初一第四讲讲义

初一数学第四讲讲义
三元一次方程组和含系数的二元一次方程组
例题 1 汽车在平路上每小时行30 公里，上坡时每小时行28 公里，下坡时每小时行35 公里，此刻行驶142 公里的行程用去 4 小时三十分钟，回来使用 4 小时 42 分钟，问这段平路有多
少公里？去时上下坡路各有多少公里？
解：去时上坡x 平路 y 下坡 z x+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4.5 z/28+y/30+x/35=4.7答案：
x=42 y=30 z=70
例 2 .在代数式ax 的平方 +bx+c 里 ,当 x=1,2,-3 时代数式的值分别是0，3，28，则这个代数式是？解：依据题意获得方程组：a+b+c=0 方程 1 4a+2b+c=3 方程 2 9a-3b+c=28 方程 3 方
程 2-方程 1,得: 3a+b=3 方程 3-方程 1,得 : 5a-5b=25,即 :a-b=5 获得新方程组：3a+b=3 a-b=5解方程组得 : a=2 b=-3 把 a=2,b=-3 代入原方程得：c=1 因此原方程组解为：a=2,b=-3,c=1
例 3 已知方程组的解x，y知足方程5x-y=3 ，求 k 的值 .
此题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.
（１）由已知方程组消去k，得 x 与 y 的关系式，再与5x-y=3 联立构成方程组求出x，y 的值，最后将x， y 的值代入方程组中任一方程即可求出k 的值 .
（２）把k 当成已知数，解方程组，再依据5x-y=3 成立对于k 的方程，即可求出k 的值 .
（３）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11 ，又知 5x-y=3 ，因此整体代入即可求出
k 的值 .
把代入①，得，解得k=-4.
解法二：①× 3－②×２，得17y=k-22 ，
解法三：① +②，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.
【小结】解题时我们要以一般解法为主，特别方法固然奇妙，可是不简单想到，有思虑奇妙
解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，自然，奇妙解法很简单想到的话，那
就应当用奇妙解法了 .
例 4 某种商品价钱为每件３３元，某人身旁只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，
买了一件这类商品 . 若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？哪一种付款方式付出的张数最少？【思虑与剖析】此题我们能够运用方程思想将此问题转变为
方程来求解 . 我们先找出问题中的数目关系，再找出最主要的数目关系，建立等式 . 而后找出已知量和未知量设元，列方程组求解.
最后，比较各个解对应的x+y 的值，即可知道哪一种付款方式付出的张数最少.
x，付出５元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数.依题意解：设付出２元钱的张数为
可得方程：2x+5y=33.
由于 5y 个位上的数只可能是０或５，因此2x 个位上数应为３或８.
又由于２ x 是偶数，因此２x 个位上的数是８，进而此方程的解为：
由得 x+y=12；由得x+y=15.因此第一种付款方式付
出的张数最少.
答：付款方式有３种，分别是：付出４张２元钱和５张５元钱；付出９张２元钱和３张５元
钱；付出１４张２元钱和１张５元钱.此中第一种付款方式付出的张数最少.
例 5、解方程组
本例是一个含字母系数的方程组. 解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程同样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值能否为零.
说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示此外两个未知数，再依据比率的性质求
解．当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把此中一个未知数看作已知常数来解方程组。

解：由①，得y=4－ mx，③把③代入②，得2x+5 （ 4－ mx） =8，
解得（ 2－ 5m） x=-12 ，当 2－ 5m＝ 0，即 m＝时，方程无解，则原方程组无解.
当 2－ 5m≠ 0，即 m≠时，方程解为
将代入③，得故当m≠时，原方程组的解为
【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法同样，但注意求解时
需要议论字母系数的取值状况．对于x、 y 的方程组a1、 b 1、 c1、 a2、 b2、 c2均为已知数，且a1与 b 1、 a2与 b 2都起码有一个不等于零，则①时，原方程组有
.唯一解；②时，原方程组有无量多组解；③时，原方程组无解
例 6 某中学新建了一栋 4 层的教课大楼，每层楼有8 间教室，这栋大楼共有 4 道门，此中两道正门大小同样，两道侧门大小也同样. 安全检查中，对 4 道门进行了训练：当同时开启一
道正门和两道侧门时， 2 分钟内能够经过560 名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，
4 分钟能够经过800 名学生 .
