柯西不等式专项练

柯西不等式专项练
☻知识梳理
1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.
当0,0a b >>时，由2
2
2a b ab +≥⇒基本不等式：
2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥
另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥
问题：2222()()a b c d ++2()ac bd +
???
2. 变式：
变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2
222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2
222；
变式20. 若,,,a b c d R ∈， ；
变式30. 若1122,,,x y x y R ∈， 几何意义:
3. 应用：
4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,
证明例
*11
,,b 1,
42a b R a a b
∈+=+≥设求证例
3y =求函数例
例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.
检验真本领
221.
,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是
A.
⎡⎣
.10B ⎡-⎣ .0C ⎡⎣ .D ⎡⎣ .
222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是
562536
A. . .
.653625
B C D
3.______y =函数 224,
,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是
2211
5.
1,()()______a b a b a b
+=+++若则的最小值是
6、 求函数y =
7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.
8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：11
2x y
+
≥.
9、已知,,,x y a b R +∈，且1a b
x y
+
=，则x y +的最小值.
10、若a >b >c ，求证：
c
a c
b b a -≥-+-4
11.
11、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

专项练习答案:
例1例2例3
例4 {
222222222:(49)(11)(23)1,
1
49.
2
2131,23.123412316111
49,(,)
246
x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=
⎪=⎨
+==
⎪⎩
∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为
练习
1．A 2、B 3．3 4
5．
25
2
6．分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 →
变式：y
→
推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈
7．（凑配法）2222222111
()(32)(32)131313
x y x y x y +=
++≥+=. 8．分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
要点：
2222
111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 9．要点：()()a
b x y x y x
y
+=++=…. → 其它证法 10、要点：21111()(
)[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c
-+=-+-+≥+=---- 11. 证明：由柯西不等式，得()[]()[]
11111222222=-+-+≤-+-b b a a a b b a
当且仅当a b a
b
2211-=-时，上式取等号， ,1122b a ab -∙-=∴ ()()
,112222b a b a --= 于是 12
2=+b a 。