 (单位: )与时间 (单位: )的关系是，则该物体在时的瞬时速度是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度。

【详解】
对求导，得，，
因此，该物体在时的瞬时速度为，故选：A。

【点睛】
本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题。

H:运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下，计算得2K 4．独立性检验中，假设0
k≈.下列结论正确的是
的观测值7.236
A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关
B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关
C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关
D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关
【答案】A
【解析】
【分析】
K的临界值，根据临界值表找到犯错误的概率，即对“运动员受伤与不做热身运动没有关系”可先找到2
下结论。

【详解】
()
2 6.6350.01
P K≥=，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关，故选：A。

【点睛】
本题考查独立性检验，根据临界值表找出犯错误的概率是解这类问题的关键，考查运算求解能力，属于基础题。

5．记函数()ln(1)f x x =+A ，函数3()221x x g x x -=-++，若不等式
(2)(1)2g x a g x ++->对x A ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A ．(4,)+∞
B ．(2,4]-
C ．[4,)+∞
D ．(,2)-∞-
【答案】C 【解析】 【分析】
列不等式求出集合(1,1]A =-，设3()22
x
x
F x x -=-+，可得()F x 既是奇函数又是增函数，故原题等价
于(2)(1)0F x a F x ++->，结合奇偶性和单调性以及分离参数思想可得13a x >-在(]1,1-上恒成立，根据13x -的范围即可得结果. 【详解】 由10
10
x x +>⎧⎨
-≥⎩得11x -<≤，即(1,1]A =-
设3()22
x
x
F x x -=-+，
()()322x x F x x F x --=-=--，即函数()F x 在R 上为奇函数，
又∵22x
x
y -=-和3
y x =为增函数， ∴3()22
x
x
F x x -=-+既是奇函数又是增函数
由(2)(1)2g x a g x ++->得(2)(1)0F x a F x ++->， 则(2)(1)(1)F x a F x F x +>--=-，
∴21x a x +>-即13a x >-在(]1,1-上恒成立， ∵13[2,4)x -∈-，∴4a ， 故选C . 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的应用，恒成立问题，构造函数3()22x
x
F x x -=-+是解题的关
键，属于中档题.
6．设向量()1,1a =-与()
2
2
πsin ,cos ,0,2
b ααα⎛⎤=∈ ⎥⎝
⎦，且1
2
a b ⋅=
，则α=（）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
2
π 【答案】B 【解析】 【分析】 利用1
2
a b ⋅=列方程，解方程求得cos2α的值，进而求得α的值. 【详解】 由于12a b ⋅=，所以22
1sin cos 2αα-=，即1cos 22α=-，而(]20,πα∈，故2ππ2,33
αα=
=，故选B. 【点睛】
本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查二倍角公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
7．2
2
1x y +=经过伸缩变换23x x
y y ''=⎧⎨=⎩
后所得图形的焦距（ ）
A
．B
．C ．4 D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】
由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3
x x y y '
⎧
=
⎪⎪⎨
'⎪=
⎪⎩，代入22
1x y +=得22 149x y ''+=，
∴椭圆的焦距为=A ． 【点睛】
本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题． 8．下列命题是真命题的是（ ）
A ．()2x ∀∈+∞，
，22x x > B ．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件 C ．“2560x x +>－”是“2x >”的充分不必要条件 D ．a b ⊥的充要条件是0a b ⋅= 【答案】B
【解析】 【分析】
取特殊值来判断A 选项中命题的正误，取特殊数列来判断B 选项中命题的正误，求出不等式
2560x x +->，利用集合包含关系来判断C 选项命题的正误，取特殊向量来说明D 选项中命题的正误． 【详解】
对于A 选项，当4x =时，2442=，所以，A 选项中的命题错误； 对于B 选项，若2n
n a =-，则等比数列{}n a 的公比为2q
，但数列{}n a 是递减数列，若12n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，
等比数列{}n a 是递增数列，公比为1
2
q =，所以，“1q >”是“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，B 选项中的命题正确；
对于C 选项，解不等式2560x x +->，得6x <-或1x >，
由于{}{
}
612x x x x x -⊄>或，所以，“2560x x +->”是“2x >”的既不充分也不必要条件，C 选项中的命题错误；
对于D 选项，当0a =时，0a b ⋅=，但a 与b 不一定垂直，所以，D 选项中的命题错误． 故选B.
9．设1F ，2F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使
()
2
2
0OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点）
，且1
2PF =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
1
2
B 1
C ．
1
2
D 1
【答案】D 【解析】 【分析】
取2PF 的中点A ，利用22OP OF OA +=，可得2OA F P ⊥，从而可得12PF PF ⊥，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论． 【详解】
取2PF 的中点A ，则22OP OF OA +=，
()2
2
0OP OF F P +⋅=，2
20OA F P ∴⋅=.
2OA F P ∴⊥，O 是12F F 的中点，1OA PF ∴，12PF PF ∴⊥，
12PF =，)
12221a PF PF PF ∴=-=
，
22
2124PF PF c +=，2c PF ∴=，3131
c e a ∴=
==+-. 故选：D ．
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，确定12PF PF ⊥是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力。

