2022-2023学年安徽省高一下学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年安徽省高一下学期期中联考数学试题
一、单选题1．若复数满足
（是虚数单位），则（ ）
z ()2i i
z ⋅-=i z =A ．B ．C ．D ．12
i 55+12
i 55-12
i 55-+12i 55
--【答案】C
【分析】根据复数的除法运算，化简即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
()()()i 2i i 2i 112i 2i 2i 2i 555
z +-=
===-+--+故选：C.
2．正的边长为1，则（ ）
ABC AB BC ⋅=
A ．
B ．C
D ．
12
1
2
-
【答案】B
【分析】根据，但要注意向量夹角的定义．
cos a b a b θ
⋅=
【详解】．111cos1202AB BC ⋅=⨯⨯︒=-
故选：B ．
3．一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距海里，随后货轮按北偏西M
S 15︒S a
的方向，以每小时
海里的速度航行30分钟后到达处．又测得灯塔在货轮的东北
30︒20
N 方向，则（ ）=
a A ．20B ．40
C ．
D ．40-40+【答案】A
【分析】由题意得出，，，再由两角和的正弦公式求出，根据正弦定理MN SNM
∠MSN ∠sin105
︒即可求出的值．a 【详解】由题可知，
，
，
20
0.510MN =⨯=4560105SNM ∠=︒+︒=︒，180105(3015)30MSN ∠=︒-︒-︒+︒=︒由两角和的正弦公式得：
sin105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60︒=︒+︒=︒︒+︒︒=在中，由正弦定理得：
MNS
，sin sin MN SM MSN SNM =∠
∠sin105a
=
解得，20a =故选：A ．
4．如图，在正六边形中，
（ ）ABCDEF DE AF CB BE +--=
A ．
B ．
C ．
D ．
AD
BE
CF 【答案】A
【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解.
【详解】由已知，
BE BA AF FE =++ 所以.
DE AF CB BE DE AF C BA AF B FE +--=+---- 所以，
B D E A FE E AF CB BE D CB +--=--- 又，
,DE BA CB FE ==- 所以0
DE AF CB BE +--=
故选：A.
5．已知圆锥的顶点为，过母线的截面面积是若的夹角是，且母线的A ,AB AC ,AB AC 60︒AC 长是高的2倍，则该圆锥的体积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．()
6π
【答案】B
【分析】由已知可推得圆锥的母线作出圆锥的轴截面，即可得出底面圆的半径
l =h =
.
r =【详解】设圆锥的母线长是，过母线的截面即为，
l ,AB AC ABC
由已知可得21
sin 602ABC S l =︒= l =
所以高h =作出圆锥的轴截面如下图为等腰三角形，底面圆的圆心为，半径，
AMN O r ON =
如图有AN l ==AO h ==ON ==r =
所以该圆锥的体积是.
2
211ππ33h V r ⨯
===故选：B.
6．已知向量是非零向量，是单位向量，的夹角为，且，则（ ）
a b ,a b 120︒()
a a
b ⊥+ a b -=
A B ．C ．D ．3414
12
【答案】A
【分析】由已知结合数量积的运算律以及定义，即可得出
.然后根据数量积的运算律，展开12a =
，即可得出答案.
2a b
- 【详解】因为，所以，
()a a b ⊥+ ()
a a
b ⋅+= 即，即.
20a a b +⋅= 221cos12020a a b a a +⋅︒=-=
因为，所以
，0
a ≠
12a = 所以
，2222a b a a b b -=-⋅+ 1117
2114224⎛⎫=-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭
所以，a - 故选：A.
7．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，1v 1||10km/h v =水流的速度
的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向
2v 2||4km/h v =1v 2v (0)θθπ<<A 上位于北岸的码头处，则等于（ ）
B cos θ
A ．
B ．
C ．
D ．25
-
35
-
45
-
【答案】B 【解析】由题意知由向量数量积的定义可得选项.
()2120,
v v v +⋅= 【详解】由题意知有即所以，(
)
2120,
v v v +⋅=
2
2
12||c ||os 0,v v v θ+= 2
104cos 40,θ⨯+=2cos 5θ=-故选：B ．
【点睛】本题考查向量的实际应用，关键在于理解向量的数量积的意义和熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题.8．设直三棱柱
的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且
111ABC A B C -40π，则此直三棱柱的表面积是（ ）
1,120AB AC AA BAC ∠===
A ．
B ．
C ．
D ．16+8+8+16+【答案】D 【分析】设
，由题意计算得外接圆的半径，从而计算出外接球的
12AB AC AA m ===ABC 2r m =半径，根据球的表面积公式求得的值，从而得三棱柱各棱长，再利用三棱柱的表面积公式计算即m 可.【详解】设
，因为，所以.
