扬州市江都区 2018届九年级上第一次月考数学试卷含解析

2017-2018学年江苏省扬州市江都区XX中学九年级（上）第一
次月考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）
A．（x+2）2=5 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=3
2．若x=3是关于x的方程x2﹣bx﹣3a=0的一个根，则a+b的值为（）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9
3．方程x2+kx﹣1=0根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（）
A．40°B．30°C．45°D．50°
5．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
6．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB长度为8，则⊙O上到弦AB所在直线的距
离为2的点有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．根据下面表格中的取值，方程x2+x﹣3=0有一个根的近似值（精确到0.1）是（）
A．1.5 B．1.2 C．1.3 D．1.4
8．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）
A． B．C．D．
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
9．方程x（x+1）=0的解是．
10．若一个一元二次方程的两个根分别是﹣3、2，请写出一个符合题意的一元二次方程．
11．如果方程kx2+2x+1=0（k≠0）有两个不等实数根，则实数k的取值范围是．
12．若（a2+b2）2﹣3=0，则代数式a2+b2的值为．
13．若m，n是一元二次方程x2+x﹣12=0的两根，则m2+2m+n=．14．有一张矩形的纸片，AB=3cm，AD=4cm，若以A为圆心作圆，并且要使点D 在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围是．
15．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心作⊙O，点A、C分
别是⊙O与x轴负半轴、y轴正半轴的交点，点B、D在⊙O上，那么∠ADC的度数是．
16．如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为．
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为．
18．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i═i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为．
三、解答题（共96分，解答时应写明演算步骤、证明过程或必要的文字说明.）19．选用合适的方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x=3；
（2）（x+3）2=（1﹣3x）2．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．
（1）在图中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），圆心坐标为；
（2）若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ADB=∠ACB，则点D的坐标为．
21．扬州市为打造“绿色城市”降低空气中PM2.5的浓度，积极投入资金进行园林绿化工程，已知2014年投资1000万元，预计2016年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）经过评估，空气中PM2.5的浓度连续两年较上年下降10%，则两年后PM2.5的浓度比最初下降了百分之几？
22．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD．
（2）若BE=3，CD=8，求⊙O的半径长．
23．已知关于x的方程（k﹣1）x2+kx+1=0
（1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）当k为何整数时，关于x的方程（k﹣1）x2+kx+1=0有两个整数根？24．如图，△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，点M为劣弧BC上任意一点，且∠AMC=60°．
（1）若BC=6，求△ABC的面积；
（2）若点D为AM上一点，且BD=DM，判断线段MA、MB、MC三者之间有怎
样的数量关系，并证明你的结论．
25．阅读下列材料：
（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，
，
（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则=，=，=；
（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．
26．2011年中秋节来临之前，某超市以每盒80元的价格购进了1000盒月饼，第一周以每盒168元的价格销售了300盒，第二周如果单价不变，预计仍可售出300盒，该超市经理为了增加销量，决定降价，据调查，单价每降低1元，可多售出10盒，但最低每盒要赢利30元，第二周结束后，该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖，此时价格为70元/盒．
（1）若设第二周单价降低x元，则第二周的单价是，销量是；（2）经两周后还剩余月饼盒；
（3）若该超市想通过销售这批月饼获利51360元，那么第二周的单价应是多元？27．如图，正方形ABCD的边长为1，E是AD边上一动点，AE=m，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．延长BG交直线CD于点F．
（1）若∠ABE：∠BFC=n，则n=；
（2）当E运动到AD中点时，求线段GF的长；
（3）若限定F仅在线段CD上（含端点）运动，直接写出m的取值范围．
28．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．
（1）如图1，⊙O的半径为2，