10．直线12,2112x t y t ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）被圆22
4x y +=截得的弦长为（ ）
A ．3
B 14
C ．23
D ．4
【答案】B 【解析】
分析：先消去参数，得到直线的普通方程，再求出圆心到直线的距离，得到弦心距，根据勾股定理求出弦长，从而得到答案.
详解：直线12,2
112x t y t
⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），
1x y ∴+=，即10x y +-=，
圆2
2
4x y +=，
∴圆心()0,0O 到直线10x y +-=的距离为001
2
2
d +-=
=
. ∴直线12,2112x t y t
⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）被圆22
4x y +=截得的弦长为221224142r d -=-=故选：B.
点睛：本题考查了参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式、弦心距与弦长的关系，难度不大，属于基础题.
11．在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为 A ．
715
B ．
730
C ．
115
D ．
130
【答案】A 【解析】
分析：先求出基本事件的总数2
1045n C ==，再求出恰好取到1件次品包含的基本事件个数117321m C C ==，
由此即可求出.
详解：含有3件次品的10件产品中，任取2件，
基本事件的总数2
1045n C ==，
恰好取到1件次品包含的基本事件个数11
7321m C C ==，
恰好取到1件次品的概率2174515
m P n ===. 故选：A.
点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用. 12．已知集合{
}
22
(,)1A x y x y =+=，{}
(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】B 【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆2
2
1x y +=与直线y x =相交于两点
⎝⎭，⎛ ⎝⎭
，则A B 中有2个元素.故选B. 【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 二、填空题：本题共4小题
13．已知椭圆22214x y a +=与双曲线22
12
x y a -=有相同的焦点，则实数a ＝________.
【答案】1 【解析】
由双曲线22
12
x y a -=可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1
或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.
点睛：如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
14．设等差数列{}n a 的公差为d ，若1234576,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =________． 【答案】12
± 【解析】
由题意得2222222411[(3)(2)()0()(2)(3)]47x a d d d d d d d =∴=
-+-+-++++= ，因此12
d =± 15．已知a R ∈，且复数2i
1i
a ++是纯虚数,则a =_______.
【答案】2- 【解析】 【分析】
由复数的运算法则可得2(2)(2)12
a i a a i
i +++-=+，结合题意得到关于a 的方程，解方程即可确定实数a 的值. 【详解】
由复数的运算法则可得：
222(2)(1)22(2)(2)1112
a i a i i a i ai a a i
i i i ++-+-+++-===+--， 复数为纯虚数，则：20
20
a a +=⎧⎨-≠⎩，据此可得：2a =-.
故答案为2-． 【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，纯虚数的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．椭圆2
2
14
y x +=绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为___________．
【答案】
163
π 【解析】 【分析】
利用定积分在几何中的应用解答；所求为1
2024(1)x dx π-⎰计算可得．
【详解】
解：由2
2
14
y x +=，得2244y x =-，
将椭圆2
214y x +
=绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1
1
230
011624(1)833V x dx x x πππ⎛
⎫=-=-=
⎪⎝⎭⎰ 故答案为：163
π
【点睛】
本题考查了定积分的应用；将()f x 旋转得到几何体的体积为2(())b
a
f x dx π⎰，属于基础题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-
（Ⅰ）解不等式()()216f x f x ++≥；
（Ⅱ）对()1,0a b a b +=>及x R ∀∈，不等式()()41
f x m f x a b
---≤+恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）(][),13,-∞-+∞.
（Ⅱ）135m -≤≤. 【解析】 【分析】 【详解】
详解：（Ⅰ）()()133,,21212211,2,233, 2.x x f x f x x x x x x x ⎧
-<⎪⎪
⎪
++=-+-=+≤≤⎨⎪
->⎪⎪⎩
当1
2
x <时，由336x -≥，解得1x ≤-； 当
1
22
x ≤≤时，16x +≥不成立； 当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥. 所以不等式()6f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞.
（Ⅱ）因为()1,0a b a b +=>，
所以
(
)41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
. 由题意知对x R ∀∈，229x m x -----≤， 即()
max
22
9x m x -----≤，
