宁夏回族自治区银川市第一中学2022-2023学年数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设a =0.3b =，0.3log c = A.a b c >>
B.a c b >>
C.c a b >>
D.b a c >>
2．若函数log ,1,()41,1,a x x f x ax x >⎧=⎨-+≤⎩
在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0,1)
B.(1,)+∞
C.1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
3．非零向量OA a =，OB b =，若点B 关于OA 所在直线的对称点为1B ，则向量1OB 为 A.22()||
a b a b a ⋅- B.2a b - C.22()||a b a b a ⋅- D.2()a b a b a
⋅- 4．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：
有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（）
A.2000元
B.1500元
C.990元
D.1590元
5．函数tan 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,122x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
的值域为（） A.()1,3-
B.31,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
C.()(),13,-∞-⋃+∞
D.()
1,3 6．下列函数中与函数y x =是同一个函数的是（ ）
A.2()y x =
B.33()y x =
C.2y x =
D.2
x y x
= 7．如果函数()y f x =在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆中，232
BA BC AC ==
=，2PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为
A.122π
B.22π
C.12π
D.20π
9．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ︒）满足函数关系e kx b y +=（e 为自然对数的底数，,k b
为常数）若该食品在0C ︒的保鲜时间是384小时，在22C ︒的保鲜时间是24小时，则该食品在33C ︒的保险时间是（）小时
A.6
B.12
C.18
D.24
10．已知,αβ是两相异平面,,m n 是两相异直线,则下列错误的是
A.若,m m αβ⊥⊂,则αβ⊥
B.若//m α,n αβ=,则//m n
C.若//m n ,m α⊥,则n α⊥
D.若m α⊥,n β⊥,//m n ,则//αβ
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games ），即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者，参与北京冬奥会高山滑雪比赛项目的服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人.
12．亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为___________.
13．已知1cos 3α=，3cos()3
αβ-=且02πβα<<<，则cos β=_______. 14．要在半径60OA =cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使弧AB 的长为50c πm ，那么圆心角
AOB ∠=_________．
（用弧度表示） 15．已知R 上的奇函数()f x 是增函数，若()(31)0f a f a +-<，则a 的取值范围是________
16．已知函数()2log ,0815,82
x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()32log f x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. （1）当1a =时，解关于x 的不等式()0f x <；
（2）请判断函数()()()3log 1g x f x ax a =-+-是否可能有两个零点，并说明理由；
（3）设0a <，若对任意的1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.
18．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点()3,4P .
（1）求sin cos αα-的值；
（2）求()()()
sin cos 2cos 2sin ππααπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭++-的值.
19．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n 个月的月平均最高气温()G n 可近似地用函数()cos()G n A n k ωϕ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[1,12]n ∈，例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0>ω，(0,π)ϕ∈．统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1月份的月平均最高气温为3摄氏度，是一年中月平均最高气温最低的月份，随后逐月递增直到7月份达到最高为33摄氏度.
（1）求()G n 的解析式；
（2）某植物在月平均最高气温低于13摄氏度的环境中才可生存，求一年中该植物在该地区可生存的月份数.
20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，AB BC =.
（1）证明：1//BC 平面1A CD ；
（2）证明：平面1A EC ⊥平面11ACC A .
21．在平面直角坐标系xOy 中,已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
. （1）求tan α与cos 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的值； （2）计算sin()cos(2)
sin()sin 2παπαπαα-++⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
的值.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D
【解析】计算得到01a <<，1b >，0c <，得到答案.
【详解】000.31a <=<=
，0.301b >==
，0.30.3log log 10c =<=.
故b a c >>.
故选：D .
【点睛】本题考查了利用函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
2、D 【解析】要保证函数log ,1,()41,1,
a x x f x ax x >⎧=⎨-+≤⎩在R 上单调递减，需使得log ,1a x x >和41,1ax x -+≤都为减函数，且x =1处函数值满足411log 1a a -⨯+≥,由此解得答案.