12AB AC AA m ===120BAC ∠= 30ACB ∠= 于是（是外接圆的半径），.
22sin30m
r =
r ABC 2r m =
又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，
ABC 1
AA
.
=
所以球的表面积为，解得)2
4π40π⋅
=m =
因此
1AB AC AA BC ====于是直三棱柱的表面积是
1
22162⨯+⨯⨯=+ 故选：D.
二、多选题
9．设是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）z z A ．若，则B ．若，则
z z =R
z ∈0z z +>0
z >C ．若，则D ．若
，则1R z z +∈1z =2
z =4
z z ⋅=【答案】ABD
【分析】设，根据共轭复数的定义，复数相等，复数模的定义，复数除法运算逐i(,R)z a b a b =+∈项判断即可．
【详解】设，则，i(,R)z a b a b =+∈i z a b =-对A ，，故A 正确；i i 0R a b a b b z +=-⇒=⇒∈对B ，
，故B 正确；
i i 000
a b a b a z ++->⇒>⇒>对C ，
或，
222211i i R i a b z a b a b z a b a b a b ⎛
⎫⎛⎫+
=++=++-∈ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭2200b b b a b ⇒-=⇒=+221a b +=故C 不正确；
对D ，
，故D 正确；222||4z z a b z ⋅=+==
故选：ABD ．
10．在三棱锥中，分别是的重心.则下列命题中正确的有（ ）A BCD -,G E ,BCD ACD A ．直线共面B ．直线相交,BG AE ,AG BE C ．
D ．1
2A GBC A DBC
V V --=3AB GE
=【答案】ABD
【分析】根据题意，由条件结合三角形重心的性质，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】
由于分别是的重心，所以分别延长交,G E ,BCD ACD ,BG AE CD 于中点.因此正确.
F A 因为，所以，因此.:2:1,:2:1B
G GF AE EF ==::2:1BG GF AE EF ==GE AB 直线相交，B 正确.
,AG BE 因为是的重心，所以，因此，C 不正确.G BCD △13GBC DBC S S = 1
3A GBC A DBC
V V --=因为，所以.因此，D 正确.GE AB ::3:1AB GE BF GF ==3AB GE =故选：ABD.
11．在中，角的对边分别是，，，且的值可以是
ABC ,,A B C ,,a b c 3a =7b =sin B =
cos C （ ）A ．B ．C ．D ．1
7
1114
-17
-
1114
【答案】CD 【分析】由已知可得.分别求出当，以及
时，的值，根据余弦定理，1cos 2B =±
1
cos 2B =
1cos 2B =-c 即可得出答案.
【详解】因为.sin B =
1cos 2B =±
当
时，由余弦定理可知，
1
cos 2B =
2222cos b a c ac B =+-
，整理可得，，
2221
7362c c =+-⨯
23400c c --=解得，或（舍去），
8c =5c =-所以，由余弦定理可得
；2222227381
cos 22737b a c C ab +-+-===-
⨯⨯当
时，由余弦定理可知，1
cos 2B =-
2222cos b a c ac B =+-，整理可得，，
22217362c c ⎛⎫
=+-⨯- ⎪
⎝⎭23400c c +-=解得，或（舍去），
5c =8c =-所以，由余弦定理可得
.22222273511
cos 227314b a c C ab +-+-===
⨯⨯综上所述，，或.
1cos 7C =-
11cos 14C =故选：CD.
