人教新课标版数学高二B版选修2-2学业测评 利用导数判断函数的单调性

学业分层测评
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一、选择题
1．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是()
A．(－∞，e－2)B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)
【解析】因为y＝x＋x ln x，所以定义域为(0，＋∞)．
令y′＝2＋ln x<0，解得0<x<e－2，
即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是(0，e－2)，
故选B.
【答案】 B
2．(2016·深圳高二检测)如图1-3-4是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()
图1-3-4
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
【解析】由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.
【答案】 C
3．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则()
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤1 3
【解析】f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.
【答案】 A
4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为()
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
【解析】构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.
∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．
∴f(x)>2x＋4⇔g(x)>0⇔g(x)>g(－1)，
∴x>－1.
【答案】 B
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是()
A．(－∞，－3)∪hslx3y3h3，＋∞)
B．
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3，3)
【解析】f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤ 3.
【答案】 B
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为
__________.
【解析】 令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，
所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π. 【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π 7．(2016·佛山高二检测)函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则
a 的取值范围是________．
【解析】 y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1，解得a <－1或a >1.
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________.
【解析】 若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有
两个不相等的实数根，所以b >0.
【答案】 (0，＋∞)
三、解答题
9．(2016·吉林高二检测)定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件：
①f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数；
②f (x )的导函数是偶函数；
③f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．
求函数y ＝f (x )的解析式．
【解】 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，
因为f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，
所以f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0.①
由f (x )的导函数是偶函数，得b ＝0，②
又f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f ′(0)＝c ＝
－1，③
由①②③得a＝1
3
，b＝0，c＝－1，
即f(x)＝1
3x
3－x＋3.
10．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．
【解】因为f′(x)＝3x2－2mx，
所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.
由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，
即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.
由根与系数的关系，
得－－2m
3
＝－9，即m＝－27
2.
所以f′(x)＝3x2＋27x.
令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.
故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．
综上所述，m的值为－27
2
，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．
1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图1-3-5所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()
图1-3-5
【解析】 由题图，知函数g ′(x )为增函数，f ′(x )为减函数，且都在x 轴上方，所以g (x )的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f (x )的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f ′(x 0)＝g ′(x 0)，知选D.
【答案】 D
2．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )
A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )
B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )
C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )
D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )
【解析】 因为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f (x )g (x )′＝ f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f (x )g (x )
在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以
f (a )
g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b )
，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．因此选C.
【答案】 C
3．(2016·亳州高二检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围为________．
【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由于f (x )是R 上的单调函数，所以f ′(x )≥0
或f ′(x )≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立． 法一 由上述讨论可知要使f ′(x )≥0恒成立，只需使方程3x 2＋2x ＋m ＝0
的判别式Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13.
经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．
所以实数m 的取值范围是m ≥13
. 法二 3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即m ≥－3x 2－2x 恒成立．
设g (x )＝－3x 2－2x ＝－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋132＋13，易知函数g (x )在R 上的最大值为13，所以m ≥13.
经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意．
所以实数m 的取值范围是m ≥13.
【答案】 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，＋∞ 4．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)．
(1)求f (x )的单调区间；
(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈恒成立．
【解】 (1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，
∴f ′(x )＝a 2x －2x ＋a
＝－(x －a )(2x ＋a )x
， 由于a >0，∴f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．
(2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，
即a ≥e ，
由(1)知f (x )在上单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈恒成立，
只要⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2， 解得a ＝e.。