①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）=，d（B，⊙O）=．
②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．
（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与
x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．
2017-2018学年江苏省扬州市江都区XX中学九年级（上）
第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）
A．（x+2）2=5 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=3
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方可得．
【解答】解：∵x2+4x+1=0，
∴x2+4x=﹣1，
∴x2+4x+4=﹣1+4，即（x+2）2=3，
故选：D．
2．若x=3是关于x的方程x2﹣bx﹣3a=0的一个根，则a+b的值为（）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9
【考点】A3：一元二次方程的解．
【分析】将x=3代入方程，得出32﹣3b﹣3a=0，然后利用等式的性质变形即可得到答案．
【解答】解：∵x=3是关于x的方程x2﹣bx﹣3a=0的一个根，
∴32﹣3b﹣3a=0，
∴3a+3b=9，
∴a+b=3，
故选A．
3．方程x2+kx﹣1=0根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【考点】AA：根的判别式．
【分析】要判定方程根的情况，首先求出其判别式，然后判定其正负情况即可作出判断．
【解答】解：∵x2+kx﹣1=0，
∴△=b2﹣4ac=k2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（）
A．40°B．30°C．45°D．50°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．
【解答】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=50°，
∴∠AOB=180°﹣2∠ABO=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°，
故选A．
5．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．
【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=570，
故选：A．
6．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB长度为8，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】M2：垂径定理．
【分析】连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交⊙O于D，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC，得到CD的长，比较即可得到答案．
【解答】解：连接OA，作OC⊥AB交AB于C，交⊙O于D，
则AC=AB=4，
由勾股定理得，OC==3，
则CD=2，
故⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个，
故选：C．
7．根据下面表格中的取值，方程x2+x﹣3=0有一个根的近似值（精确到0.1）是（）
A．1.5 B．1.2 C．1.3 D．1.4
【考点】A4：估算一元二次方程的近似解．
【分析】利用表格中的数据得到方程x2+x﹣3=0有一个根在1.3与1.4之间，由于﹣0.01更接近于0，于是可判断方程的一个根为1.3（精确到0.1）．
【解答】解：∵x=1.3时，x2+x﹣3=﹣0.01；x=1.4时，x2+x﹣3=0.36，
∴方程x2+x﹣3=0有一个根在1.3与1.4之间，
∴当根的近似值精确到0.1时，方程的一个根为1.3．
故选C．
8．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）
A． B．C．
D．
【考点】O4：轨迹；KP：直角三角形斜边上的中线．
【分析】先连接OP，易知OP是Rt△AOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半，可得OP=AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，那么P点就在以O为圆心的圆弧上．
【解答】解：如右图，
连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，
所以OP=AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．
故选D．
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
9．方程x（x+1）=0的解是0或﹣1．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】本方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，所以直接得方程x（x+1）=0的根是0，﹣1．
【解答】解：x（x+1）=0
x=0或x+1=0
x1=0，x2=﹣1
故本题的答案是x1=0，x2=﹣1
10．若一个一元二次方程的两个根分别是﹣3、2，请写出一个符合题意的一元二次方程x2+x﹣6=0．
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【解答】解：∵一个一元二次方程的两个根分别为﹣3，2，
∴这个一元二次方程为：（x+3）（x﹣2）=0，
即这个一元二次方程为：x2+x﹣6=0，
故答案为：x2+x﹣6=0．
11．如果方程kx2+2x+1=0（k≠0）有两个不等实数根，则实数k的取值范围是k ＜1且k≠0．
【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac意义由题意得k≠0且△＞0，即22﹣4×k×1＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：∵方程kx2+2x+1=0有两个不等实数根，
∴k≠0且△＞0，即22﹣4×k×1＞0，解得k＜1，
∴实数k的取值范围为k＜1且k≠0．
故答案为k＜1且k≠0．
12．若（a2+b2）2﹣3=0，则代数式a2+b2的值为．
【考点】A9：换元法解一元二次方程．
【分析】将（a2+b2）看做一个整体后根据平方根的性质即可求出答案．
【解答】解：令t=a2+b2，
∴t2=3，
∴t=±
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2=，
故答案为：
13．若m，n是一元二次方程x2+x﹣12=0的两根，则m2+2m+n=11．
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】根据方程的解得定义和韦达定理得m2+m=12，m+n=﹣1，代入原式=m2+m+m+n可得答案．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣12=0的两根，
∴m2+m﹣12=0，即m2+m=12，m+n=﹣1，
则原式=m2+m+m+n=12﹣1=11，
故答案为：11．
14．有一张矩形的纸片，AB=3cm，AD=4cm，若以A为圆心作圆，并且要使点D 在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围是4cm＜r＜5cm．【考点】M8：点与圆的位置关系．
【分析】先利用勾股数得到AC=5cm，然后根据点与圆的位置关系，要使点D在⊙A内，则r＞4；要使点C在⊙A外，则r＜5，然后写出它们的公共部分即可．【解答】解：∵矩形的纸片，AB=3cm，AD=4cm，
∴AC=5cm，
∴以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围为4cm＜r＜5cm．
故答案为4cm＜r＜5cm．
15．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心作⊙O，点A、C分别是⊙O与x轴负半轴、y轴正半轴的交点，点B、D在⊙O上，那么∠ADC的度数是135°．
【考点】M6：圆内接四边形的性质；D5：坐标与图形性质；M5：圆周角定理．【分析】利用“在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”求得∠
ABC=∠AOC=45°；然后由圆内接四边形的对角互补来求∠ADC的度数．
【解答】解：如图，∵∠AOC=90°，
∴∠ABC=∠AOC=45°，
又∵点A、B、C、D共圆，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADC=135°．
故答案是：135°．
16．如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为20．
【考点】M2：垂径定理；KM：等边三角形的判定与性质．
【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．
【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；
∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD=AD=AB=12；
∴OD=4，又∵∠ADB=60°，
∴DE=OD=2；
∴BE=10；
∴BC=2BE=20；
故答案为20．
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆
上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为3或．
【考点】M8：点与圆的位置关系；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
【分析】连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，先计算出CB2+PB2=CP2，则根据勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四
边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=，
从而得到满足条件的PA的长为3或．
【解答】解：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，
∵CP=5，CB=3，PB=4，
∴CB2+PB2=CP2，
∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，
∴CB⊥PB，
∴PB=P′B=4，
∵∠C=90°，
∴PB∥AC，
而PB=AC=4，
∴四边形ACBP为矩形，
∴PA=BC=3，
在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，
∴P′A==，
∴PA的长为3或．
故答案为3或．
18．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i═i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为i．
【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法．
【分析】原式利用题中的新定义化简，四项结合计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：原式=（i﹣1﹣i+1）+…+（i﹣1﹣i+1）+i=i，故答案为：i
三、解答题（共96分，解答时应写明演算步骤、证明过程或必要的文字说明.）19．选用合适的方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x=3；
（2）（x+3）2=（1﹣3x）2．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】（1）整理成一般式后利用因式分解法求解可得；
（2）直接开平方法求解可得．
【解答】解：（1）原方程整理得：2x2﹣5x﹣3=0，
∵（x﹣3）（2x+1）=0，
∴x﹣3=0或2x+1=0，
解得：x=3或x=﹣0.5；
（2）∵（x+3）2=（1﹣3x）2，
∴x+3=1﹣3x或x+3=﹣1+3x，
解得：x=﹣0.5或x=2．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．