因为()()22224x m x x m x m -----≤---+=--， 所以949m -≤+≤，解得135m -≤≤. 【点睛】
⑴ 绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法．
⑵ 不等式的恒成立可用分离变量法．若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也是求最值．一般有： ① ()()(f x g a a <为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔> ②()()(f x g a a >为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔< ．
18．已知定义域为R 的函数()122x x b
f x a
+-+=+是奇函数．
（1）求,a b 的值；
（2）已知()f x 在定义域上为减函数，若对任意的t R ∈，不等式()()
2
2
20(f t t f t k k -+-<为常数）
恒成立,求k 的取值范围.
【答案】解：（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，
即1
11201,().2222x x b b f x +--=⇒=∴=++………………………3 （2）由（1）知11211()22221
x x x
f x +-==-+++，………………………5 设12x x <，则21
1
212121122()()2121(21)(21)
x x x x x x f x f x --=-=++++. 因为函数y=2x 在R 上是增函数且12x x <， ∴2122x x ->0.
又12(21)(21)x x
++>0 ，∴12()()f x f x ->0，即12()()f x f x >，
∴()f x 在(,)-∞+∞上为减函数.另法：或证明f′(x)0 (9)
（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式
22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-， (3)
因为()f x 为减函数，由上式推得2222t t k t ->-．即对一切t ∈R 有2320t t k -->， 从而判别式14120.3
k k ∆=+<⇒<-………………………13 【解析】
定义域为R 的奇函数()00f =，得b=1，在代入1，-1，函数值相反得a;
()()22220f t t f t k -+-<()()()()
22222222f t t f t k f t t f t k ∴-<--∴-<-+,通常用函数的单调
性转化为自变量的大小关系． （1
）
()f x 是奇函数，∴()00f =，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
即
102b
a -+=+∴1
b =∴()121
2x
x f x a
+-+=+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 ()()11f f =--∴1
1
21241a a
-+-+=-++┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
∴2a =┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
（2）由（1）知
由上式易知()f x 在R 上为减函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 又因为()f x 为奇函数，从而不等式()()
2
2
220f t t f t k -+-<，
等价于(
)(
)(
)
2
2
2
222f t t f t k f t k -<--=-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
()f x 为减函数∴2222t t t k ->-+┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
即对一切t R ∈都有2320t t k -->┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
∴4120k ∆=+<∴1
3
k <-┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
19．甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
（1）计算x ，y 的值；
（2）若规定考试成绩在[]120150
,为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率； （3）若规定考试成绩在[]120150
,内为优秀，由以上统计数据填写下面22⨯列联表，若按是否优秀来判断，是否有95%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
附：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.
【答案】（1）6x =，7y =；（2）40%；（3）有95﹪的把握认为两个学校数学成绩有差异 【解析】 【分析】
（1）由分层抽样的知识及题中所给数据分别计算出甲校与乙校抽取的人数，可得x ，y 的值； （2）计算样本的优秀率，可得乙校的优秀率；
（3）补全22⨯列联表，计算出2K 的值，对照临界表可得答案. 【详解】
解：（1）由题意知，
甲校抽取1100
105552100⨯
=人，则6x =， 乙校抽取1000
105502100
⨯
=人，则7y =. （2）由题意知，乙校优秀率为1037
100%40%50
++⨯=. （3）填表如下表（1）. 甲校 乙校 总计 优秀
10
20 30 非优秀 45 30 75 总计
55
50
105
根据题意22
105(10302045)336
6.109 3.8415550307555
K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
由题中数据得，有95﹪的把握认为两个学校数学成绩有差异. 【点睛】
本题主要考查了分层抽样及频率分布直方图的相关知识、独立性检验及其应用，属于中档题，注意运算准确.
20．把四个半径为R 的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的
距离． 【答案】 (2+26
)R 【解析】 【分析】
四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。

【详解】
解：将四个球心两两连结，构成一个棱长为2R 的正四面体1234.O O O O - 设底面正三角形234O O O 的中心为H,则232232,3O H R R =⋅
⋅= ()2
2
123262.3O H R R R ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 故上层小球最高处离桌面的距离为262.R ⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝
⎭ 【点睛】
四个小球两两相切，其四个球心构成正四面体。

21．设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）． （1）求f （0）；
（2）证明f （x ）是奇函数；
（3）解不等式f （x 2）—f （x ）＞f （3x ）．
【答案】（1）0；（2）见解析；（3）{x|x<0或x>5} 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f （0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f （x ）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等
的解
集即可． 试题解析：（1）令，得
，
∴
定义域关于原点对称
，得
，
∴
∴
是奇函数 ，
即
又由已知得：
由函数
是增函数，不等式转化为
∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．
考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；其他不等式的解法． 【方法点睛】
解决抽象函数问题常用方法：1．换元法：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法；
2．方程组法：运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题；
3．待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题； 4．赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决； 5．转化法：通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便；
6．递推法：对于定义在正整数集N*上的抽象函数，用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解；
7．模型法：模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法；应掌握下面常见的特殊模型：
22．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，圆22:230T x y x ++-=与y 轴的一个交点为A ，圆T 的圆心为E ，AEF ∆为等边三角形. （1）求抛物线C 的方程
（2）设圆T 与抛物线C 交于U 、V 两点，点()00,P x y 为抛物线C 上介于U 、V 两点之间的一点，设抛物线C 在点P 处的切线与圆T 交于M 、N 两点，在圆T 上是否存在点Q ，使得直线QM 、QN 均为抛物线C 的切线，若存在求Q 点坐标（用0x 、0y 表示）；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）2
:4C y x =； （2）存在圆上一点000032,11x y Q x x ⎛⎫
--
⎪++⎝⎭
满足QM 、QN 均为为抛物线C 的切线，详见解析.
【解析】 【分析】
（1）将圆T 的方程表示为标准方程，得出其圆心E 的坐标，求出点A 的坐标，求出抛物线C 的焦点F 的坐标，然后由AEF ∆为等边三角形得出EF 为圆T 的半径可求出p 的值，进而求出抛物线C 的方程；
（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，设切线QM 、
QN 的方程分别为()111x x t y y -=-和()222x x t y y -=-，并写出抛物线C 在点P 的切线方程，设0
02
y t =
，并设过点M 的直线()11x x t y y -=-与抛物线C 相切，利用0∆=可求出1t 、2t 的表达式，从而可用0y 表示直线QM 、QN ，然后求出点Q 的坐标，检验点Q 的坐标满足圆T 的方程，即可得出点Q 的存在性，并得出点Q 的坐标. 【详解】
（1）圆T 的标准方程为()2
214x y ++=，则点()1,0E -，抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
， AEF ∆为等边三角形，则2EF AE ==，即
122
p
+=，解得2p =， 因此，抛物线2
:4C y x =；
（2）设()11,M x y 、()22,N x y .过点M 、N 作抛物线C 的两条切线（异于直线MN ）交于点Q ，并设切线()111:QM l x x t y y -=-，()222:QN l x x t y y -=-，
由替换法则，抛物线C 在点()00,P x y 处的切线方程为()002y y x x =+， 即00:2MN y l x y x =
-，记002
y
t =，① 设过点M 的直线()11x x t y y -=-与抛物线C 相切，
代入抛物线方程2
4y x =，得2114440y ty ty x -+-=，
()21116160t ty x ∴∆=--=，即2110t y t x -+=，011t t x ∴=，011t t y +=，
由①可得，01
11022
y x t y y =
=-，2
101024y y x y ∴=+，②，同理可得，2202x t y =，
∴切线()11102:QM x l x x y y y -=
-，()2
220
2:QN x l x x y y y -=-， 联立两式消去y 可得，12211212
021000
222Q x x y y x x x x x y x x y y x -=
⋅=⋅=-，③
代入QM
l 可得，20122
00100
4221
22Q x y y y x y y y y y -+=
-+=④ 代入②有，()120
Q
x x y y +=
，
联立00:2
MN y l x y x =
-与圆T 可得，()()22222
00000482430y x x y x x y ++++-=， ()222
00000
122
0004341244411
x y x x x x x y x x --∴⋅===-+++， 分别代入③、④可得0031
Q x x x -=
+，0
021Q y y x =-+，
()()()()()2
2
2
2
2
2
0000200
22
00002242216321141111Q Q x y x x x y x y x x x x -+-+⎛⎫⎛⎫-++=++-=== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
， 即切线QM 、QN 的交点Q 在圆T 上， 故存在圆上一点000032,11x y Q x x ⎛⎫
-- ⎪++⎝⎭
，满足QM 、QN 均为抛物线C 的切线.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的切线方程，同时也考查了韦达定理，解题的关键就是直线与抛物线相切，得出切线斜率倒数之间的关系，考查计算能力，属于难题.。