苏教版高中数学选修2-2 1.3.2极大值与极小值(二) 学案

1.3.2 极大值与极小值(二)
学习目标 1.进一步理解极值的概念.2.会应用极值解决相关问题．
1．极大值与导数之间的关系
x x 1左侧 x 1 x 1右侧 f ′(x ) f ′(x )>0 f ′(x )＝0 f ′(x )<0 f (x )
增↗
极大值f (x 1)
↘减
2.极小值与导数之间的关系
x x 2左侧 x 2 x 2右侧 f ′(x ) f ′(x )<0 f ′(x )＝0 f ′(x )>0 f (x )
↘减
极小值f (x 2)
增↗
类型一 求函数的极值
例1 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋3
2x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．
(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值． 解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋3
2
.
由题意，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0， 从而a －12＋3
2
＝0，解得a ＝－1.
(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋3
2x ＋1(x >0)，
f ′(x )＝－1x －12x 2＋3
2
＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2
.
令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－1
3
(舍去)．
当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，
＋∞)上为增函数．
故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3. 反思与感悟 (1)研究函数首先要研究其定义域． (2)令导函数等于零，求出使导函数等于零的自变量的值． (3)正确列出表格，使区间不重不漏，界点清楚． 跟踪训练1 设函数f (x )＝ax 3＋3
2(2a －1)x 2－6x (a ∈R )．
(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程； (2)当a ＝1
3
时，求f (x )的极大值和极小值．
解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3＋3
2x 2－6x ，f ′(x )＝3x 2＋3x －6，
k ＝f ′(－1)＝3－3－6＝－6，f (－1)＝13
2，
所以y －13
2
＝－6(x ＋1)，
即12x ＋2y －1＝0为所求切线的方程． (2)当a ＝13时，f (x )＝13x 3－1
2x 2－6x ，
f ′(x )＝x 2－x －6.
令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝3.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化状态如下表：
所以f (x )在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数， 所以f (x )的极大值为f (－2)＝223，f (x )的极小值为f (3)＝－27
2
. 类型二 极值的综合应用
例2 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝1
3f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三
个不同的交点，求实数m 的取值范围． 解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，
13f ′(x )＋5x ＋m ＝1
3
(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，
则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点， ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0得x ＝2
3
或x ＝4.
当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：
x (－∞，2
3
)
23 (2
3，4) 4 (4，＋∞)
g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x ) ↗
6827
－m ↘
－16－m
↗
则函数g (x )的极大值为g (23)＝68
27－m ，极小值为g (4)＝－16－m .
∴由g (x )的图象与x 轴有三个不同交点， 得⎩⎪⎨⎪⎧
g (23)＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0，
解得－16<m <6827
.
反思与感悟 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键． 跟踪训练2 已知a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a . (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ 解 (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2＋3，
令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.
所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2； 极大值为f (1)＝a ＋2.
由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象，如图所示．
这里，极大值a＋2大于极小值a－2.
(2)结合图象，当极大值a＋2＝0或极小值a－2＝0时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，
即方程f(x)＝0恰有两个实数根．
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值．
答案1
解析由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；
在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.
即f(x)在(a，x1)内单调递增，
在(x1，x2)内单调递减，
在(x2，x3)内单调递增，
在(x3，b)内单调递减．
所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值，
极小值为f(x2)．
2．关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________．
①f(x)是增函数；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
答案③④
解析f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.
易知当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)，极大值是f(0)，极小值是f(2)．3．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝________.
答案－1
ln 2
解析 f ′(x )＝2x ＋x ·2x ln 2，令f ′(x )＝0，得x ＝－1
ln 2
.
4．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________． 答案 9
解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a
18＝1，所以a ＝9.
5．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________．(填序号)
①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②－x 0是f (－x )的极小值点； ③－x 0是－f (x )的极小值点； ④－x 0是－f (－x )的极小值点． 答案 ④
解析 不妨取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－
33为f (x )的极大值点，但f (3)>f (－3
3
)，∴排除①； 取函数f (x )＝－x (x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，∴排除②；
－f (x )＝x (x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点， ∴排除③，
∵－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点，∴填④.
1．已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，需注意 (1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2．运用极值研究曲线交点问题时要注意运用数形结合、等价转化等数学思想方法．
课时作业
一、填空题
1．已知函数f (x )＝1
3x 3＋x 2－2ax ＋1.若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为
________．
答案 (3
2
，4)
2．已知函数y ＝3x －x 3＋m 的极大值为10，则m 的值为________． 答案 8
解析 y ′＝3－3x 2＝3(1＋x )(1－x )， 令y ′＝0得x 1＝－1，x 2＝1，
经判断知极大值为f (1)＝2＋m ＝10，m ＝8.
