甘肃省金昌市永昌一中2016-2017学年高二下学期第一次月考数学(文)试题

永昌县第一高级中学2016—2017—2月考试卷
高二数学 (文科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题 共60分）和第Ⅱ卷（非选择题 共90分），考试时间120分钟，满分为150分。

请将第Ⅰ卷正确答案涂在机读卡上，第Ⅱ卷在答题卡上做答。

一、选择题（每小题5分，共60分）
1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )
①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数；②三角函数是周期函数；③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③① D ．③②①
2.在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy
Δx 为( )
A ．Δx ＋1Δx ＋2
B ．Δx －1Δx －2
C ．Δx ＋2
D ．2＋Δx －1
Δx
3.已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2
4.2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石．许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性中有1 560名持反对意见， 2 452名女性中有1 200名持反对意见，在运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是( )
A ．茎叶图
B ．分层抽样
C ．独立性检验
D ．回归直线方程
5.已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( ) A ．4 B ．5 C.254 D.13
2
6.函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是 ( )
A.(0，＋∞)
B.(－∞，－1)
C.(－1,1)
D.(1，＋∞)
7.具有线性相关关系的变量x 、y 的一组数据如下表所示．若y 与x 的回归直线方程为y ^
＝3x －3
2
，则m 的值是( )
A.4
B.9
2
C ．5.5
D ．6
8.若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A.2
B.3
C.6
D.9
9.若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )
密 线 内 不 准 答 题
班级 姓名 考场号 座位号
10.已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .若f (x )在上是单调递减函数，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <34 B.12<a <34 C ．a ≥34 D ．0<a <1
2
11.随机采访50名观众对某电视节目的满意度，得到如下列联表：单位：人
满意 不满意 合计 男 10 20 30 女 15 5 20 合计
25
25
50
附表和公式如下：
P (K 2≥k )
0.100 0.050 0.010 0.001 k
2.706
3.841
6.635
10.828
K 2＝
n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．根据以上数据可知( )
A ．有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关
B ．有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关
C ．有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关
D ．有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关
12.设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0.且g (3)＝0.则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )
A.(－3,0)∪(3，＋∞)
B.(－3,0)∪(0,3)
C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D.(－∞，－3)∪(0,3)
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、观察下列等式：
⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43
×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43
×3×4；
⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43
×4×5； …
照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭
⎫sin 2n π2n ＋1－
2＝__________
14、已知f (x )＝(2x －x 2)e x ，给出以下四个结论：
①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )没有最小值，也没有最大值；④f (x )有最大值，没有最小值.其中判断正确的是________.
15、关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是__________． 16、若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在hslx3y3h 2
3，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是
________．
三、解答题（17题10分，19、20、21、22每题12分） 17、求下列函数的导数。

（1）3ln log 33+-=x e y x
x
（2）2
5cos x x
x x y ++=
18. 已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数. (1)若f (x )在x ＝1处取得的极值为2，求a ，b 的值； (2)若f (x )在区间上为减函数，且b ＝9a ，求a 的取值范围.
19. 某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：
(1)
(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？
(注：b ^
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x
2
，a ^＝y －b ^
x )
20、某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为每件p 元，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.问该商品零售价定为多少元时，毛利润L 最大，并求出最大毛利润.(毛利润＝销售收入－进货支出)
21、已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；
(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．
22.已知函数f (x )＝e x －x 2＋a ，x ∈R ，曲线y ＝f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx . (1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)当x ∈R 时，求证：f (x )≥－x 2＋x ；
(3)若f (x )>kx 对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数k 的取值范围．
一、每小题5分
1、B
2、C
3、 D
4、 C
5、C
6、 C
7、 A
8、 D
9、 C 10、 C 11、 C 12、 D 二、13、
3)1(4+n n ；14、①②④；15、(－4,0)；16、9
1
->a 三、解答题。

17、(1)3ln 1)3ln(33'x e e y x -
= (2) 3225'
cos 2sin 323-x x x x x x
y --+= 18、解 (1)由题设可知：f ′(x )＝3x 2－6ax －b ，f ′(1)＝0且f (1)＝2，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
3－6a －b ＝0，1－3a －b ＝2，解得a ＝4
3，b ＝－5.
(2)∵f ′(x )＝3x 2－6ax －b ＝3x 2－6ax －9a ， 又f (x )在上为减函数， ∴f ′(x )≤0对x ∈恒成立， 即3x 2－6ax －9a ≤0对x ∈恒成立. ∴f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
3＋6a －9a ≤0
12－12a －9a ≤0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≥1a ≥
47
⇒a ≥1，
∴a 的取值范围是a ≥1. 19、(1)散点图如图．
(2)由表中数据得：y i ＝52.5，
x ＝3.5，y ＝3.5，2i ＝54，∴b ^
＝0.7，∴a ^
＝1.05， ∴y ^
＝0.7x ＋1.05，回归直线如图所示．
(3)将x ＝10代入线性回归方程， 得y ^
＝0.7×10＋1.05＝8.05，
故预测加工10个零件约需要8.05小时．
20、解 设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝p ·Q －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700. 令L ′(p )＝0，
解得p ＝30或p ＝－130(舍去). 此时，L (30)＝23 000.
因为在p ＝30的左侧L ′(p )>0， 右侧L ′(p )<0，
所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，毛利润L 最大，为23 000元.
21. 解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋b )＋a e x －2x －4 ＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4，
∵y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4， ∴f ′(0)＝a ＋b －4＝4，f (0)＝b ＝4， ∴a ＝4，b ＝4.
(2)由(1)知f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2(x ＋2) ＝2(x ＋2)(2e x －1)
令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝ln 12，
列表：
x (－∞，－2)
－2 ⎝
⎛⎭⎫－2，ln 12
ln 1
2 (ln 1
2
，＋∞)
f ′(x ) ＋
0 －
0 ＋
f (x )
极大值
极小值
∴y ＝f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，⎝⎛⎭
⎫ln 1
2，＋∞；
单调减区间为⎝⎛⎭⎫－2，ln 1
2. f (x )极大值＝f (－2)＝4－4e －
2.
22. (1)解 根据题意，得f ′(x )＝e x －2x ，则f ′(0)＝1＝b . 由切线方程可得切点坐标为(0, 0)，将其代入y ＝f (x )， 得a ＝－1，故f (x )＝e x －x 2－1.
(2)证明 令g (x )＝f (x )＋x 2－x ＝e x －x －1. 由g ′(x )＝e x －1＝0，得x ＝0，
当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，y ＝g (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，y ＝g (x )单调递增． ∴g (x )min ＝g (0)＝0，∴f (x )≥－x 2＋x .
(3)解 f (x )>kx 对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立等价于f (x )
x >k 对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立．
令φ(x )＝f (x )
x ，x >0，得φ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2
＝x (e x －2x )－(e x －x 2－1)x 2＝(x －1)(e x －x －1)
x 2
.
由(2)可知，当x ∈(0，＋∞)时，e x －x －1>0恒成立， 令φ′(x )>0，得x >1；令φ′(x )<0，得0<x <1.
∴y ＝φ(x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)， φ(x )min ＝φ(1)＝e －2， ∴k <φ(x )min ＝e －2，
∴实数k 的取值范围为(－∞，e －2)．。