2018年数学同步优化指导北师大版选修2-3练习：阶段质量评估3 含解析 精品

阶段质量评估(三) 统计案例
A 卷
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是( )
A ．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义
B ．独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义
C ．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的
D ．独立性检验如果得出的结论有99%的可信度，就意味着这个结论一定是正确的 解析：相关关系是对变量的预报量，也可能是错误的． 答案：C
2．对于回归直线方程y ＝bx ＋a ，下列说法不正确的是( ) A ．直线必经过点(x －，y －
)
B ．x 增加一个单位时，y 平均增加b 个单位
C ．样本数据中x ＝0时，可能有y ＝a
D ．样本数据中x ＝0时，一定有y ＝a
解析：利用回归方程y ＝bx ＋a 预报y 值，不是精确值，故D 不正确． 答案：D
3．下列现象的相关程度最高的是( )
A ．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87
B ．流通费用率与商业利润之间的相关系数为－0.94
C ．商品销售额与商业利润之间的相关系数为0.51
D ．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为－0.81 解析：|r |越接近1，相关程度越高． 答案：B
4．根据某班学生数学、外语成绩得到的2×2列联表如下：
那么χ2约等于( )
A ．10.3
B ．8
C ．4.25
D ．9.3
解析：由公式得
χ2
＝85×(34×19－17×15)251×34×49×36
≈4.25．
答案：C
5．某考察团对全国10大城市的职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)进行统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )
A ．83%
B ．72%
C ．67%
D ．66%
解析：当y ＝7.675时，x ＝7.675－1.562
0.66≈9.262，
7.675
9.262×100%≈83%.故选A ． 答案：A
6．若线性回归方程中的回归系数b ＝0，则相关系数为( ) A ．r ＝1 B ．r ＝－1 C ．r ＝0
D ．无法确定
解析：∵b ＝0时，
∑i ＝1
n
x i y i －n x － y －
∑i ＝1
n x 2i －n x
－2
＝0⇒∑i ＝1
n
x i y i －n x －y －
＝0，
∴r ＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x － y
－
∑i ＝1
n
x 2i －n x
－2
∑i ＝1
n
y 2i －n y
－
2
＝0．
答案：C
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 7．下列说法正确的是________．(填序号) ①回归分析就是研究两个相关事件的独立性； ②回归模型都是确定性的函数； ③回归模型都是线性的；
④回归分析的第一步通常是画散点图或求相关系数r ；
⑤回归分析就是通过分析、判断，确定相关变量之间的内在的关系的一种统计方法． 解析：①②③错误，④⑤正确． 答案：④⑤
8．下面是关于出生男婴与女婴调查的列联表：
那么A ＝________，B ＝________，C ＝________，D ＝________，E ＝________． 解析：∵45＋E ＝98，∴E ＝53． ∵E ＋35＝C ，∴C ＝88． ∵98＋D ＝180，∴D ＝82． ∵A ＋35＝D ，∴A ＝47．
∵45＋A ＝B ，∴B ＝92． 答案：47 92 88 82 53
9．在研究硝酸钠的可溶性程度时，在不同的温度下观测它在水中的溶解度，得到观测结果如下表：
已知这两个变量之间具有线性相关性，则由此得到回归直线的斜率是________(保留4个有效数字)．
解析：∵x －＝30，y －
＝93.6，∑i ＝1
5x i y i ＝17 035，∑i ＝1
5
x 2i ＝7 900，
∴b ＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x － y －∑i ＝1
5
x 2i －5x
－2
＝17 035－5×30×93.6
7 900－5×302
≈0.880 9．
答案：0.880 9
三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(本小题满分10分)在国家未实施西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取1 000人问卷，只有80人志愿加入西部建设．而国家实施西部开发战略后，随
机抽取1 200名应届大学毕业生问卷，有400人志愿加入国家西部建设．
根据以上数据建立一个2×2的列联表． 解：2×2的列联表为
11．(本小题满分12分)下面是具有线性相关关系的两个变量的一组数据.