12．如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式
P ABC ,,A B C ,,a b c 成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= △△△正确的有（ ）
A ．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是
ABC P ABC P BC,CA,AB ，则有123
,,h h h 1
230h PA h PB h PC ⋅+⋅+⋅=
B ．若为内一点，且，则是的内心P AB
C 0PA PB PC ++= P ABC C ．若为内一点，且，则P ABC 1255AP AB AC =+
::2:1:2PBC PAC PAB
S S S = D ．若的垂心在内，是的三条高，则
ABC P ABC ,,AD BE CF ABC 0PD PE PF PA PB PC AD BE CF ⋅+⋅+⋅= 【答案】ACD
【分析】若是等边三角形，设其高为，用
和表示出
，代入奔驰
ABC h 123
,,h h h h ,,PBC PAC
PAB
S S
S
△△△定理，化简即可判断A ；由及奔驰定理，根据平面向量基本定理即可得出
0PA PB PC ++=
，即可判断B ；由得出
，结合奔驰定理，PBC PAC
PAB S S S == 1255AP AB AC =+
220PA PB PC ++= 根据平面向量基本定理得出，即可判断C ；点是的垂心，得出
::PBC PAC PAB
S S S P ABC ， ，，代入奔驰定理即可判断D ．PBC ABC
PD
S S AD =
PCA ABC PE S S BE = PAB ABC PF S S CF = 【详解】因为为内任意一点，所以两两不共线；P ABC ,,PA PB PC
对A ：是等边三角形，设其高为，
ABC h 则，，，
1PBC ABC h S S h =
⋅ 2PCA ABC h
S S h =⋅ 3PAB ABC h S S h =⋅ 代入奔驰定理得，，
312
0ABC ABC ABC h h h S PA S PB S PC h h h ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 即，故A 正确；1
230h PA h PB h PC ⋅+⋅+⋅=
对B ：由且
，根据平面向量基本定理得0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= 0PA PB PC ++= ，则是的重心，故B 不正确；
PBC PAC PAB
S S S == P ABC 对C ：，即
，()()
12125555AP AB AC PB PA PC PA
=+=-+-
220PA PB PC ++= 又，0PBC
PAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= 由平面向量基本定理得
，故C 正确；
::2:1:2
PBC PAC PAB S S S = 对D ：由点是的垂心，则，
P ABC PBC ABC S PD
S AD = 所以，同理可得，，，
PBC ABC
PD
S S AD = PCA ABC PE S S BE = PAB ABC PF S S CF = 代入，0PBC
PAC PAB S PA S PB S PC ⋅+⋅+⋅= 得，
0ABC ABC ABC PD
PE PF S PA S PB S PC AD BE CF ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 即，故D 正确；0
PD PE PF PA PB PC AD BE CF ⋅+⋅+⋅= 故选：ACD ．
三、填空题13．已知向量.若，则实数的值是__________.
()()
3,6,1,a b x ==-
//a b
x 【答案】2
-【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式求解即可得答案.
【详解】因为，且，//a b
()()3,6,1,a b x ==- 所以
，得，
()3610
x -⨯-=2x =-故答案为：2-14．在中，，则角的大小是__________.
ABC ()(
)cos24,cos66,2cos69,2cos21AB AC ==
A 【答案】45
【分析】根据向量的模长公式求，再由数量积坐标运算公式求，结合向量夹角公
,AB AC
AB AC ⋅ 式求角的大小.A 【详解】因为
()()
cos24,cos66,2cos69,2cos21AB AC ==
又，
cos 66sin 24,cos 21sin 69==
所以，
||1,||2
AB AC ===
=
2cos24cos692sin24sin692cos45AB AC ⋅=+=
所以，又
，cos cos ,AB AC A AB AC AB AC ⋅===
=⋅
()0,πA ∈所以.45A ︒
=故答案为：.
45
15．设点是外接圆的圆心，，则的值是__________.O ABC 1,2AC AO
BC =⋅=-
sin sin C B 【分析】作出辅助线，得到⊥，变形得到，从而列出方程，求出
OD BC ()
2212AO BC AC
AB
⋅=-
.
【详解】设点是边的中点，连接，则⊥，
D BC OD OD BC 则()
AO BC AD DO BC AD BC DO BC AD BC
⋅=+⋅=⋅⋅=⋅+ ，
()()
()
221122AB AC AC AB AC AB +⋅-==
-
即因此()
2112,2AB AB -=-= sin sin C AB B AC ==
16．依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体的体积是
1111ABCD A B C D -__________.
【答案】43
【分析】作出图形，根据图形可知得到的多面体是正八面体，然后利用锥体的体积计算公式即可求解.
【详解】依次连接棱长为2的正方体六个面的中心，得到的多面体是正八面体，
1111ABCD A B C D -如图，
该正八面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，所以该
正八面体的体积是.214213
3⨯⨯⨯=
故答案为：.
4
3四、解答题
17．如图，在中，，点是线段上一点.
ABC 13AN AC
= P BN
(1)若点是线段的中点，试用和表示向量；
P BN AB AC AP (2)若，求实数的值.
311AP AB mAC
=+
m
【答案】(1)1126AP AB AC
=+ (2).