【详解】由函数log ,1()41,1a x x f x ax x >⎧=⎨-+≤⎩
在R 上单调递减， 可得0140411log 1a a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-⨯+≥⎩
，解得104a <≤ ， 故选：D.
3、A
【解析】如图由题意点B 关于OA 所在直线的对称点为B 1，所以∠BOA=∠B 1OA ，所以又由平行四边形法则知:1OB OB OC +=,且向量OC 的方向与向量OA 的方向相同，由数量积的概念向量OB
在向量OA 方向上的投影是OM=||
a b a ⋅，设与向量OA 方向相同的单位向量为：||a a ，所以向量OC =2OM =2||a b a ⋅||a a =()22||a b a a ⋅，所以1C B OB O O =-=()22||a b a b a ⋅-. 故选A. 点睛：本题利用平行四边形法则表示和向量，因为对称，所以借助数量积定义中的投影及单位向量即可表示出和向量,解题时要善于借助图像特征体现向量的工具作用.
4、D
【解析】根据税款分段累计计算的方法，分段求得职工超出5000元的部分的纳税所得额，即可求解.
【详解】由题意，职工八月份收入为20000元，其中纳税部分为20000500015000-=元，
其中不超过3000元的部分，纳税额为30003%90⨯=元，
超过3000元至12000元的部分，纳税额为900010%900⨯=元，
超过12000元至25000元的部分，纳税额为300020%600⨯=元，
所以该职工八月份应缴纳个税为909006001590++=元.
故选：D.
5、A
【解析】首先由x 的取值范围求出6x π-
的取值范围，再根据正切函数的性质计算可得； 【详解】解：因为,122x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以,346x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
因为tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以(tan 6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
即(y ∈-
故选：A
6、B
【解析】根据同一函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，函数2y =的定义为[0,)+∞，因为函数y x =的定义域为R ，
所以两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B 中，函数3y x ==与函数y x =的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；
对于C 中，函数y x ==与函数y x =的对应法则不同，不是同一函数；
对于D 中，函数2
x y x
=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为函数y x =的定义域为R ， 所以两函数的定义域不同，不是同一函数.
故选：B.
7、A
【解析】由零点存在性定理得出“若()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点”举反例即可得出正确答案.
【详解】由零点存在性定理可知，若()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点
而若函数()y f x =在(,)a b 内有零点，则()()0f a f b ⋅<不一定成立，比如2()f x x =在区间(2,2)-内有零点，但
(2)(2)0f f -⋅>
所以“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的充分而不必要条件
故选：A
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.
8、B
【解析】由题意，求AC 长，即可求ABC ∆外接圆半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.
【详解】由题意ABC ∆中，BA BC AC ==，222BA BC AC ∴+=，AC =则ABC ∆是等腰直角三角形，PA ⊥平面ABC 可得PA AC ⊥，PA BC ⊥，
BC ⊥平面PAB ，BC PB ⊥，则PC 的中点为球心
设ABC ∆外接圆半径为r ，则2r AC ==2
r ∴=
设球心到平面ABC 的距离为d ，则2PA d = 1d ∴=，由勾股定理得222R r d =+，2112
R ∴= 则三棱锥P ABC -的外接球的表面积2422S R ππ==
故选：B
【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法，利用球的对称性确定球心到平面的距离，培养空间感知能力，中等题型.
9、A
【解析】先阅读题意，再结合指数运算即可得解.
【详解】解：由题意有e 384b =，22e 24k b +=，则22241e
38416k ==，即111e 4k =， 则33e k b +=22111e 2464
k b k e +⨯=⨯=， 即该食品在33C ︒的保险时间是6小时，
故选A.
【点睛】本题考查了指数幂的运算，重点考查了解决实际问题的能力，属基础题.
10、B
【解析】利用位置关系的判定定理和性质定理逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A ，由面面垂直的判定定理可知，β经过面α的垂线m ，所以αβ⊥成立；
对于B ，若//m α,n αβ=,
m 不一定与n 平行，不正确； 对于C ，若//m n ,m α⊥, 则n α⊥正确；
对于D ，若m α⊥,n β⊥,//m n ,则//αβ正确.