3．函数f (x )＝1
3x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是
________． 答案 (－43，28
3
)
解析 ∵f (x )＝1
3x 3－4x ＋4，
∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－2)
－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－4
3.
且f (x )在(－∞，－2)上递增，在(－2,2)上递减，在(2，＋∞)上递增． 根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，
结合图象知－43<a <28
3
.
4．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0，1
2
)
解析 f ′(x )＝(ln x －ax )＋x (1
x －a )
＝ln x ＋1－2ax (x >0)，
令f ′(x )＝0，得2a ＝ln x ＋1
x ，
设φ(x )＝ln x ＋1
x ，
则φ′(x )＝－ln x
x
2.
易知φ(x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 大致图象如下图．
若f (x )有两个极值点，则y ＝2a 和y ＝φ(x )图象有两个交点， ∴0<2a <1，∴0<a <1
2
.
5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________． 答案 [1,5)
解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，
函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点， 即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根． 又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－1
3
.
∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(1)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
3－2－a ≤0，
3＋2－a >0，
∴1≤a <5.
6．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________． 答案 9
解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，
∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6. 又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴2ab ≤6， ∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， ∴ab 的最大值为9.
7．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－1
2内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－1
2，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－1
2时，函数y ＝f (x )有极大值．
则上述判断正确的是________．(填序号) 答案 ③
解析 函数的单调性由导数的符号确定，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递减，同理f (x )在(2,4)内单调递减，在(－2,2)内单调递增，在(4，＋∞)内单调递增，所以可排除①和②，可填③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－1
2的左右两侧均单
调递增，所以x ＝－1
2
不是函数的极值点．排除④和⑤.
8．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，
∴f ′(x )的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0时，图象与x 轴的左交点的左、右两侧f ′(x )的值分别大于零、小于零，右交点左、右两侧f ′(x )的值分别小于零、大于零，所以才会有极大值和极小值． 由4a 2－12(a ＋6)>0得a >6或a <－3.
9．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.
答案 3
解析 f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，由题意得f ′(1)＝0，即1＋2－a
4＝0，解得a ＝
3.
10．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________． 答案 (
2
2
，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)，
∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，当x ＝－a 时，f (x )有极大值． 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0，
a >0，解得a >
2
2
. 二、解答题
11．已知函数f (x )＝13x 3－1
2(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值
点，求实数m 的取值范围． 解 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6.
因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以导数f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋6)>0，
f ′(1)＝1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，
解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)． 12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；
(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－1
3
或x ＝1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x ⎝
⎛⎭⎫－∞，－13
－1
3 ⎝⎛⎭
⎫－13，1 1 (1，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f (x )的极大值是f ⎝⎛⎭⎫－13＝5
27＋a ，极小值是f (1)＝a －1. (2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，
由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )＞0， x 取足够小的负数时，有f (x )＜0， ∴曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点． 由(1)知f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝5
27＋a ， f (x )极小值＝f (1)＝a －1.
∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， ∴(5
27＋a )(a －1)>0， ∴a ＜－5
27
或a ＞1，
∴当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－5
27∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． 13．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；
(2)求函数f (x )的单调区间；
(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围． 解 (1)因为f ′(x )＝a
1＋x ＋2x －10，
所以f ′(3)＝a
4＋6－10＝0，
因此a ＝16. (2)由(1)知，
f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)． f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)
1＋x
，
当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，
所以f (x )的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(1,3)．
(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)内单调递增， 且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0， 所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9，
极小值为f (3)＝32ln 2－21，
所以要使直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象有3个交点，
当且仅当f (3)<b <f (1)．
因此b 的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．
三、探究与拓展
14．已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.
(1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围；
(2)求证：(x －1)f (x )≥0.
(1)解 f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x
，xf ′(x )＝x ln x ＋1，而xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a .令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x
－1，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0.x ＝1是g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－1.
综上可知，a 的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)证明 由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1，即ln x －x ＋1≤0.当0＜x ＜1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1
＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)≤0；当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x ⎝⎛⎭
⎫ln x ＋1x －1＝ln x －x ⎝⎛⎭
⎫ln 1x －1x ＋1≥0.∴(x －1)f (x )≥0. 15．若2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．
解 令g (x )＝2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ，
则g ′(x )＝2x ＋2－2x －1＝－2x (x ＋52)x ＋2
(x >－2)． g (x )与g ′(x )在(－2，＋∞)的变化情况如下表：
由上表可知函数在x ＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b .
结合图象(图略)可知，要使g (x )＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (0)>0，
g (1)≤0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ b ≤0，2ln 2＋b >0，2ln 3－2＋b ≤0，所以－2ln 2<b ≤2－2ln 3.
故实数b 的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．。