8
33【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；
（2）根据向量线性运算利用表示，结合平面向量基本定理列方程求的值.
,AB AC AP
m 【详解】（1）因为点是线段的中点，且，
P BN 13AN AC
=
所以.
()
1122AP AB BP AB BN AB AN AB
=+=+=+- 所以；11112226AP AB AN AB AC
=+=+ （2）设
，则BP BN λ= ，
()
()1AP AB BP AB BN AB AN AB AB AN
λλλλ=+=+=+-=-+
又，13AN AC
= 所以，
()13AP AB AC
λλ=-+ 因为，
311AP AB mAC
=+ 所以，
31,113m λλ-=
=所以
.
88,1133m λ=
=
18．已知复数，其中是虚数单位，.
((
2123i,sin cos i
z m m z μθθ=-+=++i ,,R m μθ∈(1)若为纯虚数，求的值；
1
z m (2)若
，求的取值范围.
12z z =μ
【答案】(1)m =(2)
7,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据纯虚数的特征，即可列式求解；
（2）根据复数相等，转化为实部和虚部对应相等，将写为关于的二次函数，μsin θ列式求解.
【详解】（1）因为
为纯虚数，
1
z 所以，解得
2
300m m ⎧-=⎪⎨
≠⎪
⎩m
=（2）由，得1
2z z =2
3sin cos m m μθθ⎧-=+⎪⎨
=⎪⎩因此
.2
2
2
173cos sin sin sin 2sin 24μθθθθθ⎛
⎫=--=-+=-+
⎪⎝⎭因为，所以当
时，；
1sin 1θ-≤≤1sin 2θ=
min 7
4μ=当时，，.故的取值范围是
.sin 1θ=-max
4μ=μ7,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦19．如图，在长方体
中，，截面.
1111ABCD A B C D -
11111A C B D O ⋂=1B D ⋂11A BC P =(1)确定点的位置；P (2)若，，，求线段的长.
3AB =4BC =
16CC =DP 【答案】(1)点为线段与
的交点
P 1B D
1
BO (2)
DP 【分析】（1）根据已知可得出点是平面与平面的公共点，又平面平面
P 11BB D D 11A BC 11BB D D ⋂，即可根据基本事实3得出
，即可得出点的位置；
111
A BC BO =1
P BO ∈P （2）连接，连接
，交于点.易证四边形为平行四边形，进而结合已知可知点
BD 1BD 1DB M 11D DBB 是
的重心，推得
.然后根据长方体的棱长求出体对角线P 11BB D △12
3DP DB =
1DB =答案.
【详解】（1）因为
，平面，
1P B D ∈1B D ⊂11BB D D 所以平面.
P ∈11BB D D 又平面，所以点是平面与平面的公共点.P ∈11A BC P 11BB D D 11A BC 又因为平面
平面，
11BB D D ⋂111A BC BO =根据基本事实3，可得.
1P BO ∈又因为
，所以，
1P B D ∈11B D BO P = 即点为线段
与
的交点.
P 1B D
1
BO （2）连接，连接
，交于点.由（1）知点为与交点.
BD 1BD 1DB M P 1BO 1B
D 因为
，
，所以四边形为平行四边形，
11
DD BB ∥11
DD BB =11D DBB 所以，是
中点.
M 1BD 又是的中点，1O 11B D 所以点是两条边
上中线的交点，
P 11BB D △111,B D BD 所以点是的重心，
P 11
BB D △所以
，所以.
11121
33B P B M B D
=
=123DP DB =又因为，，，
3AB =4BC =16CC =所以
1DB =
==故
123DP DB ==
20．在中，角的对边分别是，且向量
和向量互ABC ,,A B C ,,a
b c ,2b m a c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,2a c n b +⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
相垂直.
(1)求角的大小；
C
(2)若的周长是，，求外接圆的半径.ABC 3+3CA BC ⋅=-
ABC 【答案】(1)π6
C =
(2)1
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示，化简整理可得.然后根据余弦定理，即
222
a b c +-=可得出答案；
（2）由已知可推得根据正弦定理可得，.代入，
=ab c R =3a b R +=222
a b c +-=
整理即可得出，求解即可得出答案.
22
(3)6R R --=【详解】（1）因为互相垂直，
,m n
所以，
()()
22a c b m n a c b +⋅=-⋅+⋅=
整理可得.
