四川2022年高二数学前半期期末考试带答案与解析

四川2022年高二数学前半期期末考试带答
案与解析
选择题
直线：和：垂直，则实数
A. B. 1 C. 或1 D. 3
【答案】A
【解析】
本题可以根据直线与直线的解析式以及两直线垂直的相关性质列出算式，然后通过计算得出结果。

由，解得，故选A。

选择题
若命题p：，，则为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】
本题首先可以判断出命题是特称命题，然后根据特称命题的否定是全称命题，分别对量词和结论进行否定即可得出结果。

命题是特称命题，则命题的否定是：，，故
选C。

选择题
中，若，，，则该三角形的形状是：（）
A. 锐角三角形
B. 等边三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
利用空间向量模的公式求出三角形三边的长，从而可得结果.
因为，，，
所以，，
，
，
所以，且，
是等腰直角三角形，故选D.
选择题
“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
先得出，由子集关系可得解。

⇒，但由包含了，得是充分不必要条件。

故选A
选择题
执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，
详解：初始化数值
循环结果执行如下：
第一次：不成立；
第二次：成立，
循环结束，输出，
故选B.
选择题
已知圆，圆与圆关于直线
对称，则圆的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：在圆上任取一点,则此点关于直线的对称点在圆上,所以有
，即,所以答案为,故选B.
选择题
如图，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上，则与所成角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由线面垂直的性质可得，由矩形的性质可得,由此可得平面，从而可得，进而可得结果.
因为在平面上的射影恰好在上，
所以平面，因为在平面内，
所以，又因为,与在平面内相交，
所以，平面，在平面内，
所以，、成的角为，故选D.
选择题
某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，若在第一组抽取的编号是5，则抽取的45人中，编号落在区间的人数为
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
【答案】C
【解析】
本题首先可以通过总量以及样本数量计算出样本组距，然后根据区间的间距以及系统抽样的性质即可得出结果。

900人中抽取样本容量为45的样本，样本组距为：；
则编号落在区间的人数为，
故选C。

选择题
三棱锥中，，平面，，，则和平面所成角的正切值为（）
A. 1
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
在平面内过作，垂足为，连接，可证明
平面，即是和平面所成的角，利用等腰三角形的性质与勾股定理求出，的值，从而可得结果.
在平面内过作，垂足为，连接，
因为，所以是的中点，
且，，
平面，
平面，
即是和平面所成的角，
，
和平面所成角的正切值是，故选B.
选择题
已知直线与圆相交于A、B两点，则大小为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
本题首先可以通过圆的方程得出圆心O的坐标以及半径，然后利用点到直线距离公式求出圆心到直线AB的距离，接下来通过圆心到直线AB的距离以及圆的半径就可以求出线段AB的长，最后得出的形状以及大小。

根据题意，圆的圆心O的坐标为，半径，则圆心到直线AB的距离，
因为直线与圆相交于A、B两点，
所以，
则有，则为等边三角形，
所以，故选C。

选择题
已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,三棱锥外接球就是正方体的外接球，由正方体及球的几何性质可得点与重合时，点到平面的距离最大，求出平面的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.
三棱锥，满足两两垂直，且，
如图是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,
则，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
三棱锥外接球就是棱长为1的正方体的外接球，
是三棱锥外接球上一动点，
由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时，
点到平面的距离最大，
点到平面的距离的最大值为.故选C.
填空题
若直线：和：平行，则实数______．
【答案】1
【解析】
本题可以通过直线与直线的直线方程以及两直线平行的相关性质列出等式，然后通过计算即可得出结果。

由，解得．
经过验证可得满足条件，故答案为1。

填空题
若直线在x轴上的截距在范围内，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是______．
【答案】
【解析】
本题首先可以通过“直线在x轴上的截距在范围内”确定所有的基本事件构成的区间长度，然后确定”直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件构成的区间长度，最后根据几何概型概率公式进行计算即可得出结果。

所有的基本事件构成的区间长度为，
因为直线在y轴上的截距b大于1，
所以直线横截距小于，
所以“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件构成的区间长度为，
由几何概型概率公式可得“直线在y轴上的截距b大于1”的概
率为，
故答案为。

填空题
已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
分两种情况讨论，结合抛物线的图象，列不等式求解即可.
当时，为真命题，符合题意；
当时，要使，为真命题，
则对应的抛物线开口向上且与轴没有交点，
可得，
综上可得实数的取值范围是，故答案为.
解答题
已知三角形的三个顶点，，，
求AC边所在直线方程；
求线段BC的中垂线所在直线方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
⑴可通过两点坐标以及直线的截距式方程即可求出AC边所在直线方程；
⑵首先可通过两点坐标计算出BC中点坐标，然后通过直线BC的斜率计算出线段BC的中垂线斜率，最后通过直线的点斜式方程即可得出结果。