（1）在图中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），圆心坐标为（5，5）；
（2）若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ADB=∠ACB，则点D的坐标为（7，0）．
【考点】N3：作图—复杂作图；D5：坐标与图形性质；MA：三角形的外接圆与外心．
【分析】（1）分别作出三角形任意两边的垂直平分线进而得出圆心的位置进而得出答案；
（2）利用圆周角定理得出符合题意的D点位置．
【解答】解：（1）如图所示：圆心坐标为：（5，5）；
故答案为：（5，5）；
（2）如图所示：点D的坐标为（7，0）；
故答案为：（7，0）．
21．扬州市为打造“绿色城市”降低空气中PM2.5的浓度，积极投入资金进行园林绿化工程，已知2014年投资1000万元，预计2016年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）经过评估，空气中PM2.5的浓度连续两年较上年下降10%，则两年后PM2.5的浓度比最初下降了百分之几？
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）设平均每年投资增长的百分率是x．根据2014年投资×（1+百分率）2=2016年的投资，据此列方程即可．
（2）设两年前的PM2.5的浓度为1，求出两年后PM2.5的浓度即可解决问题；【解答】解：（1）设平均每年投资增长的百分率是x．
由题意得1000（1+x）2=1210，
解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：平均每年投资增长的百分率为10%；
（2）∵（1﹣10%）2=81%，1﹣81%=19%
答：两年后PM2.5的浓度比最初下降19%．
22．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO=∠BCD．
（2）若BE=3，CD=8，求⊙O的半径长．
【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、等角的余角相等即可证明；
（2）设半径OC=OB=r 在Rt△OCE中，由勾股定理可得（r﹣3）2+42=r2，解方程即可；
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD；
（2）∵CD=8，AB⊥CD，
∴CE=ED=4，
设半径OC=OB=r
在Rt△OCE中，（r﹣3）2+42=r2，
∴r=．
23．已知关于x的方程（k﹣1）x2+kx+1=0
（1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）当k为何整数时，关于x的方程（k﹣1）x2+kx+1=0有两个整数根？
【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．
【分析】（1）分两种情况讨论：当k=1时和k≠1时，当k≠1时，根据方程各项的系数，利用根的判别式，即可得出△=（k﹣2）2≥0，此题得证；
（2）根据方程有两个根，可知方程为一元二次方程，利用因式分解或公式法解
方程，有一个根为﹣1，另一根为，可得1﹣k是1的约数，得k的值．【解答】解：（1）当k=1时，方程为一元一次方程，必有一解；
当k≠1时，方程为一元二次方程，
△=k2﹣4（k﹣1）=（k﹣2）2≥0，
∴一元二次方程有两个实数根．
综上：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）∵方程（k﹣1）x2+kx+1=0有两个整数根，
∴方程为一元二次方程，即k≠1，
（k﹣1）x2+kx+1=0，
解得x=﹣1或x=，
又k为整数，
1﹣k=1或﹣1，
∴k=0或2．
24．如图，△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，点M为劣弧BC上任意一点，且∠AMC=60°．
（1）若BC=6，求△ABC的面积；
（2）若点D为AM上一点，且BD=DM，判断线段MA、MB、MC三者之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC=∠AMC=60°，加上AB=AC，则可判断△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质计算其面积；
（2）先判断△BDM为正三角形得到BD=BM，由∠ABC=∠DBM=60°得到∠ABD=∠CBM，则可根据“SAS”判断△ABD≌△CBM，所以AD=CM，于是MA=MD+AD=MB+MC．
【解答】解：（1）∵∠ABC=∠AMC=60°，
而AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴△ABC的面积=BC2=×36=9；
（2）MA=MB+MC，理由如下：
∵BD=DM，∠AMB=∠ACB=60°，
∴△BDM为正三角形，
∴BD=BM，
∵∠ABC=∠DBM=60°，
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBM﹣∠DBC，
∴∠ABD=∠CBM，
在△ABD与△CBM 中，
，
∴△ABD≌△CBM（SAS），
∴AD=CM，
∴MA=MD+AD=MB+MC．
25．阅读下列材料：
（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，
，
（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则=4，=14，=194；
（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．
【考点】A3：一元二次方程的解．
【分析】（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决．
（2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可．
【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1=0，
∴x+=4，
∴（x+）2=16，
∴x2+2+=16，
∴x2+=14，
∴（x2+）2=196，
∴x4++2=196，
∴x4+=194．
故答案为4，14，194．
（2）∵2x2﹣7x+2=0，
∴x+=，x2+=，
∴=（x+）（x2﹣1+）=×（﹣1）=．
