第19章 矩形、菱形与正方形 达标测试卷(含答案) 华师大版数学八年级下册

第19章矩形、菱形与正方形达标测试卷
一、选择题(每题3分，共24分)
1．▱ABCD中，添加一个条件就成为矩形，则添加的条件是() A．AB＝CD B．∠B＋∠D＝180°
C．AC＝AD D．对角线互相垂直
2．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的长为()
A.1
2 B.
3 C．2 D．3 (第2题)(第3题)
3．如图，在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，把矩形OABC放在数轴上，O在原点，OA在正半轴上，把矩形的对角线OB绕着原点O顺时针旋转到数轴上，点B的对应点为B′，则点B′表示的实数是()
A．2 B．1 C. 5 D．－ 5
4．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是()
A．3 B.24
5C．5 D.
89
16
(第4题)(第5题)
5．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC 交于点O，连结BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为()
A．28°B．52°C．62°D．72°
6．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是()
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCD
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
7．下列判断错误的是()
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
8．如图，正方形ABCD与等边三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小可以是()
(第8题)
A．15°B．165°C．15°或165°D．90°
二、填空题(每题4分，共24分)
9．如图，▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，请添加一个条件________，使四边形AECF为菱形．
(第9题)(第10题)
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠OCD＝56°，则∠EAO＝________．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A的坐标为(1，3)，点O为坐标原点，则点B的坐标为____________________．
(第11题)
12．把如图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②、图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为________．
(第12题)
13．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为________．
(第13题)(第14题)
14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC 上一点，且P不与点B，C重合，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值等于________．
三、解答题(15～18题每题8分，19～20题每题10分，共52分)
15．如图，四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，若BE⊥EF，且∠ABE＋∠CEF＝45°.求证：四边形ABCD 是正方形．
(第15题)
3
16.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C.点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，
AE＝GF＝GC.
(1)求证：四边形AEFG是平行四边形；
(2)当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形？请说明理由．
(第16题)
17．如图，在菱形ABCD中，E为边BC的中点，DE与对角线AC交于点M，过点M作MF⊥CD于点F，∠1＝∠2.求证：
(1)DE⊥BC；
(2)AM＝DE＋MF.
(第17题)
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝10，AC＝8，∠ABC＝∠BCD.
过点D作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连结BF，CF .
(第18题)
(1)求证：四边形ABFC是矩形；
(2)求DE的长．
19．(1)在正方形ABCD中，E是边CD上一点．
将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，如图①所示，观察可知，与DE相等的线段是____________，与∠AFB相等的角是____________．(2)如图②，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD上的点，且∠P AQ＝45°，
5
猜想线段DQ，BP，PQ的数量关系，并证明；
(3)在图②中，连结BD分别交AP，AQ于点M，N，直接写出BM，DN，MN的
数量关系．
(第19题)
20．菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G.
(1)如图①，若∠A＝90°，DE⊥CF，求证：DE＝CF；
(2)如图②，若DE＝CF.试探究此时∠EGF和∠A满足什么关系？并证明你的结论；
(3)如图③，在(1)的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连结BD
交MN于点H，连结FH，求∠HFC的大小．
(第20题)
7 答案
一、1.B 2.C 3.C 4.C 5.C 6.C 7.D
8．C 点拨：①如图①，当△AEF 在正方形ABCD 的内部时，
(第8题)
∵△AEF 是等边三角形，∴AE ＝AF ，∠EAF ＝60°.
在△ABE 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，
BE ＝DF ，AE ＝AF ，
∴△ABE ≌△ADF ，
∴∠BAE ＝∠F AD .
∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°. ∵∠EAF ＝60°， ∴∠BAE ＋∠F AD ＝30°， ∴∠BAE ＝∠F AD ＝15°.
②如图②，当△AEF 在正方形ABCD 的外部时，同理可得∠BAE ＝∠F AD . ∵∠EAF ＝60°，
∴∠BAE ＝(360°－90°－60°)×12＋60°＝165°.
综上，∠BAE ＝15°或165°.故选C. 二、9.AE ＝EC (答案不唯一) 10.22° 11. (1－3，1＋3) 12.48 13.3 14．4.8 点拨：连结OP ，如图所示．
(第14题)
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝1
2BD＝8，OC＝
1
2AC＝6，
∴BC＝OB2＋OC2＝82＋62＝10，∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，∴FE＝OP，易知当OP⊥BC时，OP最小，
此时S△OBC＝1
2OB·OC＝
1
2BC·OP，
∴OP＝4.8，∴EF的最小值为4.8.
三、15.证明：如图，过点E作EM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，
∵∠ABE＋∠CEF＝45°，∴∠BEM＋∠CEF＝45°，
∵BE⊥EF，∠BEF＝90°
∴∠CEM＝45°，∴∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
(第15题)
16．(1)证明：∵GF＝GC，∴∠C＝∠GFC，
∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠GFC，
∴AB∥GF，即AE∥GF，
∵AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形．
(2)解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，
理由：∵∠FGC＋∠GFC＋∠C＝180°，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，∴2∠GFC＋2∠EFB＝180°，
∴∠EFB＋∠GFC＝90°.∴∠EFG＝90°.