⑴由、知直线AC所在直线方程为，即；
⑵由、可知BC中点为，
又因为，所以线段BC的中垂线斜率为，
所以线段BC的中垂线所在直线方程为，即。

解答题
半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；
用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在
中的概率．
【答案】（1）（2）
【解析】
⑴用频率分布直方图中的每一组数据的平均数乘以对应的概率并求和即可得出结果；
⑵首先可通过分层抽样确定6人中在分数段以及
分数段中的人数，然后分别写出所有的基本事件以及满足
题意中“两名同学数学成绩均在中”的基本事件，最后两者相除，即可得出结果。

⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：
；
⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有
人，
则用分层抽样抽取6人中，分数在有1人，用a表示，
分数在中的有5人，用、、、、表示，
则基本事件有、、、、、、、、
、、、、、、，共15个，
满足条件的基本事件为、、、、、、、、、，共10个，
所以这两名同学分数均在中的概率为。

解答题
如图，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD中，，，又，，E为PC中点．
求证：平面PAD；
求异面直线PA与CB所成角．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
(1)首先可以取的中点为并连接、，然后利用三角形中位线的相关性质证明出四边形为平行四边形以及，即可得出结果；
(2)首先可以取中点并连接，然后通过证明得出异面直线PA与CB所成角即，最后利用三边长即可得出结果。

(1)取的中点为，连接、，
则在中，且，
因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，，
因为平面，平面，
所以平面。

(2)取中点，连接，
因为且，所以为平行四边形，，
所以或其补角为PA与CB所成角，
由题意得，
所以，与所成角为。

解答题
对某城市居民家庭年收入（万元）和年“享受资料消费”（万元）进行统计分析，得数据如表所示.
6
8
10
12
2
3
5
6
（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程.
（2）若某家庭年收入为18万元，预测该家庭年“享受资料消费”为多少？
（参考公式：，）
【答案】（1）（2）10.3万元
【解析】
(1)根据所给的数据，做出变量的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；(2)根据上一问做出的线性回归方程和家庭年收入为18万元,代入线性回归方程求出对应的的值，即可预测该家庭年“享受资料消费”.
（1）由数据求得，
，
故y关于x的线性回归方程为：.
（2）当x=18时，由线性回归方程求得，故家庭年收入为18万元时，预测该家庭年“享受资料消费”为10.3万元
解答题
如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，是平行四边形，，平面平面，.
（1）求证：；
（2）若，，与平面所成角为，求该五面体的体积.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
（1）过作于，连接，根据面面垂直的性质可证明平面，可得，利用全等三角形以及等腰直角三角形的性质可得即，由线面垂直的判定定理可得
平面，从而可得结果；（2）由（1）知为与平面所成角，可得，由
可得结果.
（1）过作，连接，
平面平面，且交线为
平面，而
，又
，
，而
，又
，而
.
（2）由知，
而
由（1）知为等腰直角三角形，而，
，
又由（1）知为与平面所成角，
，
而，
解答题
已知圆O：，直线l：．
若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当为锐角时，求k的取值范围；
若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，则直线CD是否过定点？若是，求出定点，并说明理由．
若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形EGFH的面积的最大值．
【答案】（1）或；（2）直线CD恒过定点
．详见解析（3）
【解析】
(1)首先可以设出两点坐标，然后联立圆与直线方程并得出
的值，最后根据以及即可得出结果；
(2)首先将带入直线方程得出直线的解析式，然后设出点坐标并写出以为直径的圆的方程，最后将其与圆方程联立即可得出直线的方程并根据直线的方程得出定点坐标；
(3)首先可以设圆心到直线的距离分别为、，然后通过勾股定理即可得出的值，再然后写出与，通过即可求出四边形的面积的最大值。

(1)根据题意，设，，
将代入，整理得到：，则有，解可得：，
而，
为锐角，
又由，
解可得：，
又由，则，
解可得：或；
(2)时，直线l的方程为：，
设，则以为直径的圆的方程为
，
即，将其和圆O：联立，消去平方项得：
，即为直线的方程，
将其化为知该直线恒过定点，
故直线CD恒过定点；
(3)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为、，
则，
所以，，
所以，当且仅当即时，取“”，
所以四边形EGFH的面积的最大值为。