26．2011年中秋节来临之前，某超市以每盒80元的价格购进了1000盒月饼，第一周以每盒168元的价格销售了300盒，第二周如果单价不变，预计仍可售出300盒，该超市经理为了增加销量，决定降价，据调查，单价每降低1元，可多售出10盒，但最低每盒要赢利30元，第二周结束后，该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖，此时价格为70元/盒．
（1）若设第二周单价降低x元，则第二周的单价是元，销量是盒；（2）经两周后还剩余月饼盒；
（3）若该超市想通过销售这批月饼获利51360元，那么第二周的单价应是多元？【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据第二周降价x元，可得出第二周的单价，再由每将1元可多售出10盒，可得出销量；
（2）分别计算出第一周和第二周的销量，根据总共1000盒，可得出剩余的数量；（3）第一周的获利加上第二周的获利，减去第二周以后的亏损即可得出盈利的方程，解出即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：第二周降价x元，故第二周的售价为元，销量为盒；
（2）第一周的销量为300盒，第二周的销量为盒，
故经两周后还剩余月饼：1000﹣300﹣=盒；
（3）因为最低每盒要赢利30元，故168﹣x﹣80≥30，
解得：x≤58，
当0≤x≤58时，获利W=×300++（﹣10）×=51360，
解得：x1=4，x2=64，
因为x≤58，故x取4．
答：该超市想通过销售这批月饼获利51360元，那么第二周的单价应是164元．
27．如图，正方形ABCD的边长为1，E是AD边上一动点，AE=m，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．延长BG交直线CD于点F．
（1）若∠ABE：∠BFC=n，则n=1：2；
（2）当E运动到AD中点时，求线段GF的长；
（3）若限定F仅在线段CD上（含端点）运动，直接写出m的取值范围．
【考点】LO：四边形综合题；A3：一元二次方程的解；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质．
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠ABF=∠BFC，根据折叠可得∠ABF=2∠ABE，由此得出n的值即可；
（2）先根据折叠的性质，判定Rt△EDF≌Rt△EGF，再设DF=GF=x，在Rt△BCF 中运用勾股定理求得x的值即可；
（3）若限定F仅在线段CD上（含端点）运动，则分两种情况进行讨论：点F 与点D重合，点F与点C重合，进而求得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABF=∠BFC，
由折叠得，∠ABF=2∠ABE，
∴∠BFC=2∠ABE，
∴∠ABE：∠BFC=1：2，
∴n=1：2，
故答案为：1：2；
（2）当E运动到AD中点时，AE=DE=，
由折叠得，DE=GE，∠EGF=∠D=90°，BG=AB=1，
根据DE=GE，EF=EF可得，Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=GF，
设DF=GF=x，则CF=1﹣x，
∵在Rt△BCF中，BC2+FC2=BF2，
∴12+（1﹣x）2=（1+x）2，
解得x=，
∴线段GF的长为；
（3）若限定F仅在线段CD上（含端点）运动，则
①如图，当点F与点D重合时，AE=EG=GF=m，FE=1﹣m，
在Rt△EFG中，m2+m2=（1﹣x）2，
解得m=﹣﹣1（舍去），m=﹣1；
②如图，当点F与点C重合时，点E与点D重合，此时AE=AD=1，∴m=1．
综上，m的取值范围是：﹣1≤m≤1．
28．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．
（1）如图1，⊙O的半径为2，
①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）=1，d（B，⊙O）=3．
②已知直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，求b的值．
（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与
x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）①连接OB，如图1①，只需求出OA、OB就可解决问题；
②设直线l：y=与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，如图1②，可用面积法求出OH，然后根据条件建立关于b 的方程，然后解这个方程就可解决问题；
（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．易求出点D、E的坐标，从而可得到OD、OE，然后运用三角函数可求出∠ODE，然后分三种情况（①点C在点D的左边，②点C与点D重合，③点C在点D的右边）讨论，就可解决问题．
【解答】解：（1）①连接OB，过点B作BT⊥x轴于T，如图1①，
∵⊙O的半径为2，点A（0，1），
∴d（A，⊙O）=2﹣1=1．
∵B（4，3），
∴OB==5，
∴d（B，⊙O）=5﹣2=3．
故答案为1，3；
②设直线l：y=与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH⊥PQ于H，设OH与⊙O交于点G，如图1②，
∴P（﹣b，0），Q（0，b），
∴OP=|b|，OQ=|b|，
∴PQ=|b|．
=OP•OQ=PQ•OH，
∵S
△OPQ
∴OH==|b|．
∵直线l：y=与⊙O的密距d（l，⊙O）=，
∴|b|=2+=，
∴b=±4；
（2）过点C作CN⊥DE于N，如图2．
∵点D、E分别是直线y=﹣与x轴、y轴的交点，
∴D（4，0），E（0，），
∴OD=4，OE=，
∴tan∠ODE==，
∴∠ODE=30°．
①当点C在点D左边时，m＜4．
∵OC=m，
∴CD=4﹣m，
∴CN=CD•sin∠CDN=（4﹣m）=2﹣m．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，
∴0＜2﹣m＜+1，
∴1＜m＜4；
②当点C与点D重合时，m=4．
此时d（DE，⊙C）=0．
③当点C在点D的右边时，m＞4．
∵线段DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）＜，
∴CD＜，
∴m﹣4＜+1，
∴m＜
∴4＜m＜．
综上所述：1＜m＜．。