（ 1）求均匀每分钟一道正门和一道侧门各能够经过多少名学生？
（ 2）检查中发现，紧迫状况时因学生拥堵，出门的效率将降低20％. 安全检查规定，在紧迫状况下全大楼的学生应在 5 分钟内经过这 4 道门安全撤退. 假定这栋教课大楼每间教室
最多有45 名学生，问：建筑的这 4 道门能否切合安全规定？请说明原因.
【解】（1）设均匀每分钟一道正门可经过x 名学生，一道侧门能够经过y 名学生 .
依据题意，得
因此均匀每分钟一道正门能够经过学生120 人，一道侧门能够经过学生80 人.
（ 2）这栋楼最多有学生4× 8× 45=1440（人） . 拥堵时 5 分钟 4 道门能经过
5× 2×（ 120+80 ）×（ 1-20%） =1600（人）.
由于 1600>1440 ，因此建筑的 4 道门切合安全规定.
答 : 均匀每分钟一道正门和一道侧门各能够经过120 名学生、80 名学生；建筑的这 4 道门切合安全规定 .
【例 7】某水果批发市场香蕉的价钱以下表：
张强两次共购置香蕉50 千克（第二次多于第一次），共付款264 元，请问张强第一次、第
二次分别购置香蕉多少千克？
【剖析】要想知道张强第一次、第二次分别购置香蕉多少千克，我们能够从香蕉的价钱和张
强买的香蕉的千克数以及付的钱数来下手. 经过察看图表我们可知香蕉的价钱分三段，分别
是 6 元、5 元、4 元 . 相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们能够假定张强两次买的香蕉的
千克数分别在某段范围内，利用分类议论的方法求得张强第一次、第二次分别购置香蕉的千
克数 .
解：设张强第一次购置香蕉x 千克，第二次购置香蕉y 千克．由题意，得0<x<25．
①当 0<x≤ 20， y≤ 40 时，由题意，得
②当 0<x≤ 20，y>40 时，由题意，得（与0<x≤ 20，y≤ 40相矛盾，不合题意，舍去）．
③当 20<x<25 时， 25<y<30．此时张强用去的款项为5x+5y=5（ x+y） =5× 50=250<264（不合题意，舍去）.
综合①②③可知，张强第一次购置香蕉14 千克，第二次购置香蕉36 千克 .
答：张强第一次、第二次分别购置香蕉14 千克、 36 千克 .
【反省】我们在做这道题的时候，必定要考虑周到，不可以说想出了一种状况就以为万事大吉了，要进行分类议论，考虑全部的可能性，看有几种状况切合题意.
【例8】用如图１中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图２的竖式和横式两种
无盖纸盒 .此刻库房里有１０００张正方形纸板和２000 张长方形纸板，问两种纸盒各做多
少个，恰巧将库存的纸板用完？
【思虑与剖析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000，长方形纸板的总数2０００，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数.并且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用必定数
量的正方形纸板和长方形纸板做成，假如我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和
长方形纸板，就能成立起以下的等量关系：
每个竖式纸盒要用的正方形纸板数×竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的正方形纸板
数×横式纸盒个数=正方形纸板的总数
每个竖式纸盒要用的长方形纸板数×竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的长方形纸板
数×横式纸盒个数=长方形纸板的总数
经过察看图形，可知每个竖式纸盒分别要用１张正方形纸板和４张长方形纸板，每个横式纸盒分别要用２张正方形纸板和３张长方形纸板.
解：由题中的等量关系我们能够获得下边图表所示的关系.
设竖式纸盒做x 个，横式纸盒做y 个 .依据题意，得
①× 4- ②，得５y=2000，解得y=400.把y=400代入①，得x+800=1000 ，解得 x=200.
因此方程组的解为由于 200 和 400 均为自然数，因此这个解切合题意.
答：竖式纸盒做２００个，横式纸盒做４００个，恰巧将库存的纸板用完.。