求x 与y 两个变量之间的回归直线方程．
解：根据表中的数据，可以计算出有关数据，列成下表.
所以x －＝18×36＝4.5，y －＝1
8
×204＝25.5．
所以b ＝
∑i ＝1
8
x i y i －8x － y
－∑i ＝1
8x 2i －8x －
2
＝
1 296－8×4.5×25.5
204－8×4.52
＝9，
a ＝y －－
b x －
＝25.5－9×4.5＝－15． 所以回归直线方程为y ＝－15＋9x ．
12．(本小题满分13分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
(2)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
解：(1)设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A －
表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．
基本事件总数为10，事件A －
包含的基本事件数为4． ∴P (A －
)＝410＝25．
∴P (A )＝1－P (A －)＝3
5
．
(2)x －＝12，y －
＝27，∑i ＝1
3
x i y i ＝977，
∑i ＝1
3
x 2i ＝434，
∴b ＝
∑i ＝1
3
x i y i －3x －y
－
∑i ＝1
3x 2i －3x －
2
＝977－3×12×27
434－3×122
＝2.5，
a ＝y －－
b x －
＝27－2.5×12＝－3． ∴y ＝2.5x －3．
(3)由(2)知，当x ＝10时，y ＝22，误差不超过2颗； 当x ＝8时，y ＝17，误差不超过2颗． 故所求得的线性回归方程是可靠的．
B 卷
(时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．已知x ，y 的取值如表所示：
如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝bx ＋13
2，那么b 的值为( )
A ．－1
2
B ．12
C ．－110
D ．110
解析：将x －＝3，y －
＝5代入y ＝bx ＋132中，得b ＝－12.故选A ．
答案：A
2．两个相关变量满足如下关系：
则两变量的回归方程为( ) A ．y ＝0.56x ＋997.4 B ．y ＝0.63x －231.2 C ．y ＝0.56x ＋501.4
D ．y ＝60.4x ＋400.7
解析：回归直线经过样本中心点(20,1 008.6)，经检验只有选项A 符合题意．故选A ． 答案：A
3．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
y ＝－0.7x ＋a ，则a 等于( )
A ．5
B ．5.05
C ．5.25
D ．6
解析：x －＝2.5，y －
＝3.5， ∵回归直线过定点(x －，y －
)， ∴3.5＝－0.7×2.5＋a ． ∴a ＝5.25． 答案：C
4．以下四个命题：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标
检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8；
④对分类变量X 与Y 的随机变量χ2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，不是分层抽样，故①是假命题；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，是真命题；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，则分布密度曲线关于直线x ＝1对称，所以P (0＜ξ＜1)＝P (1＜ξ＜2)，所以P (0＜ξ＜2)＝P (0＜ξ＜1)＋P (1＜ξ＜2)＝0.4＋0.4＝0.8，③是真命题；④对分类变量X 与Y 的随机变量χ2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小，所以④是假命题．综上，应选C ．
答案：C
5．在一次男女生是否说谎的调查中，得到如下数据，根据表中数据可知下列结论正确的是( )
A ．在此次调查中有
B ．在此次调查中有99%的把握认为说谎与性别有关
C ．在此次调查中有90%的把握认为说谎与性别有关
D ．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关
解析：根据表中数据可求得χ2
＝30×(6×9－7×8)2
13×17×14×16
≈0.002 4，因为0.002 4＜2.706，所
以在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关．故选D ．
答案：D
6．某工厂为预测某种产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8
组观察值．计算知∑
i ＝18
x i ＝52，∑
i ＝18
y i ＝228，∑
i ＝18
x 2
i ＝478，∑i ＝1
8
x i y i ＝1 849，则
y 对x
的线性回归方程是( )
A ．y ＝11.47＋2.62x
B ．y ＝－11.47＋2.62x
C ．y ＝2.62＋11.47x
D ．y ＝11.47－2.62x
解析：由已知条件得x －＝6.5，y －
＝28.5．
由b ＝
∑i ＝1
8
x i y i －n x － y
－
∑i ＝1
8
x 2i －n x －
2
，a ＝y －－b x －
， 计算得b ≈2.62，a ≈11.47， 所以y ＝11.47＋2.62x ． 答案：A
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 7．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－2.现预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________.