9 ∵四边形AEFG 是平行四边形， ∴四边形AEFG 是矩形．
17．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠BCA ＝∠ACD ，AB ∥CD ，CD ＝BC ，∴∠1＝∠ACD . ∵∠1＝∠2，∴∠ACD ＝∠2，∴MC ＝MD . 又∵MF ⊥CD ，∴∠CFM ＝90°，CF ＝1
2CD . ∵E 为BC 边的中点，∴CE ＝BE ＝1
2BC ， ∴CF ＝CE .
在△CFM 和△CEM 中，⎩⎨⎧CF ＝CE ，
∠DCA ＝∠BCA ，CM ＝CM ，
∴△CFM ≌△CEM .
∴∠CEM ＝∠CFM ＝90°，即DE ⊥BC . (2)如图，延长AB 交DE 的延长线于点N .
(第17题)
∵AB ∥CD ，∴∠N ＝∠2. 又∵∠BEN ＝∠CED ，BE ＝CE ， ∴△BEN ≌△CED .∴NE ＝DE .
∵∠1＝∠2，∠N ＝∠2，∴∠1＝∠N .∴AM ＝NM . 又∵NM ＝NE ＋ME ，∴AM ＝NE ＋ME ＝DE ＋ME . 又由(1)得△CEM ≌△CFM ， ∴ME ＝MF .∴AM ＝DE ＋MF .
18．(1)证明：∵DE ⊥BC ，∴∠DEC ＝∠FEC ＝90°，
在△DEC 与△FEC 中，⎩⎨⎧DE ＝EF ，
∠DEC ＝∠FEC ，CE ＝CE ，
∴△DEC ≌△FEC ，∴CD ＝CF ，∠DCE ＝∠FCE .
∵AB ＝CD ，∠ABC ＝∠BCD ， ∴CF ＝AB ，∠ABC ＝∠FCE .∴AB ∥CF . ∴四边形ABFC 是平行四边形．
∵AB ＝6，BC ＝10，AC ＝8，∴AB 2＋AC 2＝BC 2， ∴∠BAC ＝90°，∴四边形ABFC 是矩形； (2)解：过A 作AH ⊥BC 于H ，如图， ∴∠AHB ＝∠DEC ＝90°，
在△ABH 与△DCE 中，⎩⎨⎧∠ABH ＝∠DCE ，∠AHB ＝∠DEC ，AB ＝CD ，
∴△ABH ≌△DCE ，∴AH ＝DE ， ∵S △ABC ＝12AB ·AC ＝1
2BC ·AH ，
∴AH ＝AB ·AC BC ＝6×8
10＝4.8.∴DE ＝AH ＝4.8.
(第18题)
19．解：(1)BF ；∠AED
(2)DQ ＋BP ＝PQ ，
证明：将△ADQ 绕点A 按顺时针方向旋转90°，则AD 与AB 重合，得到△ABG ，如图，
则∠D ＝∠ABG ＝90°，
∵∠ABP ＝90°，∴∠ABG ＋∠ABP ＝180°. ∴点G 、B 、P 共线，
由旋转知，∠GAQ ＝∠BAD ＝90°，AG ＝AQ ，BG ＝DQ ， ∵∠P AQ ＝45°，∴∠P AG ＝45°，
∴∠P AQ ＝∠P AG ，在△APG 和△APQ 中；
11
⎩⎨⎧AG ＝AQ ，
∠P AE ＝∠P AQ ，AP ＝AP ，
∴△APG ≌△APQ ，∴PG ＝PQ ，
而PG ＝PB ＋BG ＝PB ＋DQ ，∴DQ ＋BP ＝PQ .
(3)BM 2＋DN 2＝MN 2
(第19题)
20．(1)证明：∵菱形ABCD 中，∠A ＝90°，
∴菱形ABCD 是正方形，
∴AD ＝DC ，∠A ＝∠CDF ＝90°，
∵DE ⊥CF ，
∴∠CGD ＝90°，
∴∠DCF ＋∠CDE ＝90°＝∠ADC ＝∠ADE ＋∠CDE ，
∴∠ADE ＝∠DCF ，
∴ △ADE ≌△DCF ，
∴DE ＝CF ；
(2)解：∠A ＋∠EGF ＝180°；证明如下：
过D 作DR ⊥AB 交BA 的延长线于R ，过C 作CS ⊥AD 于S ，如图①，
(第20题)
∵S 菱形ABCD ＝AB ×DR ＝AD ×CS ，AB ＝AD ，
∴DR ＝CS ，
∵DE ＝CF ，∴Rt △DRE ≌Rt △CSF ，
∴∠CFS＝∠RED，∵∠CFS＋∠AFG＝180°，
∴∠RED＋∠AFG＝180°，
∴∠EAF＋∠EGF＝180°；
(3)连接FM，过H作TK// AB交AD于T，交BC于K，连接CH，如图②，
(第20题)
由(1)知MN⊥CF，又G为CF的中点，
∴MN是CF的垂直平分线，
∴CH＝FH，
易知∠TKC＝∠KTD＝∠BCD＝90°，
∴四边形KTDC是矩形，
∴TD＝KC，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠TDH＝45°，∴∠THD＝45°，
∴TD＝TH＝CK，
在Rt△TFH和Rt△KHC，HF＝CH，TH＝KC
∴Rt△TFH≌Rt△KHC，∴∠THF＝∠HKC
∴∠HKC＝90°，
∴∠HCK＋∠KHC＝90°，
∴∠THF＋∠KHC＝90°，
∴∠FHC＝180°－(∠THF＋∠KHC)＝90°，
∴HF＝CH，
∵∠HFC＝45°，。