222
a b c +-=
由余弦定理得，
.222cos 2a b c C ab +-===
因为，所以
.
0πC <<π6C =
（2）
因为， ()cos π3
CA BC ab C ⋅=-==-
所以=ab
由正弦定理知，，所以，则.
2sin c
R C =2sin c R C R ==3a b R +=
又由（1）知，，
222
a b c +-=
所以，
222
a b R +-=
所以有，22
()2a b ab R +--=
即
，解得.22
(3)6R R --=1R =
故外接圆的半径是1.
ABC 21．三条侧棱两两垂直的三棱锥往往称为直三棱锥，在直三棱锥中，两两垂直.
A BCD -A
B A
C A
D ､､
(1)设直三棱锥外接球的半径为，证明：；A BCD -R R =
(2)若直三棱锥外接球的表面积为，求的最大值.
A BCD -64πABC ACD ADB
S S S ++ 【答案】(1)证明见解析(2)32
【分析】（1）将图形补成长方体，则长方体的体对角线为外接球的直径，进而计算求解；
（2）根据直三棱锥外接球的表面积为可得，也即，
A BCD -64π4R =2222
(2)64AB AC AD R ++==利用均值不等式即可求解.
【详解】（1）由两两互相垂直，将之补成长方体如图所示，
,,AB AC AD
由长方体的性质可得：长方体的体对角线为外接球的直径，则.
()
2
2222AB AC AD R ++=即
，
()()()
2222222222222
8222R AB AC AD AB AC AC AD AD AB BC CD DB =++=+++++=++
故R =
（2）由得，.因此
.2644R ππ=4R =2222(2)64AB AC AD R ++==于是
111
222
ABC ACD ADB S S S AB AC AC AD AD AB ++=
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ .
222222222
32
4442AB AC AC AD AD AB AB AC AD +++++≤++==
当且仅当时取等号，
AB AC AD ===
故
的最大值为32.
ABC ACD ADB
S S S ++
22．如图，某学校有一块平面四边形空地，已知，，且ABCD 8AD CD +=120ADC ∠=︒
ADC S =
(1)求，两点间的距离；
A C (2)设的角的对边分别是，且满足
，现要在内做一个最ABC ,,A B C ,,a b c sin sin sin sin a b A C
c A B +-=
-ABC 大的圆形花圃，求这个最大圆形花圃的面积.【答案】(1)7(2)49π
12
【分析】（1）由面积公式可得出.进而根据余弦定理，即可得出答案；15AD CD ⋅=（2）根据已知结合正弦定理边化角，可求得
.设内切圆的半径是，根据等面积法可推
π
3B =
ABC r
得
.根据正弦定理可得
，，代入根据三角恒等变换化简
)
7r a c =+-a A =
c C =可得
，根据的范围得出的最大值，即可得出答案.π14sin 6a A c ⎛
⎫=+ ⎪
+⎝⎭A a c +
【详解】（1）在中，因为，
ACD 1sin1202ADC S AD CD ︒=
⋅= 所以.
15AD CD ⋅=由余弦定理可得222
2cos120AC AD CD AD CD =+-⋅⋅︒2()AD CD AD CD
=+-⋅，
641549=-=所以，.
7AC =故，两点间的距离是7.
A C （2）由正弦定理得，，整理可得，sin sin sin sin a b A C a c
c
A B a b +--==
--222a c b ac +-=
由余弦定理得，.2221
cos 222a c b ac B ac ac +-===
又
，所以
.
()
0,πB ∈π3B =
因为在内部的圆中，内切圆的面积最大，ABC ABC 设内切圆的半径是，
ABC r 由（1）可知，则.
22
49a c ac +-=2()493a c ac +=+又
，
()11
sin 22ABC S ac B a b c r =
=++⋅ 因此
.)2()49777ac a c r a c a c a c +-===+-++++在中，，
，
ABC 7b AC ==π
3B =
由正弦定理得
，
sin sin sin a c b A C B ===
=所以
，，
a A =
c C =
于是
)()sin sin sin sin 120a c A C A A +=
++︒-
⎤
⎦1
sin sin 2A A A ⎫=
+⎪⎪
⎭
.
31πsin 14sin cos 14sin 226A A A A A ⎫⎛⎫⎛⎫=
=⋅=+⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭又，所以.2π0,3A ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭ππ5π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当
时，取得最大值14，从而内切圆的半径
ππ
62A +
=
a c +r 故最大圆形花圃的面积是.
2
49ππ12=。