章末复习提升课

积为( )
A． 3 C．8
√B．12
D．4 3
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第八章 立体几何初步
10
(2)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为 △ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的 表面积为( )
√A．64π
C．36π
B．48π D．32π
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第八章 立体几何初步
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主题4 空间中点、线、面的位置关系
(多选)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱 C1D1，C1C的中点，其中正确的是( ) A．直线AM与C1C是相交直线 B．直线AM与BN的平行直线
√C．直线BN与MB1是异面直线 √D．直线MN与AC所成的角为60°
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第八章 立体几何初步
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主题3 空间角的计算 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成的角的大小； (2)AO与平面ABCD所成的角的正切值； (3)平面AOB与平面AOC所成的二面角的大小．
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第八章 立体几何初步
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【解】 (1)因为A′C′∥AC， 所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC. 因为AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′， 所以OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B， 所以OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.
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第八章 立体几何初步
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【解析】 结合题图，显然直线AM与C1C是异面直线，直线AM与BN是 异面直线，直线BN与MB1是异面直线．连接D1C，AD1(图略)，直线MN 与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角，在等边三角形AD1C中，易知 ∠ACD1＝60°，所以直线MN与AC所成的角为60°，故选CD.
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第八章 立体几何初步
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(3)【解】 棱 PB 上存在点 F，使得 CF∥平面 PAE. 如图，取 PB 的中点 F，PA 的中点 G，连接 CF，FG，EG，则 FG∥AB， 且 FG＝12 AB.
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第八章 立体几何初步
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因为底面 ABCD 为菱形，且 E 为 CD 的中点， 所以 CE∥AB，且 CE＝12 AB. 所以FG∥CE，且FG＝CE. 所以四边形CEGF为平行四边形． 所以CF∥EG. 因为CF⊄平面PAE，EG ⊂平面PAE， 所以CF∥平面PAE.
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章末复习提升课
数学
第八章 立体几何初步
1
01
知识网络 体系构建
02
主题串讲 素养培优
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2
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3
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4
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第八章 立体几何初步
5
素养一 数学抽象 数学抽象让学生养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握 事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题．在 本章中，主要表现在识别空间几何体结构特征中．
17
因为平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BC′，
所以OE⊥平面ABCD，
所以∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在 Rt△OAE 中，OE＝12 ，AE＝
12＋122
＝
5 2
，
所以 tan
∠OAE＝OAEE
＝
5 5
.
即 AO 与平面 ABCD 所成的角的正切值为
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第八章 立体几何初步
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(2)【证明】 因为PA⊥平面ABCD， AE⊂平面ABCD， 所以PA⊥AE. 因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点， 所以AE⊥CD.所以AB⊥AE. 又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB. 因为AE⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.
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第八章 立体几何初步
28
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其中正确的个数是( )
A．0 C．2
B√．1
D．3
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第八章 立体几何初步
7
【解析】 ①上、下底面的圆周上两点的连线要与轴平行才是母线；③ 直角三角形绕着直角边所在直线旋转一周才能形成圆锥；④棱台的上、 下底面相似，侧棱长不一定相等．故只有②正确．
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第八章 立体几何初步
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素养四 逻辑推理 逻辑推理包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、 类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．在本章中， 主要表现在线面位置关系的证明中．
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第八章 立体几何初步
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主题5 空间中平行、垂直关系 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，
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素养二 数学运算 数学运算包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运 算方法，设计运算程序，求得运算结果等．在本章中，主要表现在计算 空间几何体的体积、表面积、空间角等问题中．
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第八章 立体几何初步
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主题 2 空间几何体的表面积和体积
(1)已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是 5 ，则该正四棱锥的表面
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第八章 立体几何初步
6
主题1 空间几何体的结构特征
给出下列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ种说法：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母 线；
②底面为正多边形，且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的旋转体都是圆锥；
④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
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第八章 立体几何初步
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在
Rt△AOC
中，OC＝
2 2
，AC＝
2，
sin ∠OAC＝OACC ＝12 ， 所以∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成的角为30°.
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(2)如图，过点O作OE⊥BC于点E，连接AE.
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第八章 立体几何初步
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(2)如图所示，设球 O 的半径为 R，⊙O1 的半径为 r，因为⊙O1 的面积为 4π， 所以 4π＝πr2，解得 r＝2，又 AB＝BC＝AC＝OO1，所以sinA6B0° ＝2r，解 得 AB＝2 3 ，故 OO1＝2 3 ，所以 R2＝OO21 ＋r2＝(2 3 )2＋22＝16，所以 球 O 的表面积 S＝4πR2＝64π.故选 A.
5 5
.
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(3)由(1)得OC⊥平面AOB. 又OC⊂平面AOC， 所以平面AOB⊥平面AOC， 即平面AOB与平面AOC所成的二面角为90°.
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素养三 直观想象 直观想象包括：借助空间图形认识事物的位置关系、形态变化与运动规 律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题 的直观模型，探索解决问题的思路．在本章中，主要表现在利用几何图 形探究线面位置关系中．
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第八章 立体几何初步
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【解析】 (1)如图所示，在正四棱锥 S -ABCD 中，取 BC 的中点 E，连接 SE，则△SBE 为直角三角形，所以 SE＝ SB2－BE2 ＝ 5－1 ＝2.所以该 正四棱锥的表面积 S＝S 正方形 ABCD＋4×S△SBC＝2×2＋4×12 ×2×2＝12.
E为CD的中点． (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE； (3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
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第八章 立体几何初步
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(1)【证明】 因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD. 因为底面ABCD为菱形， 所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC.