高三数学一轮 2.1函数及其表示导学案 理 北师大版

第二章 函 数 学案4 函数及其表示
导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
自主梳理
1．函数的基本概念 (1)函数定义
设A ，B 是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 ,在集合B 中 ，称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，x 的取值范围A 叫做函数的__________，__________________叫做函数的值域．
(2)函数的三要素
__________、________和____________． (3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：________、________、________. (4)函数相等
如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据．
(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数．
分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________．
2．映射的概念 (1)映射的定义
设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中 确定的元素y 与之对应，那么就称对应f :A →B 为从集合A
到集合B 的 .
（2）由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A 、B 必须是 数集.
自我检测
1．(2011·佛山模拟)设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．(2010·湖北)函数y ＝1
log 0.5x －
的定义域为( )
A ．(34，1)
B ．(3
4
，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．(3
4
，1)∪(1，＋∞)
3．(2010·湖北)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
log 3x ，x >02x
， x ≤0
，则f(f (1
9
))等于( )
A ．4 B.1
4
C ．－4
D ．－1
4
4．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )
A ．y ＝x 2x
B ．y ＝(x )2
C ．y ＝lg 10x
D ．y ＝2log 2x
5．(2011·衡水月考)函数y ＝lg(ax 2
－ax ＋1)的定义域是R ，求a 的取值范围．
探究点一 函数与映射的概念
例1 (教材改编)下列对应关系是集合P 上的函数的是________．
(1)P ＝Z ，Q ＝N *
，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；
（2）P ={-1,1,-2,2}，Q ={1，4}，对应关系:f :x →y =x 2
,x ∈P ,y ∈Q ;
(3)P ={三角形}，Q ={x |x >0}，对应关系f :对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应.
变式迁移1 已知映射f :A →B .其中B ．其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2
＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是 ( )
A ．k >1
B ．k ≥1
C ．k <1
D ．k ≤1 探究点二 求函数的定义域
例2 (1)求函数y ＝x ＋1＋x －0
－x
的定义域；
(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f (x )的定义域．
变式迁移2 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝
f x 2
1＋x ＋
的定义域
是________________________________________________________________________．
探究点三 求函数的解析式
例3 (1)已知f (2
x
＋1)＝lg x ，求f (x )；
(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；
(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1
x
)＝3x ，求f (x )．
变式迁移3 (2011·武汉模拟)给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；
(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．
探究点四 分段函数的应用
例4 设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋bx ＋c ， x ≤0，
2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关
于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
变式迁移 4 (2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1，x ≥0，
1， x <0，则满足不等式f (1－
x 2)>f (2x )的x 的范围是________________．
1．与定义域有关的几类问题
第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；
第三类是不给出函数的解析式，而由f (x )的定义域确定函数f [g (x )]的定义域或由f [g (x )]的定义域确定函数f (x )的定义域．
第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． 2．解析式的求法
求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( )
(1)y 1＝x ＋3x －5
x ＋3，y 2＝x －5；
(2)y 1＝x ＋1x －1，y 2＝
x ＋1x －1；
(3)f (x )＝x ，g (x )＝x 2
；
(4)f (x )＝3x 4－x 3
，F (x )＝x 3x －1；
(5)f 1(x )＝(2x －5)2
，f 2(x )＝2x －5.
A ．(1)(2)
B ．(2)(3)
C ．(4)
D ．(3)(5)
2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是 ( ) A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2
3．(2011·洛阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋x ≤－，x 2
－1<x
，2x x
，若f (x )＝3，则x 的值是
( )
A ．1
B ．1或3
2
C ．1，3
2
或± 3
D. 3
4．(2009·江西)函数y ＝
x ＋
－x 2
－3x ＋4
的定义域为
( )
A ．(－4，－1)
B ．(－4,1)
C ．(－1,1)
D ．(－1,1]
5.（2011·台州模拟）设f :x →x 2
是从集合A 到集合B 的映射，如果B ={1，2}，则A ∩B 为 ( )
A ．∅
B ．{1}
6．下列四个命题：(1)f (x )＝x －2＋1－x 有意义；(2)函数是其定义域到值域的映
射；(3)函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；(4)函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2， x ≥0，
－x 2，x <0的图象是抛物
线．其中正确的命题个数是________．
7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1 x x 2 x ，g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－x 2
x
x ，
则f [g (3)]＝________，g [f (－1
2
)]＝________.
8．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋2，x <1，
x 2
＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝
______.
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)若f (x ＋1)＝2x 2
＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式；
(3)若函数f (x )＝x
ax ＋b
，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的表达式．
10．(12分)已知f (x )＝x 2
＋2x －3，用图象法表示函数g (x )＝
f x ＋|f x
2
，并写
出g (x )的解析式．
11．(14分)(2011·湛江模拟)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入
R (x )(万元)满足R (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－0.4x 2
＋4.2x －0.8， 0≤x ≤5，
10.2， x >5.假定该产品产销平衡，
那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？
答案 自主梳理 1．(1)数集 任意一个数x 都有唯一确定的数f(x)和它对应 定义域 函数值的集合{f(x)|x∈A} (2)定义域 值域 对应关系 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应关系 (5)定义域 对应关系 并集 并集 2.(1)都有唯一 一个映射 (2)函数 非空
自我检测
1．B [对于题图(1)：M 中属于(1,2]的元素，在N 中没有象，不符合定义；
对于题图(2)：M 中属于(4
3
，2]的元素的象，不属于集合N ，因此它不表示M 到N 的函数
关系；对于题图(3)：符合M 到N 的函数关系；对于题图(4)：其象不唯一，因此也不表示M 到N 的函数关系．]
2．A 3.B 4.C
5．解 函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，即ax 2
－ax ＋1>0恒成立． ①当a ＝0时，1>0恒成立；
②当a ≠0时，应有⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
Δ＝a 2
－4a <0， ∴0<a <4.
综上所述，a 的取值范围为0≤a <4. 课堂活动区
例1 解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．
(2)
解析 由于(1)中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且(3)中集合P 不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P 上的函数．由题意知，(2)正确．
变式迁移1 A [由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2
－2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．]
例2 解题导引 在(2)中函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)是指x 的取值范围还是2x ＋1的取值范围？f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1的取值范围有什么关系？
解 (1)要使函数有意义，
应有⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，
2－x ≠1，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥－1，x ≠1，x <2，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤x <2，
x ≠1.
所以函数的定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}． (2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)， ∴1<2x ＋1<3，
所以f (x )的定义域是(1,3)．
变式迁移2 (－1，－910)∪(－9
10，2]
解析 由⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x 2
≤2x ＋1>0
1＋
x ＋得－1<x ≤2且x ≠－9
10
.
即定义域为(－1，－910)∪(－9
10
，2]．
例3 解题导引 函数解析式的类型与求法
(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围． (3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其他未知量，如f (－x )、f (1
x
)等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
解 (1)令2x ＋1＝t ，则x ＝2
t －1，
∴f (t )＝lg 2
t －1，
∴f (x )＝lg 2
x －1
，x ∈(1，＋∞)．
(2)设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)
则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＋5a ＝17， ∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.
(3)2f (x )＋f (1
x
)＝3x ， ①
把①中的x 换成1
x
，得
2f (1x )＋f (x )＝3
x
， ②
①×2－②，得3f (x )＝6x －3
x
，
∴f (x )＝2x －1
x
.
变式迁移3 解 (1)令t ＝x ＋1，
∴t ≥1，x ＝(t －1)2
.
则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2
－1，
即f (x )＝x 2
－1，x ∈[1，＋∞)．
(2)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，
∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2
＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1. 又f (0)＝3，∴
c ＝3，∴f (x )＝x 2
－x ＋3.
例4 解题导引 ①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f (x )＝x 来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．
②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应关系． ③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．
C [方法一 若x ≤0，则f (x )＝x 2
＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－2
＋b －＋c ＝c ，－2＋b －＋c ＝－2， 解得⎩⎪⎨
⎪⎧
b ＝4，
c ＝2.
∴f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋4x ＋2， x ≤0，
2， x >0.
当x ≤0，由f (x )＝x ，得x 2
＋4x ＋2＝x ， 解得x ＝－2，或x ＝－1；
当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．
方法二 由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2
＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．]
变式迁移4 (－1，2－1)
解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1，x ≥0，
1， x <0的图象如图所示：
f (1－x 2
)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 2
>2x
1－x 2
>0
，
解得－1<x <2－1.
课后练习区
1．C [(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应关系不同；(4)定义域相同，且对应关系相同；(5)定义域不同．]
2．C [有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．]
3．D [该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，
∴f (x )＝x 2
＝3，x ＝±3，而－1<x <2，∴x ＝ 3.]
4．C
5．D [由已知x 2＝1或x 2
＝2，解之得，x ＝±1或x ＝±2，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅，
故A ∩B ＝∅或{1}．] 6．1
解析 (1)x ≥2且x ≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．
7．7 3116
8．2
9．解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，∴f (x )＝2x 2
－4x ＋3.………………………………………………………………………………………………(4分)
(2)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，……(6分)
即有⎩
⎪⎨⎪⎧
2f x －f －x ＝x ＋12f －x －f x ＝－x ＋1，
解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x
3＋1.……………………………………………………(8
分)
(3)由f (2)＝1得2
2a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；
由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b －1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－b
a ，…(10
分)
又∵方程有唯一解，
∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12
，
∴f (x )＝2x
x ＋2.……………………………………………………………………………(12
分)
10．解 函数f (x )的图象如图所示，
……………………………………(6
分)
g (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋2x －3
x ≤－3或x
0 －3<x
…………………………………………………
(12分)
11．解 依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－0.4x 2
＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.
………………………………………………
(4分)
(1)要使工厂赢利，则有f (x )>0.
当0≤x ≤5时，有－0.4x 2
＋3.2x －2.8>0，
得1<x <7，所以1<x ≤5.………………………………………………………………(8分) 当x >5时，有8.2－x >0， 得x <8.2，所以5<x <8.2.
综上所述，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．……………………………………………………………………………………(10分)
(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2
＋3.6. 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6.…………………………………………………………(12分)
而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2.
所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x ＝4时，每台产品售价为
R
4
＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．……………………………………………………………………………(14分)。