解析：由题意可知x －＝1
4(18＋13＋10－1)＝10，
y －＝1
4
(24＋34＋38＋64)＝40，b ＝－2．
又线性回归方程y ＝－2x ＋a 过点(10,40)，故a ＝60． 所以当x ＝－4时，y ＝－2×(－4)＋60＝68． 答案：68
8．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y ＝3e 2x
＋1
的
图像附近，则可通过转换得到的线性回归方程为____________________．
解析：由y ＝3e 2x ＋
1，得ln y ＝ln(3e 2x ＋
1)，
即ln y ＝ln 3＋2x ＋1．
令u ＝ln y ，v ＝x ，则线性回归方程为u ＝1＋ln 3＋2v ． 答案：y ＝1＋ln 3＋2x
9．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，并利用2×2列联表计算得χ2≈3.918．
对此，四名同学做出了以下的判断：
p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
r ：这种血清预防感冒的有效率为95%； s ：这种血清预防感冒的有效率为5%．
则下列复合命题中，正确的是________．(填序号)
①p ∧¬q ；②¬p ∧q ；③(¬p ∧q )∧(r ∨s )；④(p ∧¬r )∧(¬q ∨s )．
解析：因为χ2＞3.841，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；95%仅是指“血清与预防感冒”可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能，故p 真，其余都假．结合复合命题的真假判断可知，①④正确．
答案：①④
三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(本小题满分10分)某校团对“学生性别与是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女
生人数的2
3，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生
至少有多少人？
解：设男生人数为x .依题意可得2×2列联表如下：
若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2＞3.841， 由χ2＝3x 2×⎝⎛⎭⎫x 6×x 6－5x
6×x 32x ×x 2×x 2×x ＝3
8x ＞3.841，
解得x ＞10.24．
∵x 2，x
6为整数，∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．
11．(本小题满分12分)在某次试验中，有两个试验数据x ，y ，统计的结果如下面的表格1．
表格1
(1)在给出的坐标系中画出数据(x ，y )的散点图．
(2)补全表格2． 表格2
根据表格2的内容和公式b ＝
∑i ＝1
n
x
i y i －n x － y
－
∑i ＝1
n
x 2i －n x
－
2
，a ＝y －－b x －：
①求出y 对x 的回归直线方程y ＝a ＋bx 中回归系数a ，b ； ②估计当x 为10时y 的值是多少． 解：(1)数据(x ，y )的散点图如图所示．
(2)表格如下：
①计算得x －＝3，y －
＝3.6，
b ＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x － y
－
∑i ＝15
x 2i －5x －
2
＝
61－5×3×3.6
55－
5×32
＝0.7，
a ＝y －－
b x －
＝3.6－0.7×3＝1.5． ②y ＝a ＋bx ＝1.5＋0.7x ， 当x 为10时，y ＝8.5．
12．(本小题满分13分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝1
8
w i ．
(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．
(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截
距的最小二乘估计分别为β＝
∑i ＝1
n
(u i －u )(v i －v )
∑i ＝1
n
(u i －u )2
，α＝v －βu ．
解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．
(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．
由d ＝
∑i ＝1
8
(w i －w )(y i －y )
∑i ＝1
8
(w i －w )2
＝108.81.6
＝68， c ＝y －d w ＝563－68×6.8＝100.6，
所以y 关于w 的线性回归方程为y ＝100.6＋68w ． 因此y 关于x 的回归方程为y ＝100.6＋68x ． (3)①由(2)知，当x ＝49时，
年销售量y 的预报值为100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值为576.6×0.2－49＝66.32． ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值为 0．2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12． 所以当x ＝13.6
2＝6.8，即x ＝46.24时，预报值最大．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．。