故选：B.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、10
【解析】根据分层抽样原理求出抽取的人数
【详解】解：根据分层抽样原理知，502410504030⨯
=++， 所以在大一青年志愿者中应选派10人
故答案为：10
12、4π-
【解析】根据角的概念的推广即可直接求出答案.
【详解】因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的弧度数为4π-.
故答案为：4π-.
13、9
【解析】根据题意，可知02π
αβ<-<，结合三角函数的同角基本关系，可求出sin α和sin()αβ-再根据
[]cos cos ()βααβ=--，利用两角差的余弦公式，即可求出结果. 【详解】因为02π
βα<<<，所以02π
αβ<-<，
因为1cos 3α=，所以3
sin α==，
又cos()αβ-=，所以sin()αβ-==， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ⎡⎤=--=-+-⎣⎦
13==.
故答案为：9
. 14、56
π 【解析】由弧长公式变形可得：l r
α=，代入计算即可. 【详解】解：由题意可知：AOB ∠=505606
ππ=（弧度）. 故答案为：
56π. 15、1,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
【解析】先通过函数为奇函数将原式变形，进而根据函数为增函数求得答案.
【详解】因为函数为奇函数，所以()()(31)0()(31)13f a f a f a f a f a +-<⇒<--=-，而函数在R 上为增函数，则113,4a a a ⎛
⎫<-⇒∈-∞ ⎪⎝⎭
. 故答案为：1,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
. 16、()8,10 【解析】画出函数的图象，根据,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，我们令a b c <<，我们易根据对数的运算性质，及c 的取值范围得到abc 的取值范围，即可求解
【详解】由函数函数()2log ,0815,82
x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，可得函数的图象，
如图所示：
若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，
令a b c <<，则1a b ⋅=，810c <<，
故810abc <<，
故答案为()8,10
【点睛】本题主要考查了对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）()1,2
（2）不可能，理由见解析
（3）8,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
【解析】（1）结合对数函数的定义域，解对数不等式求得不等式()0f x <的解集.
（2）由()0g x =，求得12x =-，21x a
=，但推出矛盾，由此判断()g x 没有两个零点. （3）根据函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1列不等式，结合分离常数法来求得a 的取值范围.
【小问1详解】
当1a =时，不等式()0f x <可化为32log 10⎛⎫-< ⎪⎝⎭
x ， 有2011<-<x ，有20,10,x x x x -⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩
解得12x <<，
故不等式，()0f x <的解集为()1,2.
【小问2详解】
令()0g x =，有()332log log 1a ax a x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，
有210a ax a x -=+->，()22122210,0ax a x a ax x x
---+--+==， ()22120ax a x x
+--=，()()210x ax x +-=， 则()()20210a x x ax x ⎧->⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩
， 若函数()g x 有两个零点，记()1212,x x x x ≠，必有12x =-，21x a
=， 且有20 220
a a a ⎧->⎪-⎨⎪->⎩，此不等式组无解，
故函数()g x 不可能有两个零点.
【小问3详解】
当0a <，1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1t x t ≤≤+时，20->a x
，函数()f x 单调递减， 有()()3max 2log f x f t a t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()3min 21log 1f x f t a t ⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭
有3322log log 11⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
a a t t ， 有3322log log 31
⎡⎤⎛⎫⎛⎫-≤- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦a a t t 有2231⎛⎫-≤- ⎪+⎝⎭
a a t t ，整理为311≤-+a t t ， 由311≤-+a t t 对任意的1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，必有31,231,11144a a ⎧≤
-⎪⎪⎨≤
-⎪+⎪⎩
解得85
≤-a ， 又由()()()254131801551t t t t t t +-⎛⎫---=≥ ⎪++⎝⎭，可得31815
-≥-+t t ，
由上知实数a 的取值范围为8,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
. 18、（1）
15
； （2）8. 【解析】（1）根据三角函数的定义即可求得答案；
（2）根据三角函数的定义求出tan α，然后用诱导公式将原式化简，进而进行弦化切，最后求出答案.
【小问1详解】
由题意，||5OP ==，所以431sin cos 555αα-=
-=. 【小问2详解】 由题意，4tan 3
α=，则原式sin sin 2sin 2tan cos sin sin cos tan 1ααααααααα--===--- 4
238413⨯
==-. 19、（1）π5π()15cos()1866
G n n =++，[1,12]n ∈，n 为正整数 （2）一年中该植物在该地区可生存的月份数是5
【解析】（1）先利用月平均气温最低、最高的月份求出周期和ω及ϕ值，再利用最低气温和最高气温求出A 、k 值，即得到所求函数的解析式；
（2）先判定函数()G n 的单调性，再代值确定符合要求的月份即可求解.
【小问1详解】
解：因为1月份的月平均最高气温最低，7月份的月平均最高气温最高，
所以最小正周期2(71)12T =⨯-=. 所以2ππ6
T ω==. 所以πcos()16ϕ+=-，7πcos()16
ϕ+=. 因为(0,π)ϕ∈，所以5π6
ϕ=. 因为1月份的月平均最高气温为3摄氏度，7月份的月平均最高气温为33摄氏度，
所以3A k -+=，33A k +=.
所以15A =，18k =.
所以()G n 的解析式是π5π()15cos()1866
G n n =++，[1,12]n ∈，n 为正整数. 【小问2详解】 解：因为π5π()15cos()1866
G n n =++，[1,12]n ∈，n 为正整数. 所以()G n 在区间上[1,7]单调递增，在区间[7,12]上单调递减.
因为某植物在月平均最高气温低于13摄氏度的环境中才可生存， 且3π5π(3)15cos()1810.566G =++=，4π5π(4)15cos()181866
G =++=， 所以该植物在1月份，2月份，3月份可生存.
又(11)(3)10.5G G ==，
所以该植物在11月份，12月份也可生存.
即一年中该植物在该地区可生存的月份数是5.
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）连结1AC ，交1A C 点O ，连DO ，推出OD //1BC 1，即可证明1//C 平面1A CD ；
（2）取AC 的中点F ，连结,,EO OF FB ，证明四边形BEOF 是平行四边形，证明F AC ⊥
1BF CC ⊥，得到BF ⊥平面11ACC A ，然后证明平面1A EC ⊥平面11ACC A
试题解析：（1）连结1AC ，交1A C 点O ，连DO ，则O 是1AC 的中点，
因为D 是AB 的中点，故OD //1BC .
因为OD ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD .
所以1BC //平面1A CD .
（2）取AC 的中点F ，连结,,EO OF FB ，因为O 是1AC 的中点，
故OF //1AA 且12
OF =
1AA . 显然BE //1AA ，且12BE = 1AA ，所以OF //BE 且OF BE = 则四边形BEOF 是平行四边形.
所以EO //BF .
因为AB BC =，所以BF AC ⊥
又1BF CC ⊥，所以直线BF ⊥平面11ACC A .
因为EO //BF ，所以直线EO ⊥平面11ACC A .
因为EO ⊂平面1A EC ，所以平面1A EC ⊥平面11ACC A
21、（1）4tan 3α=-
，cos 410πα⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭；（2）17-. 【解析】（1）由任意角的三角函数的定义求出tan α，sin α，cos α，再利用两角和的余弦公式计算可得； （2）利用诱导公式将式子化简，再将弦化切，最后代入计算可得；
【详解】解：（1）由三角函数定义可知: 4tan 3α=-.4sin 5α,3cos 5
α=-
cos sin 422101010πααα-⎛⎫+=-=-=- ⎪⎝
⎭； （2）原式sin cos sin cos αααα+=
-+tan 1tan 1
αα+=-+ 因为4tan 3α=-，原式43431171-+==-+.。